Box-models
Modelli «a scatola»
5/11/2012
Scarico con portata liquida trascurabile: BOD
M b ,in
bilancio di massa
dM b
 M b ,in  k1CbV
dt
(cinetica del primo ordine)
Cb
dCb M in
ip. volume costante

 k1Cb
dt
V
V
condizione asintotica
t 
(bilancio all’equilibrio)
+ ip. scarico costante
dCb
0
dt
Cb ,eq 
M b ,in
k1V
bilancio di massa riscritto come «distanza» dall’equilibrio
dCb
 k1 Cb ,eq  Cb 
dt
Cb t  0   Cb 0

soluzione Cb t   Cb 0 e  k1t  Cb ,eq 1  e  k1t

(tendenza verso la conc. asintotica)
(decadimento della concentrazione iniziale)
Scarico con portata liquida trascurabile: deficit di ossigeno
M b,in
M d ,in
dd M d ,in

 k1Cb  k 2 d
dt
V
(cinetica del primo ordine: ri-ossigenazione)
Cb
V
d
dd
0
+ ip. scarico costante dt
condizione asintotica
bilancio di massa riscritto
dd
 k1 Cb  Cb ,eq   k 2 d  d eq 
dt
(ossidazione BOD: de-ossigenazione)
(ingresso di deficit)

1  M d ,in
d eq  
 k1Cb ,eq 
k2  V

Cb ,eq 
d eq 
M d ,in  M b ,in
k 2V

Cb  Cb 0 e  k1t  Cb ,eq 1  e  k1t
dd
 k1 Cb 0  Cb ,eq e  k1t  k 2 d  d eq 
dt

M b ,in
k1V
Scarico con portata liquida trascurabile: deficit di ossigeno
M d ,in
dd
 k1 Cb 0  Cb ,eq e  k1t  k 2 d  d eq 
dt
Cb
d
V
d t  0   d 0
soluzione


d t   d 0 e  k2t  d eq 1  e  k2t 


k1
e  k1t  e  k2t Cb 0  Cb ,eq 
k 2  k1
(cinetica del primo ordine: ri-ossigenazione)
(tendenza verso il deficit asintotico)
(decadimento del deficit iniziale)
Scarico con portata liquida trascurabile: soluzione
M b,in
M d ,in

Cb t   Cb0e k1t  Cb,eq 1  e k1t
Cb
V
d
d t   d 0 e
 k 2t

 d eq 1  e
 k 2t




k1

e  k1t  e  k2t Cb 0  Cb ,eq 
k 2  k1
Cb 0
Cb t 
Cb ,eq
d t 
d0
d eq
Scarico con portata liquida NON trascurabile: BOD
Qin
Cb ,in
bilancio di volume
dV
 Qin  Qout
dt
Cb
V
Qout
ip. volume costante
Cb ,out
bilancio di massa
dV
0
dt
Qin  Qout  Q
dM b
 Cb ,in Q  Cb ,out Q  k1CbV
dt
ip. «reattore ben mescolato»
dCb Cb ,in  Cb

 k1Cb
dt
tr
Cb ,out  Cb
tempo di residenza
tr 
V
Q
Scarico con portata liquida NON trascurabile: BOD
Qin
Cb ,in
Cb
V
Qout
dCb Cb ,in  Cb

 k1Cb
dt
tr
tr 
V
Q
Cb t  0   Cb 0
Cb ,out
soluzione asintotica
(in/out costanti)
Cb ,eq 
Cb ,in
1 k1t r
1
kˆ1  k1 
tr
dCb ˆ
 k1 Cb ,eq  Cb 
dt
soluzione
dCb 
1

  k1  Cb ,eq  Cb 
dt 
tr 

Cb t   Cb 0 e  k1t  Cb ,eq 1  e  k1t
ˆ
ˆ

Scarico con portata liquida NON trascurabile: deficit
Qin
Cb ,in d in
dM d
 d in Q  d out Q  k1CbV  k 2 dV
dt
Cb
V
Qout
dd d in  d

 k1Cb  k 2 d
dt
tr
d
Cb ,out d out
soluzione asintotica
(in/out costanti)
d eq 
d in  k1t r Cb ,eq
1 k 2t r
dd 
1
  k 2  d eq  d   k1 Cb  Cb ,eq 
dt 
tr 
dd ˆ
 kˆ1t




 k 2 d eq  d  k1 Cb 0  Cb ,eq e
dt
Cb,eq 
Cb,in
1 k1tr

Cb t   Cb 0 e  k1t  Cb ,eq 1  e  k1t
ˆ
1
kˆ2  k 2 
tr
ˆ

Scarico con portata liquida NON trascurabile: deficit
Qin
Cb ,in d in
dd ˆ
ˆ
 k 2 d eq  d   k1 Cb 0  Cb ,eq e  k1t
dt
Cb
V
Qout
soluzione
d t  0   d 0
d
Cb ,out d out


d t   d 0 e  k2t  d eq 1  e  k2t 
ˆ
ˆ

e
ˆ
ˆ
k k
k1
2
1
kˆ1  k1 
tr
 kˆ1t

 e  k2t Cb 0  Cb ,eq 
ˆ
1
1
kˆ2  k 2 
tr
Scarico con portata liquida NON trascurabile: confronto
Qin
Cb ,in d in
Qout
 kˆ2t

 d eq 1  e
ˆ
 kˆ2t

 kˆ  kˆ e
k1
2
d
V
ˆ
d t   d 0 e
Cb

Cb t   Cb 0 e  k1t  Cb ,eq 1  e  k1t
Cb ,eq 
Cb ,in
kˆ t
1 r
Cb ,out d out
d eq 
 kˆ1t
e
C
b0
 Cb ,eq 
1
d in  k1t r Cb ,eq
kˆ t
2 r
1
kˆ1  k1 
tr
 kˆ2t
1
ˆ
k2  k2 
tr
con scarico con portata liquida trascurabile
M b,in
V

M d ,in
Cb t   Cb0e k1t  Cb,eq 1  e k1t
Cb
d t   d 0 e
d
Cb ,eq 
 k 2t

 d eq 1  e
Cb ,in
k1 V Q
 k 2t




k1

e  k1t  e  k2t Cb 0  Cb ,eq 
k 2  k1
d eq 
Din  Cb ,in
k2 V Q
Box-models:
soluzione numerica