Marco Nardini
Cosmologia Osservativa
anno accademico 2004-2005
PARAMERI COSMOLOGICI
DETERMINAZIONE DI Ωm E ΩΛ DA
SN 1A & WMAP
SOMMARIO
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La metrica dell’universo
Da Einstein a Friedman
Distanze nel cosmo
Supernovae 1 A
Candele standard
CMB
Fluttuazioni di temperatura
Osservazione delle anisotropie
LA METRICA DELL’UNIVERSO
La metrica che si usa per descrivere l’universo sotto le ipotesi di
omogeneità e isotropia (principio cosmologico) è detta metrica di
Robertson-Walker ed è espressa dalla relazione:
dove r, θ, φ sono le coordinate comoventi, t è il tempo proprio, a(t) è il
fattore di scala e K il parametro di curvatura che può assumere valori
discreti pari a 1, 0, -1.
DA EINSTEIN A FRIEDMAN
Le equazioni di Einstein legano la metrica dello spazio-tempo al
tensore energia-momento della materia-energia.
Dove poniamo :
con p la pressione, ρc2 la densità di energia compresa quella della
massa a riposo e uk i tetravettori velocità del fluido.
In generale abbiamo che :
dove
ma nella metrica che stiamo considerando sappiamo che:
gli unici simboli di Christoffel diversi da zero sono:
ritornando dunque ai termini del tensore di Ricci:
la traccia del tensore di Ricci è dunque
infine esplicitando il primo termine del tensore di Einstein
da cui si ottiene la prima equazione di Friedman
sostituendo questa equazione nella formula
si ottiene la seconda equazione di Friedman
Nel caso nelle equazioni di Einstein si tenga conto della presenza di una
eventuale costante cosmologica Λ
si riscrivono le equazioni di campo sostituendo al tensore energiaimpulso un nuovo tensore efficace che tiene conto della nuova
componente repulsiva dovuta alla nuova equazione di stato e al fatto
che per costante cosmologica si ha
scritto:
con :
In cosmologie con equazione di stato in cui si considera il contributo
della costante cosmologica, il contributo di questo termine può essere
paragonato a quello di un fluido con pressione negativa. Nel caso le
densità di materia e di “dark energy” siano tali per cui q0<0 l’universo
vive un fase di accelerazione.
Una determinazione precisa dei parametri cosmologici ed in particolare
la conoscenza delle densità Ωi caratteristiche delle varie componenti
che entrano nell’equazione di stato sono necessarie dunque per
comprendere fino in fondo la storia evolutiva del cosmo
Negli ultimi anni si sono messi in atto vari progetti volti a tal fine.
In particolare in questa sede verranno trattati i seguenti metodi di
determinazione.
• studio dei parametri cosmologici usando come candele
standard le Supernovae 1A
• Analisi dello spettro di potenza delle fluttuazioni di
temperatura del fondo cosmico a microonde (COBE e
WMAP)
Distanze nel cosmo
La legge di Hubble che lega a distanza di un oggetto extragalattico alla
sua velocità di recessione e che dipende dal solo parametro H0 è valida
solo per oggetti non eccessivamente lontani dall’osservatore ( z<0.1 ). Già
da molti decenni però le tecnologie permettono di osservare oggetti
extragalattici spingendoci a redshift che raggiungono il valore di 6. Per
conoscere la distanza di oggetti a grande z è necessario tener conto del
peso che hanno le varie componenti nell’espansione dell’universo.
Per oggetti lontani dunque si definisce una quantità detta distanza di
luminosità dL che preserva la validità della legge dell’inverso dl quadrato
della distanza per la diminuzione dell’intensità emessa da una sorgente
puntiforme.
dove L è la potenza emessa da una sorgente posta in un punto P di
coordinata r al tempo t e l è la potenza ricevuta da un osservatore posto
nel punto P0 ad un tempo t0
Il fattore di scala a(t) può essere sviluppato in serie per t prossimi a t0
1

2
2
3
 a0 1  H 0 t  t0   q0 H 0 t  t0    t  t0  
2


dove abbiamo definito i parametri riferiti al fattore di scala odierno
COSTANTE DI HUBBLE
PARAMERO DI DECELERAZIONE
Utilizzando questo sviluppo in serie si devono cercare delle equazioni
che mettano in relazione delle quantità osservate con i parametri
cosmologici.
La distanza di luminosità può essere riscritta in funzione delle
coordinate ignote della sorgente luminosa r.
utilizzando l’espansione precedente con un po’ di conti si ottiene lo
sviluppo in serie di potenze della distanza di luminosità
questa può anche essere scritta come uno sviluppo in serie della
luminosità apparente l (osservabile) in funzione di z (osservabile) della
luminosità assoluta L (in genere ignota) e dei due parametri H0 e qo
che in forma osservativamente più comune può essere riscritta come
Riess 2000 riporta la relazione attesa per la distanza di luminosità in
una cosmologia di Friedman-Robertson-Walker con ΩM e densità
dovuta al termine di costante cosmologica ΩΛ esplicitate
con senn equivalente al seno iperbolico per ΩK>0 e al seno per
ΩK<0. Nel caso di ΩK=0 la relazione si riduce a
Nel caso si riesca a trovare una categoria di sorgenti per le quali sia
possibile conoscere la luminosità intrinseca indipendentemente dal
modello cosmologico usato partendo solo da quantità osservate le
relazioni precedenti permettono di determinare una stima dei parametri
cosmologici utilizzando soli dati osservati.
Tale tipo di sorgenti sono dette
CANDELE STANDARD
gli oggetti di questo tipo che oggi forniscono le migliori stime sono le
SUPERNOVAE 1A
SUPERNOVAE 1A
Le supernovae 1A sono egli eventi di supernova particolarmente brillanti
(magnitudine assoluta al picco superiore a -19 usando H0=72 km s-1 Mpc1) Filippenko et al. 2004, dovuti probabilmente o al raggiungimento della
massa di Chandrasekhar da parte di una stella (nana bianca) in
accrescimento da parte di una stella compagna o al merging di due nane
bianche in un sistema binario particolarmente stretto.
Questo tipo di supernova può essere riconosciuto dalla curva di luce che
mostra un picco di emissione fra 10 e 15 giorni e dal fatto che nello spettro
siano riconoscibili righe dovute alla presenza di elementi pesanti come ad
esempio una forte riga di assorbimento associata al Si II a 6150 Ǻ.
CANDELE STANDARD
Le supernovae 1A possono essere giudicate delle ottime candele
standard per vari motivi.
• La forma della loro curva di luce ed in particolare l’andamento
temporale della decrescita del flusso dopo il raggiungimento del
picco correla con la magnitudine assoluta al picco
• La loro elevata luminosità intrinseca permette loro di essere visibili
anche a distanze (z anche superiori a 1) più elevate delle altre
candele standard.
• Il peso delle correzioni da applicare come l’assorbimento dovuto alla
presenza di polveri lungo la linea di vista sia nella nostra galassia
(mappe di Schlegel) sia nella galassia ospite non sono tali da
inficiare i risultati ottenuti
• Effetti evolutivi e differenze comportamentali in funzione del redshift,
seppur al centro degli odierni studi, non provocano una dispersione
nella correlazione maggiore della confidenza dei risultati.
• La loro distanza permette di analizzare le caratteristiche della
galassia ospite
Una volta individuato un evento è
necessario calibrare l’osservazione
con una stella di riferimento e poi
sottrarre immagini prese a tempi
successivi.
A questo punto analizzando lo
spettro si può verificare che la
sorgente soddisfi le condizioni di
selezione e determinare lo z della
sorgente
Analizzare
l’andamento
curva di luce
della
Le curve di luce osservate
mostrano una evidente
dispersione
rinormalizzando tenendo conto
della correlazione si vede una
sorprendente sovrapposizione
delle curve di luce
Analizzando i dati si deve tenere conto del fatto che esistono effetti
sistematici indipendenti dalle caratteristiche intrinseche della sorgente e
dal modello cosmologico e che dunque rischiano di inficiare la validità dei
risultati
• L’osservatore non è fermo rispetto al sistema di riferimento
dell’espansione (vedi dipolo nel CMB).
• L’assorbimento dovuto alle polveri presenti nella galassia ospite
può avere un’importanza rilevante sia per la riduzione del flusso
osservato sia per la distorsione della forma spettrale osservata.
• Correzione degli effetti dovuti all’atmosfera (per le osservazioni da
terra)
• Effetti di selezione
• Differenze di calibrazione (esiste spesso disomogeneità
nell’acquisizione di dati presi da telescopi diversi e usando stelle di
calibrazione diverse)
Correggendo per gli effetti dovuti
al’assorbimento da polveri la
dispersione passa da 0.42 a 0.15
magnitudini.
Per dare un’idea dell’importanza di
questo tipo di correzione si noti che
la deviazione che porta a calcolare
l’accelerazione è dell’ordine di 0.25
magnitudini (Filippenko 2004).
La prima dava una stima della
costante di hubble a H0=58±8,
Quella corretta restituisce una
stima di H0=65±2. Le ultime stime
che tengono conto anche di altri
eventi non inseriti in questa
imagine hanno portato la più
recente stima a H0=72 km s-1
(Filippenko 2004)
Filippenko 2004
Dai dati definitivamente
analizzati si può infine tracciare il
diagramma di Hubble e
determinare i parametri cercati
Le supernovae a basso redshift
hanno permesso di fissare una
stima della costante di hubble
H0 mentre i fit tenendo conto
delle supernovae più lontane
fino a z=0.9 e successivamente
inserendo anche un evento a
z≈1.7 hanno reso possibile una
stima delle densità di materia e
di “dark energy” vincolando
anche il segno del parametro di
decelerazione.
Filippenko 2004
Filippeko 2004
RISULTATI
Imponendo universo piatto
CMB
La radiazione cosmica di fondo a microonde CMB è l’immagine della
superficie di ultimo scattering fra fotone e elettrone avvenuto al tempo della
ricombinazione fra protoni ed elettroni.
Lo spettro della CMB al momento dell’emissione è uno spettro di corpo
nero.
Essendo la quantità I/3 un invariante di Lorenz lo spettro da noi
osservato a z=0 è ancora uno spero di corpo nero praticamente perfetto.
Si può dimostrare che l’effetto dell’espansione sullo spettro di un corpo
nero è quello di ridurre la temperatura osservata di un fattore (1+z) rispetto
a quella emessa mantenendo inalterata la natura termica dello spettro.
Lo spettro della CMB misurato dal satellite COBE mostra come i dati
osservati. Si può notare l’assoluta consistenza dei dati osservati con la
curva teorica di un corpo nero avente una temperatura di 2.726 k.
FLUTTUAZIONI DI TEMPEATURA
Una volta ottenuta una mappa di temperatura del cielo è necessario
sviluppare questo campo di fluttuazioni sulla base delle armoniche
sferiche.
dove con
è indicato il vettore unitario che identifica la direzione nella
volta celeste.
Sfruttando l’ortonormalità delle armoniche sferiche
possiamo invertire la relazione ottenendo
La funzione di correlazione a due punti C(θ) per le fluttuazioni di
temperatura misurate nelle direzioni definite rispettivamente dai versori
q1 e q2 che formano fra di loro un anglo θ può essere scritta come
e invertendo
dove Pl(cosθ) sono i polinomi di Legendre.
Queste sono relazioni esatte. Consideriamo il comportamento medio,
si puo’ scrivere
Dove con i Cl indichiamo lo spettro angolare di potenza delle fluttuazioni
definito come il valore quadratico medio dei coefficienti alm. Questo ci
mostra la dimensione media delle fluttuazioni su una scala angolare θ≈1/l
I modelli cosmologici predicono con accuratezza la forma dello spettro di
potenza delle fluttuazioni in funzione di un gran numero di parametri fra
cui: la costante di Hubble h, la forma dello spettro delle perturbazioni
primordiali, la densità totale della materia Ω0m, la densità di materia
barionica Ω0b, la densità massa-energia “dark energy” Ω0, il parametro
che rappresenta la curvatura della geometria definito come
ΩK=1-Ωom-Ω0.
E’ dunque possibile ricavare il valore di tali parametri confrontando i dati
osservati con le curve predette dai modelli verificandone poi la
consistenza. L’alto numero di parametri rende necessaria una misura
estremamente accurata dello spettro di frequenza.
Spettro delle fluttuazioni di temperatura predetto
sovrapposto ai dati ottenuti da vari esperimenti
Come si vede, le osservazioni hanno
fornito una stima dello spettro fino a
valori di l superiori a 1000 con un
apporto fondamentale di informazione
dato da WMAP per la determinazione
della forma del primo picco.
Al variare di Ω0m la curva sale o
scende contemporaneamente nei
primi due massimi mentre
all’aumentare di Ω0b il primo picco
aumenta mentre scende il secondo. Misurando dunque l’altezza del primo
picco e il rapporto fra le altezze dei dei primi due si possono stimare i
valori della densità totale di materia e della densità di materia barionica.
La scala del primo picco corrisponde alla scala di massa che entra
nell’orizzonte al momento della ricombinazione.
Nell’ipotesi di universo piatto si può stimare con un semplice calcolo
con  lunghezza comovente
quindi
sia 0 la scala odierna, la scala  alla ricombinazione sarà
il rapporto fra la scala dell’orizzonte alla ricombinazione e quella
attuale è
In uno scenario di universo piatto ci si aspetta che il primo picco sia
centrato su un valore di l≈200, nel caso di universo aperto l’angolo
corrispondente all’orizzonte alla ricombinazione sarà minore
spostando il picco verso l maggiori. Una valutazione accurata delle
previsioni teoriche confrontate con le osservazioni di WMAP
permette di ottenere la migliore odierna stima della densità totale
dell’universo e una stima della densità di materia.
Spergel et al. 2003
Questi risultati sono consistenti con un modello di universo piatto
(ΩK=0) e con i risultati ottenuti con le supernovae 1a (Ω0m=0.27 e
Ω=0.73).
E’ oggi possibile escludere una cosmologia con Ω0m=1
OSSERVAZIONE DELLE ANISOTROPIE
Al fine di studiare le anisotropie della radiazione cosmica di fondo è
necessario valutare i fattori che possono intervenire sulla radiazione
prima di essere osservata diminuendone il grado di isotropia.
In primo luogo è necessario tener conto del moto relativo
dell’osservatore rispetto al sistema di riferimento del fluido comovente.
Nel caso di un osservatore terrestre la velocità totale è quella
risultante dalla combinazione dei moti della terra nel sistema solare,
del sistema solare all’interno della Via Lattea e della velocità che la
nostra galassia possiede all’interno della buca di potenziale
dell’ammasso di cui fa parte. Tale moto provoca una rottura della
simmetria sferica individuando una direzione preferenziale. Tale
evento si traduce in un contributo di dipolo (l=1) nello spettro di
potenza delle fluttuazioni.
Già le mappe di COBE e poi di WMAP rappresentano in modo molto
evidente il peso di questo effetto come mostrato in figura.
Il dipolo non è dovuto ad un
spostamento doppler della radiazione
in quanto l’effetto netto della
variazione dell’energia dei fotoni e del
differeziale della frequenza fanno si’
che la temperatura osservata da un
osservatore in moto sia invariata.
Il dipolo è dovuto invece ad un
aumento del flusso di fotoni lungo la
direzione del moto contemporaneo ad
una diminuzione dell’angolo solido.
Nel riquadro centrale della figura si
può facilmente notare il peso del
termine di dipolo nell’isotropia del
CMB a ΔT=3.353mK.
L’ultimo riquadro in basso mostra
l’immagine ripulita dall’effetto del
dipolo. Si mostra essere necessaria
una correzione per eliminare il
contributo dovuto a sorgenti diverse.
Il contributo della galassia e dellle altre sorgenti radio viene ripulito
mappando la radiazione a varie frequenze e combinando poi le
immagini per ottenere infine una rappresentazione precisa della CMB
• anisotropie di quadrupolo (l=2): possibilmente dovute alla presenza
di perturbazioni su scala dell’orizzonte cosmologico
• effetto Sachs-Wolfe: una non omogenea distribuzione di materia
sulla superice di ultimo scattering con conseguente variazione
locale dei potenziali gravitazionali provoca effetti di shift
gravitazionale sui fotoni.
• effetto Sunyaev-Zeldovich: interazione compton inverso dei fotoni
del CMB con gli elettroni altamente energetici presenti nel plasma
caldo dell’ICM. I fotoni a bassa energia vengono riprocessati e
riemessi ad alte frequenze (tipicamente si osservano con telescopi
X).
• shift gravitazionale in prossimità di ammassi (integrated SachsWolfe effect).
• Una eventuale reionizzazione del cosmo porterebbe ad avere una
riduzione del segnale in funzione dell’andamento e del valore della
profondità ottica incontrata dai fotoni.
RISULTATI COMBINATI
REFERENCES
• Riess, A.G., 2000, Pubblication of the Astronomical Society of the
Pacific, 112,1284
• Riess, A.G., Strolger, L.G., Tonry, J., et al., 2004, ApJ, 607,665
• Filippenko, A.V., 2004, astro-ph, 0410609
• Spergel, D.N., Verde, L., Peiris, H.V., et al, 2003, ApJ, 148, 175
• Introduzione alla cosmologia, F. Lucchin
• Gravitation and Cosmology, S. Weinberg
• Cosmological Physics, J.A. Peacock