FORMAZIONE
delle
STRUTTURE
Lisiero Egle
• INTRODUZIONE
• TEORIA
• OSSERVAZIONI
Bibliografia
FLUTTUAZIONE STATISTICA:
R : raggio del volume sferico in considerazione
n : densità numerica di particelle
n-1/3 : libero cammino medio per particella
N' = N – ΔN = nV ' = n(4/3)π(R-n-1/3 )3 =
N = n V ; V = (4/3)πR3
= n(4/3)πR3 (1 – R-1n-1/3 )3 ~
~ n(4/3)πR3 (1 – 3R-1n-1/3)
ΔN = n(4/3)πR3 (3R-1n-1/3) =
= 4π (nR3)2/3 =(36π)1/3 N2/3
n-1/3
N’ = n V' ; V' = (4/3)π(R-n -1/3)3
ΔN/N ~ N-1/3
CRITERI DI INSTABILITÀ
GRAVITAZIONALE:
Si consideri una disomogeneità sferica di raggio R in
un background statico di un fluido collisionale
• FGRV > FPRS : GρR3/R2 > PR2/ ρR3
• U(en grv) > K(en cnt th) : G(ρR3)/R > Cs2
• Τff > Tidrodinamico : (Gρ)-1/2 > R/Cs
Si ottiene da ogni condizione:
R > (Cs2/ Gρ)1/2
EVOLUZIONE DELLE
FLUTTUAZIONI
Per lo studio delle fluttuazioni di densità in un
fluido sono necessarie tre equazioni*:
• eqz di continuità: ∂ρ/∂t +
• eqz di Poisson:
2φ
= -4πGρ
• eqz di Eulero: ∂v/∂t = -(v
* i termini dissipativi sono trascurati
(ρv) = 0
)v - P/ρ + φ
TEORIA DI JEANS
• ipotesi sul fluido di background:
-fluido collisionale
-fluido statico
• soluzioni di background:
P = P0 ; ρ = ρ0 ; g = 0 ; v = 0
• soluzioni per le perturbazioni del
background:
P = P0 + δP ; ρ = ρ0 +δρ ; g = δg ; v = δv
RISULTATI DELLA TEORIA DI JEANS
inserendo nelle equazioni descriventi il fluido le soluzioni per le fluttuazioni, si ottiene, trascurando i termini di
ordine superiore, un’ equazione lineare per i modi dello sviluppo di Fourier della deviazione normalizzata dalla
densità di background δρ/ρ :
δk + w2δk = 0
dove
w2 = Cs2k2 - 4πGρ0
si ottengono quindi due soluzioni definenti due regimi differenti:
per w2 > 0 (k > kj = (4πGρ0 )1/2/Cs) :
< 0 (k < kj = (4πGρ0 )1/2/Cs) :
REGIME ARMONICO
δk = Aeiwt + Be-iwt
REGIME ESPONENZIALE
δk = Aeμt + Be-μt
Con μ² = -w²
Dal modello di background statico di Jeans si definisce una lunghezza caratteristica tale per cui, se la
perturbazione risultasse essere estesa in un volume definito da dimensini lineari maggiori di tale grandezza,
andrebbe incontro a collasso gravitazionale, altrimenti si propagherebbe come un’onda sonora. Tale lunghezza,
che prende il nome di LUNGHEZZA DI JEANS, è definita come:
λj = 2π/kj = Cs(π/Gρ0)1/2
TEORIA DI LIFSHITZ
• ipotesi sul fluido di background:
-fluido collisionale
-fluido in espansione
• soluzioni di background*:
Pb = 0 ; ρb = ρ0(R0/R)3; gb = -(4/3)πGρr ;
vb = r(R/R)
• soluzioni per le perturbazioni del background:
P = δP ; ρ = ρb +δρ ; g = gb + δg ; v = vb + δv
*tali soluzioni descrivono un fluido di polveri in espansione descritto dalle equazioni di
Friedman, poiché R(t) è definito come il parametro di espansione a(t). (appendice A)
RISULTATI DELLA TEORIA DI
LIFSHITZ
inserendo nelle equazioni descriventi il fluido le soluzioni per le fluttuazioni, si ottiene,
trascurando i termini di ordine superiore, un’ equazione lineare per i modi dello sviluppo di
Fourier della deviazione normalizzata dalla densità di background δρ/ρ :
δk + δk(2 a/a)+ w2δk = 0
dove
w2 = Cs2k2/a2 - 4πGρb
L’ equazione che si ottiene differisce da quella ottenuta nella trattazione di Jeans per il termine
di smorzamento δ'k(2 a'/a). La presenza di questo termine porta ad ottenere due soluzioni
differenti rispetto a quelle di Jeans, ed il vettore d’onda definente il limite tra regime di collasso
gravitazionale e quello di propagazione come onda di compressione risulta ora dipendere dal
parametro di espansione a.
per w2
> 0 (k > k = akj = a(4πGρb )1/2/Cs) :
δk = (δ+ ei3wt’ + δ- e-i3wt’ )/t’
dove t’ = t1/3 ; δ± sono definiti dalle conddizioni iniziali
< 0 (k < k = akj = a(4πGρb )1/2/Cs) :
δk = δ+ (t/ti)2/3 + δ+ (t/ti)-1
REGIME OSCILLATORIO SMORZATO
REGIME COLLASSO GRAVITAZIONALE
dove ti , δ± sono definiti dalle conddizioni iniziali
!
PRIMA DELL’EQUIVALENZA
prima dell’equivalenza l’universo risulta essere dominato dalla radiazione (ρr >ρm), si
devono tenere presenti quindi due punti:
 la pressione di background è non nulla ed è definita come p = wρ. Il vettore d’onda
di transizione risulterà quindi essere:
kj = {4πGρb(1 + cs2)(1 + 3w )}1/2/Cs
e, considerando che per un universo radiativo a(t) ~ t1/2, le fluttuazioni cresceranno
secondo la legge:
δ = δ+ (t/ti) + δ- (t/ti)-1
 la scala di Jeans λj risulta essere sempre maggiore del raggio caratterizzante
l’orizzonte. Ne segue quindi che le fluttuazioni di densità prima dell’equivalenza non
collasseranno ma si propagheranno come onde di compressione con velocità pari a
cs = c/√3
MATERIA OSCURA:
MODELLO A DUE FLUIDI
Dalle osservazioni emerge l’esistenza di materia in grado di interagire solo
gravitazionalmente.Questa materia (DM) non può essere descritta come un gas
perfetto, perchè non interagisce in modo significativo neanche con se stessa; essa è
non collisionale. Inoltre, un modello di universo di materia totalmente barionica non
concilierebbe con alcuni punti:
•
•
•
•
Le previsioni del modello di nucleosintesi primordiale non spiegherebbero le
abbondanze osservate.
 TOT prevista essere ~ 1.
Lo spettro barionico dà fluttuazioni troppo grandi sulla scala di 10-20 h-1 Mpc
rispetto a quanto osservato nella distribuzione delle galassie .
Il modello puramente barionico predice fluttuazioni di temperatura nel CMB
troppo grandi rispetto a quanto osservato. (COBE)
Risulta quindi necessario studiare non più un’unica equazione adatta a descrivere il
fluido di fotoni e barioni accoppiati (sino alla ricombinazione), ma due equazioni
accoppiate che considerino i due fluidi: uno composto da DM ed uno per fotoni e
barioni accoppiati.
EQUAZIONI A DUE FLUIDI
• δ + δ(2a/a) + w2δ - 4πGρDMδDM = 0
con w2= cs2k2/a2–4πGρ(1+cs)(1+3w)
• δDM + δDM(2 a/a) – 4πGρ(1 + cs2)(1 + 3w)δ - 4πGρDMδDM = 0
Da queste due equazioni si determinano le soluzioni:
 z > zeq:
- δ DM è trascurabile
- λ < λj
<δ>=0
δDM + δDM(2 a/a)
δDM = δ0DMln(t/ti)
Per questo periodo quindi le fluttuazioni risultano essere “congelate”: non vi è
crescita per i barioni e per la DM le fluttuazioni crescono solo debolmente. Tale
fenomeno prende il nome di EFFETTO MESZAROS
 z < zeq
- δDM > δ
- DM ~ 1
δDM = δDM+ (t/ti)2/3 + δDM- (t/ti)-1
δ(**) = δomogenea associata + δintegrale particolare
- λ ≤ λj(*)
(*) Sino alla ricombinazione la scala di Jeans per fluttuazioni di densità di materia barionica
risulta essere comunque prossima alle dimensioni dell’orrizzonte, quindi, tali fluttuazioni
non crescono significativamente fino al disaccoppiamento con la radiazione.
(**) La soluzione descrive fluttuazioni oscillanti intorno ad un centro “spostato” di una
certa costante (δintegrale particolare ) dipendente dalle fluttuazioni della DM.
LUNGHEZZA DI FREE STREAMING : è l'equivalente della lunghezza di
Jeans per la componente non barionica della materia. Se v* è la velocità
casuale tipica delle particelle (escludendo naturalmente il termine di espansione
di Hubble), tale grandezza è espressa come:
λFS = v*(π/Gρ)1/2.
tutte le perturbazioni su scala inferiore alla lunghezza di free streaming allora
verranno cancellate dal semplice moto delle particelle, il quale definisce un
termine di pressione efficace. Ciò è comprensibile in quanto una sovradensità
non può persistere se le particelle che la compongono sfuggono prima che
questa riesca a crescere.
Poiché le perturbazioni della componente oscura della materia hanno cominciato a
crescere prima della ricombinazione per la minore interazione con la componente di
radiazione, il contrasto di densità della materia oscura è più alto di quello dei barioni
al momento del disaccoppiamento di quest’ultimi dalla radiazione. La crescita delle
perturbazioni barioniche è allora guidata dalle disomogeneità già esistenti nella
distribuzione di materia oscura.
Dark matter
Δρ/ρ
Baryons
universo
radiativo
universo di
polveri
collasso della
componente barionica
nelle buche di
potenziale della DM
equivalenza
ricombinazione
t
MODELLI DI DM
HDM: Il modello della materia
oscura calda considera come come
componenti della DM particelle
disaccoppiatesi in stato
relativistico. A causa di ciò, per effetto
di free streaming, tutte le fluttuazioni
su scala inferire alla scala entrante
nell’universo al momento della loro
derelativizzazione saranno cancellate.
Questo modello prevede quindi una
formazione delle strutture oggi
osservate per frammentazione di
strutture su larga scala (top down).
Tale scenario non riproduce però la
distribuzione di sistemi virializzati oggi
osservata (non si osserva il cut-off
esponenziale nello spettro), si è
quindi scartato questo modello per una
spiegazione completa della DM.
 PARTICELLA CANDIDATA: neutrino
CDM: Il modello della materia
oscura fredda prevede che la DM sia
costituita da particelle
particolarmente massive,
disaccoppiatesi quindi in stato non
relativistico. A ciò segue quindi una
formazione delle strutture presenti oggi
nell’universo a z = 0 per merging
gravitazionale di strutture minori
(bottom up). Le osservazioni condotte
sino a z ~ 3 sembrano confermare che
la CDM sia la componente principale
della materia non barionica dominante
la materia totale nel cosmo in quanto
lo spettro di potenza P(k) mostra un
ginocchio ad alti k.
 PARTICELLA CANDIDATA: WIMPS
STRUTTURE A DIVERSI RED-SHIFT
MODELLO ΛCDM
OSSERVAZIONI
ESISTENZA DELL’ ENERGIA OSCURA
dalle osservazioni si ha evidenza di un universo in espansione accellerata (ä > 0). Questa implica
l’esistenza di una sostanza con p < -ρ/3. Tale sostanza, ancora ignota, prende il nome ENERGIA
OSCURA (DE) e può essere spiegata dal modello di universo includente la costante cosmologia
Λ.
SPIEGAZIONE TEORICA:
Il modello descrivente meglio l’universo sembrerebbe essere allora quello di ΛCDM. Quest’ultimo
prevede che la somma dei parametri di densità (densità espressa in unità di densità critica) attuali
di materia (Ωm) ed energia oscura (Ωde) sia circa uguale a uno (Ωm + Ωde = 1). Questa condizione,
definendo un universo piatto, mette d’accordo il modello con la teoria inflazionaria. È̀ evidente che
questa componente di energia oscura, porta al blocco della formazione delle strutture
ASSUNZIONI DEL MODELLO:
•fluttuazioni primordiali – adiabatiche (le fluttuazioni delle diverse componenti del cosmo sono
accoppiate)
- gaussiane
•spettro delle fluttuazioni di Harrison-Zeldovich (P(k) = Akn, con n ≈ 1)
• validità della CDM
CRESCITA(HP
NON
LINEARE
CDM)
 PRIMA DELLA RICOMBINAZIONE:
•
fluttuazioni del fluido radiazione-barioni crescono debolmente solo su scale
prossime all’orizzonte → δρ/ρ < 1: la crescita è lineare.
• fluttuazioni della componente non barionica della materia crescono dal
momento della derelativizzazione formando buche di potenziale.
 DOPO LA RICOMBINAZIONE:
•
•
la radiazione, non interagendo più con la materia, partecipa all’espansione
del cosmo mantenendo inalterata (a meno degli effetti di redshift
cosmologico) la distribuzione delle fluttuazioni presenti all’atto del
disaccoppiamento con i barioni → presenta uno spettro primordiale delle
fluttuazioni.
i barioni “cadono” nelle buche di potenziale della DM ed iniziano a crescere,
seguendo quest’ultima, velocemente → δρ/ρ > 1: la crescita diventa non
lineare.
MODELLO TOP-HAT SFERICO
(HP CDM)
La soluzione per la crescita di fluttuazioni descritta da equazioni non lineari risulta
essere determinabile solo sfruttando metodi di calcolo computazionale. Il metodo
analitico è applicabile solo al caso di perturbazione sferica (non reale) a gradino e
sotto ipotesi di universo di materia con Ωbck = 1.
Ipotizzando anche l’espansione iniziale per la sovradensità uguale a quella
dell’universo si determina l’equazione definente l’evoluzione del raggio R della
perturbazione:
(R/Ri)2 = Hi2{Ωit(Ri/R) – (Ωit – 1)}
dove: Ωit è il parametro di
densità relativo alla perturbazione
al momento iniziale.
Si ottengono come soluzioni:
R = Ri Ωit (1 – cosθ)/2(Ωit – 1) ;
R
virializzazione
t = Ωit(θ – senθ)/ 2Hi(Ωit – 1)3/2
Dopo il raggiungimento di Rmax la perturbazione
collassa e, a causa dell’esistenza di
sottosovradensità, l’energia gravitazionale è
convertita in energia cinetica: il sistema si virializza.
π
θ
Press & Schechter
L’IDEA!
non potendo definire la distribuzione di probabilità per l’ampiezza delle fluttuazioni
cresciute non linearmente, sfrutta quella per le fluttuazioni che risultano avere δρ/ρ <
1. Questa, essendo una gaussiana, permette di determinare in modo analitico la
funzione di massa delle strutture virializzate. A questo scopo si determina il tempo
necessario al raggiungimento del Viriale (tempo di virializzazione)per strutture
cresciute in modo non lineare; si calcola poi il contrasto di densità per una crescita
lineare avvenuta nello stesso tempo. E’ quindi possibile determinare la probabilità di
osservare strutture virializzate su una certa scala.
PM(δc)dδ = exp{- δc2/σ2M}dδ/ (2π)1/2σM
probabilità di avere
strutture su scala M con δ >δc
n(M)ΔM = (ρM/M)dPM(>δc)/dM
densità di strutture su scala M
con δ >δc
dove δc = δ(tVIR) è il contrasto di densità estrapolato dalla teoria lineare di una
fluttuazione sferica collassata per cosmologie critiche (senza costante cosmologica).
STUDIO DELLE STRUTTURE OSSERVATE
 LA FUNZIONE DI CORRELAZIONE
la funzione di correlazione risulta essere la base dell’analisi statistica utilizzata per lo studio delle
proprietà di cluster di punti. Essa permette di definire l’influenza che ha un sistema (punto)
presente in un certo volume sull’esistenza di un altro sistema in un altro volume. È ovvio che
se i due volumi sono ad una distanza infinita i due sistemi saranno completamente scorrelati
(indipendenti). La funzione di correlazione in questo caso sarà nulla. E’ possibile dimostrare
inoltre che per distribuzioni gaussiane di punti, questi risultano essere correlati solo a coppie.
La funzione di correlazione allora, per distribuzioni gaussiane, sarà data dalla somma di
prodotti di funzioni di correlazioni a due punti.
FORMA FENOMENOLOGICA
ξ x1x2 = ξ (r) = < εx1εx2 > = (r0/r)γ
dove: r0 è la lunghezza di correlazione delle galassie stimata essere ~Mpc/h;
γ è l’indice di potenza stimato intorno a 1,75
εxi è il contrasto di densità normalizzato nel punto xi:
εxi = (ρ(xi) - <ρ>)/<ρ>
 LA VARIANZA DI MASSA
Spesso, per quantificare il contrasto di densità su una certa scala, viene utilizzata come misura la
varianza di massa smussata su tale scala. Tale grandezza è definita come:
σ2M(R) = (ΔMR /MR)2 = < εRεR > → (1/2π) ∫ P(k)W2(k)k2dk;
dove W(k) è la funzione di smussamento, generalmente presa di tipo gaussiano, che seleziona le
scale che portano un contributo dominante nello spettro. Il suo effetto consiste nel “tagliare” i
segnali sotto una certa scala, eliminando quindi le componenti dello sviluppo di Fourier del
contrasto di densità con un cut-off di tipo esponenziale (taglio gaussiano).
Spesso, per i conteggi di galassie si normalizza la varianza a 8 Mpc/h (σ8). Per misurare la
variazione dall’unità si utilizza il parametro di bias: b = 1/σ8. Quest’ultimo da informazioni sulla
discrepanza tra la distribuzione della materia osservata e quella attesa.
 LO SPETTRO DI POTENZA
Lo spettro di potenza della fluttuazioni P(k), definito come: <|δ(|k|)|2>, risulta essere relazionato con
la funzione di correlazione ξ x1x2 . Nel caso di processo gaussiano poi, essendo la fase
associata alle ampiezze δ(|k|) casuale, la funzione di correlazione e lo spettro di potenza sono
determinati univocamente l’uno dall’altro. Il modello inflazionarlo, che permette di spiegare
l’isotropia e l’omogeneità dello spazio, prevede uno spettro primordiale a legge di potenza:
P(k) ~ kn. In particolare, per n =1 si avrebbe lo spettro di Zeldovich, per il quale la varianza di
massa su scala pari alla scala entrante nell’orizzonte risulterebbe costante indipendentemente
dal red-shift. Lo spettro primordiale risulta associato ad una distribuzione per le fluttuazioni
gaussiana, ed è valido sino alla ricombinazione, dove la crescita non lineare porta alla rottura
della gaussianità. Al disaccoppiamento tra barioni e fotoni lo spettro di potenza è definibile
sfruttando la funzione di trasferimento T(k).
La funzione di trasferimento fornisce l’ampiezza delle fluttuazioni trasmesse alla ricombinazione,
e quindi il loro spettro, in funzione della scala k.
Pfinale (k) = T(k) Piniziale (k)
Tale funzione tiene conto della modulazione subita dallo spettro delle perturbazioni, dopo
l’entrata nell’orizzonte, a causa di vari processi che portano una soppressione cinematica nella
crescita delle oscillazioni delle fluttuazioni.
Log T(k)
CDM
BARIONI
HDM
Log k
SPETTRO DI POTENZA DELLE FLUTTUAZIONI DI DENSITÀ
IN FUNZIONE DEL NUMERO D’ONDA K
logP(k)
EFFETTO
MESZAROS
SPETTRO
PRIMORDIALE
n~1
logk
K equivalenza
P(k > kequ) = T(k > kequ) P(k < kequ)
~ k-3
FUNZIONE DI CORRELAZIONE E SPETTRO DI
POTENZA ANGOLARE
 FUNZIONE DI CORRELAZIONE ANGOLARE
Analogamente alla funzione di correlazione spaziale è possibile definire quella angolare,
dove la dipendenza dalla distanza radiale tra due punti è sostituita dalla dipendenza
dalla distanza angolare θ tra questi. Il passaggio tra l’una e l’altra è possibile
attraverso l’equazione di Lindberg. Il vantaggio della funzione di correlazione
angolare consiste nella minor incertezza sperimentale sulle distanze angolari rispetto
quelle radiali. Considerando una dipendenza dalla distanza angolare della funzione di
correlazione del tipo: r -γ, si ha una funzione angolare del tipo: θ(1 – γ).
 SPETTRO DI POTENZA ANGOLARE
Analogamente allo spettro di potenza spaziale è possibile definire lo spettro angolare
cl(θ) dai coefficienti dello sviluppo della deviazione normalizzata di temperatura
(misura delle fluttuazioni della radiazione cosmica di fondo CMB) sulla base delle
armoniche sferiche. La scala angolare θ, inversamente proporzionale al parametro l,
è ovviamente misura del tempo al quale le fluttuazioni entrano nell’orizzonte. Misure
a bassi l (alti θ) portano ad avere una statistica dominata dalla varianza cosmica
(cl(θ)/(2l + 1)1/2), quindi non attendibile. Tale spettro per la CMB porta informazioni
sulle fluttuazioni della materia barionica all’epoca del disaccoppiamento di
quest’ultima dai fotoni
OSSERVAZIONI
Le osservazioni sperimentali che possono fornire dei
constraints alla teoria esposta precedentemente sulla
formazione delle strutture risultano:
• osservazioni sulla CMB
• osservazioni sulle strutture ad alto redshift
queste osservazioni possono fornire conferme sulla teoria
attraverso il confronto con i risultati ottenuti da :
• simulazioni a N-body
CMB: che cos’è
La radiazione cosmica di fondo è un debole
segnale nella banda microonde rivelabile in
ogni direzione di osservazione. Essa è
interpretabile come il residuo (“fossile
elettromagnetico”) dell’ esplosione iniziale
da cui ha avuto origine il cosmo
supponendo una espansione adiabatica di
quest’ultimo. Tale espansione, a cui segue
un raffreddamento del cosmo, ha portato ad
un aumento della lunghezza d’onda dei
fotoni e quindi ad una diminuzione della
densità di energia. La distribuzione di
densità energia segue la legge di corpo
nero di Planck , ed è quindi caratterizzata
da una temperatura caratteristica
osservata essere ~ 2,73°k
La figura mostra lo spettro CMB misurata dal
satellite COBE. Le grandi barre di errore sono
dovute a risonanze meccaniche, la deviazione
dalla legge di Plank è inferiore al 0,3%
CMB: informazioni sulla formazione
delle strutture
COBE (Bennett et al 1992) rivela
l’esistenza di lievi variazioni di
temperatura (~10-3) a varie frequenze
nello spettro di corpo nero. Poiché sino
alla ricombinazione barioni e fotoni sono
accoppiati, queste anisotropie
rispecchiano le disomogeneità della
materia barionica nel momento del
disaccopiamento. Queste disomogeneità
risultano essere le fluttuazioni primordiali
di densità amplificate nel tempo dalla
gravità. Successivamente, l’esperimento
di WMAP(Bennett et al 2003), permette
di studiare la radiazione di fondo con più
alta precisione. Da quest’ultime
osservazioni si rivelano anisotropie
dell’ordine di 10-5 le quali risultano
obbedire ad una statistica gaussiana.
L’immagine mostra un confronto tra le osservazioni ricavate
da COBE (53 GHz, Bennett et al, 1996) con quelle di
WMAP(5 bande da 23 a94 GHz, Bennett et al, 2003)
LO SPETTRO ANGOLARE
Bennett et al (2003), studiando lo spettro
angolare di polarizzazione e non,
estrapolano:
– l’epoca di reionizzazione: tr =180+220-80
Myr (95% CL). Tale valore risulta
essere incompatibile con la presenza
di una consistente quantità di WDM.
– un best-fit dei parametri cosmologici
che sembrano confermare la teoria
inflazionaria, un universo piatto con il
4,4% di barioni, il 22% di DM ed il 73%
di DE (modello ΛCDM).
– un indice spettrale n = 0,93 ± 0,03
L’immagine in alto mostra lo spettro angolare di
potenza TT. L’immagine in basso mostra invece lo
spettro di temperatura-polarizzazione TE
OSSERVAZIONI DI CLUSTERING:
SURVEY
IMPORTANZA
Dalle osservazioni su larga scala è possibile estrapolare
informazioni sull’universo a red-shift “elevati” attraverso la
caratterizzazione di spatial clostering. Il principale obbiettivo
consiste nel chiarire la formazione delle galassie e nel testare le
teorie sullo sviluppo delle strutture nel cosmo. Attualmente la teoria
che meglio spiega i dati osservativi è la ΛCDM, e si ha conferma
anche della teoria inflazionaria (fluttuazioni di densità primordiali
distribuite gaussianamente). Il parametro attraverso cui si studiano i
clostering di galassie è la funzione di correlazione ξ(r). La
funzione di correlazione osservata per l’epoca corrente è ben fittata
da una legge di potenza su scale tra i 0,1 e 10 Mpc/h (Devis &
Peables 1983). La lunghezza di correlazione si osserva essere
funzione del red-shift, oltre che dalla morfologia e dalla luminosità
del clustering.
Essendo la funzione di correlazione legata alllo spettro di potenza,
questo parametro permette di testare ipotesi e teorie sulla
formazione delle strutture virializzate
Survey recenti
 VVDS (VIMOS VLT Deep Survey)
Caratterizza un campione di galassie con z compreso tra 0,2 e ~2.
Utilizzando I dati di questa survey, selezionando un sottocampione limitato in luminosità
(17,5 < IAB < 24), Le Fevre et. al. (2005) hanno studiato l’evoluzione di clostering,
attraverso la caratterizzazione della dipendenza della funzione e della lunghezza
di correlazione dal red-shift. Dalla loro analisi è emerso che:
•
•
•
per z < 0,5 la lunghezza di correlazione r0 è bassa (r0 ~ 2,2 Mpc/h). Ciò indica che
le popolazioni di galassie a bassa luminosità, osservabili a questo red-shift,
presentano un basso clostering.
per z compreso tra 0,5 e 1,1 la lunghezza di correlazione risulta pressochè stabile.
Si riscontra infatti un valore per r0 ~ 2,8 Mpc/h.
per z compreso tra 1,1 e 2,1 si osserva che la lunghezza di correlazione cresce
sino ad un valore per r0 pari a circa 3,6 Mpc/h.
È evidente che la lunghezza di correlazione r0 cresce con l’incremento del red-shift.
Di fianco sono
mostrate le funzioni di
correlazione wp (rp),
le lunghezze di
correlazione r0 e
l’indice di
correlazione γ
(misurato
supponendo una
dipendenza di wp da
rp a legge di potenza)
per diversi campioni
osservati a diversi
red-shift.
Sempre utilizzando i dati della VVDS, Marinoni et. al. (2005) hanno studiato la distribuzione di
probabilità (PDF) per un campione di galassie con z compreso tra 0,4 e 1,5. Il gruppo ha
mostrato che:
•
il momento secondo , o rms, della distribuzione delle galassie è pressoché costante
praticamente sul tutto il range di red- shift. Presenta un valore medio di 0,94 ± 0,07.
• il momento terzo della PDF aumenta col tempo cosmico. La probabilità di osservare regioni
di sottodensità diminuisce quindi con l’aumentare del red-shift.
• il picco della PDF si sposta in basso verso contrasti di densità minori in funzione del redshift
È stato determinato anche il bias come funzione del red-shift, della densità e della scala, con
un confronto con la PDF prevista dal modello teorico di CDM. Hanno quindi potuto trarre i
seguenti risultati:
•
•
• il bias delle galassie è una funzione crescente del red-shift.
il bias mostra degli effetti non lineari dell’ordine del10% su scale maggiori di 5 Mpc.
il bias è maggiore per le galassie brillanti rispetto le meno luminose ad ogni red-shift.
• il bias è maggiore per gli oggetti rossi in tutto l’intervallo considerato.
Le osservazioni quindi danno un supporto alla teoria della CDM
Sotto: evoluzione del parametro di
biasing confrontato per due campioni
diversi. Non vi è riscontro di dipendenza
dalla scala per bL(z). Il triangolo mostra i
risultati della survey 2dFGRS per
galassie con L/L*~2.
Sopra: andamento della deviazione standard e
del terzo momento della PDF. I triangoli rossi
corrispondono al valore estrapolato nella
2dFGRS. Le barre rappresentano l’errore di
un σ ed includono anche la varianza cosmica
SDSS (Sloan Digital Sky Survey)
Questa survey effettua la fotometria in
multibanda di tutti gli oggetti visibili
per un quarto dell’intero cielo nord.
Tegmark et.al. (2004) utilizzano lo spettro
di potenza P(k) in 3D delle galassie
osservate da SDSS e ne estrapola
parametri cosmologici come
•
• h
(~ 0,70+0,04-0,03)
• ΩM
(0,25 ± 0,10)
il limite superire della massa del
neutrino
(< 0,6 eV (95%))
Questi risultati sono in accordo con le
analisi effettuate con le osservazioni di
WMAP e della 2dFGRS. Danno anche
conferma del modello di evoluzione
delle strutture di ΛCDM per un
universo piatto.
L’immagine in alto mostra lo
spettro di potenza delle
galassie di SDSS. La figura a
fianco mostra come gli
andamenti degli errori (errore
relativo in alto, rapporto errore
sistematico-statistico in basso)
sui diversi parametri come
funzione della scala k.
Coniugando i dati di WMAP e delle SN Ia (buone candele standard) con quelli della SDSS è
stato possibile da parte del gruppo di Tagmark anche determinare:
•il tempo di vita dell’universo t0 = 14,4 +1,0-0,9 Gyr
•l’indipendenza dal red-shift della denità di energia oscura (DE)
•il parametro per la materia oscura (DM): wDM ~ 0,12 ± 0,01
•densità fisica della DM: ρDM ~ (2,3 ± 0,23)10-27 kg/m3
•il contributo del fondo neutrinico alla DM è inferiore al 12%
I dati portano tutti sostegno all’iptesi di universo piatto con il modello della ΛCDM.
Esempi di correlazioni evinte dal gruppo di lavoro confrontate con i
risultati di WMAP, delle osservazioni delle SN Ia e della teoria.
 2dFGRS (2 degree Fyeld Galaxy Red-shift Survey)
Questa survey ha permesso di ottenere, e quindi di valutare sia il redshift che gli spettri di
potenza di un vasto numero di galassie nel cielo sud (AAT). Gli spettri di potenza
ricavati sono stati utilizzati anche da WMAP per limitare i parametri liberi.
Il lavoro di Lahav et al. (2002) ha confrontato l’ampiezza delle fluttuazioni ricavata dai
dati della 2dF Galaxy Redshift Survey con le recenti stime ottenute dall’analisi delle
anisotropie della radiazione cosmica di fondo (CMB). Come ipotesi di lavoro è stata
assunta la validità del modello teorico di ΛCDM per la crescita delle strutture. I
risultati danno un valore della varianza di massa normalizzata 8 compatibile con
alcune osservazioni dell’abbondanza dei cluster.
Il risultato è un valore per
l’rms delle fluttazioni di
massa 8 compatibile con
alcune osservazioni
dell’abbondanza dei
cluster.
I risultati del lavoro
mostrano indirettamente
l’accordo dei dati
sperimentali con il modello
teorico assunto.
8 =0.73±0.05.
La linea rossa rappresenta i contorni della
funzione di likelihood nell’analisi CMB+2dF.
La linea blu descrive i risultai per la SDSS.
Altre informazioni ricavate
dai dati della survey
2dFGRS sono riportati a
confronto con i risultati
analoghi evinti dalle
osservazioni di altre
survey, del CMB e dalle
simulazioni.
N -BODY
 CHE COS’È: N-body definisce il tipo di simulazione
che viene effettuata per studiare la dinamica
dell’evoluzione delle strutture presenti nel cosmo.
 IMPORTANZA: Le simulazioni sono necessarie in
quanto le equazioni descriventi il collasso gravitazionale
delle fluttazioni originanti le strutture virializzate sono
descritte da equazioni non lineari, quindi non risolubili
analiticamente.
 SCOPO: Le simulazioni ad N corpi permettono di
ottenere dei risultati confrontabili con le osservazioni e
quindi di verificare modelli ed ipotesi
MILLENNIUM SILMULATION
(Springel et al 2005)
 CHE COS’È:
Millennium Simulation è la simulazione in grado di
descrivere meglio l’evoluzione delle strutture su larga
scala secondo il modello ΛCDM.
È scritta con il codice GAJET e sfrutta il metodo TreePM,
combinazione dell’algoritmo ad albero e del ParticleMesh.
I parametri cosmologici in entrata sono consistenti con
quelli estrapolati dall’analisi di WMAP (Bennett et al
2003) e dal 2dFGRS (Hawkins et al 2003).
Il volume interessato nella simulazione è di 500 Mpc/h,
mentre la massa di ogni particella è pari 8,6 • 108M◉ e si
ha un range dinamico di 105 in 3D
DENSITÀ
SPAZIALE DEGLI
ALONI DI DM A
VARIE EPOCHE.
Ogni immagine
mostra una
proiezione della
ρDM di uno
spessore di
spazio pari a 15
Mpc/h. Il colore
codifica la densità
locale e la
dispersione di
velocità della DM.
Risultati
 Millennium simulation definisce uno SPETTRO DI
POTENZA NON LINEARE su un vasto range di scala
(cinque ordini di magnitudine nel numero d’onda k)
compatibile con le osservazioni sulla distribuzione di
galassie delle survey 2dFGRS, VVDS e SDSS.
 Millennium simulation definisce uno SPETTRO DI
POTENZA ANGOLARE della CMB osservata
sperimentalmente da WMAP. La distribuzione dei modi
segue molto bene la distribuzione di Rayleigh aspettata
ed è presente il famoso picco acustico.
L’immagine mostra la distribuzione normalizzata dei modi k (tra 0,03 e 0,07
h/Mpc) ottenuta nella Millennnium Simulation a red-shift z = 4,9.
Nel pannello inferiore sono mostrate le relative deviazioni delle misure dalla
distribuzione. Quste risultano essere in accordo con lo scatter statistico
atteso
Il grafico sopra mostrala funzione di corrlazione a due punti
attuale: i punti rossi mostrano le misure per modelli con
gallasie di magnitudine assoluta minore di 23, quelli rossi sono
relativi ai dati della 2dFGRS, la linea tratteggiata è descrive ξ(r)
per la DM. Mentre quest’ultima si discosta molto da una legge
di potenza, ξ(r) per la componente barionica è ben fittata da
tale legge per r < 20 Mpc/h.
I grafici a fianco mostrano invece ξ(r) come funzione della
luminosità (in alto) e del colore(in basso). Le linee
tratteggiate descrivono i dati osservativi. È evidente che le
galassie più luminose e più rosse risultano maggiormente
clostered
FINE PRESENTAZIONE
PROBLEMI APERTI:
•ELEVATO NUMERO DI PARAMETRI
•NATURA DELLA “MATERIA OSCURA”
•NATURA DELL’ “ENERGIA OSCURA”
-bibliografia• Peebles 1980, “Large scale structure of the Universe
• Press W.H., Schechter P. , The Astrophysical Journal 187, 425-438
(1974)
• Coles, Lucchin 2002, “Cosmology”
• Bennett et. al. 2003 asrtp-ph/0302207
• Springelet. al. 2005 asrtp-ph/0504097
• Le Fèvre et. al. 2005 asrtp-ph/00409135
• Marinoni et. al. 2005 asrtp-ph/0506561
• Tegmark et. al. 2004 asrtp-ph/0310723
• Lahav et al. 2002 astro-ph/0112162
Appendice A: l’equazioni di Friedman
a/a = (8π/3)Gρ – k/a2
d(ρa3) = -pd(a3)
ä/a = -(4π/3)G(ρ + 3p)
da queste si evincono le seguenti relazioni supponendo: p
• ρ ~ a-3(w+1)
• t ~ a3(w+1)/2
dove w =
1/3 per gas relativistico
0 per gas di polveri
= wρ
MODELLO TOP-DOWN
MODELLO BOTTOM-UP