La probabilità e i suoi approcci.
Quale punto di vista per
l’insegnante?
Prof. Stefano Bonaccorsi
17 Aprile 2014
Alcuni esempi
Alcuni esempi
• Probabilità di ottenere 6 lanciando un dado
(e quella di trovare positivo al test antidoping un
atleta “pulito")
• Probabilità di avere gruppo sanguigno Rh positivo
• Probabilità che la ragazza-bionda del terzo banco
esca con me
Alcuni esempi
• Probabilità di aver contratto l’ AIDS
• Probabilità di default per l’emettitore di un titolo di
debito
• Probabilità di trovare vita intelligente nell’universo
(formula di Drake)
• Probabilità di sopravvivere ad un trapianto di rene
Facciamo il punto
Cosa hanno in comune queste domande?
La parola “probabilità” e
il fatto che ho un problema da affrontare
Cos’è la probabilità?
Problema
(Possibili esiti, asserzioni, giudizio di
probabilità)
modello
(spazio di probabilità, classe degli
eventi, misura di probabilità)
La probabilità, operativamente, è uno
strumento matematico utilizzato nel
modello.
Modello
John von Neumann
“(…) le scienze non cercano di spiegare, a mala
pena tentano di interpretare, ma fanno
soprattutto dei modelli. Per modello si
intende un costrutto matematico che, con
l’aggiunta di certe interpretazioni verbali,
descrive dei fenomeni osservati.
Modello
La giustificazione di un costrutto matematico
del genere è soltanto e precisamente che ci
si aspetta che funzioni – cioè descriva
correttamente i fenomeni di un’area
ragionevolmente ampia. Inoltre, esso deve
soddisfare certi criteri estetici – cioè in
relazione con la quantità di descrizione che
fornisce, deve essere piuttosto semplice.”
Definizioni di probabilità?
Si interpreta erroneamente come definizione di
probabilità la nostra scelta del giudizio nel problema
che stiamo affrontando
(confondere la definizione con il metodo che si usa)
Ripensiamo agli esempi elencati in precedenza:
In alcuni casi giudico usando l’approccio (o costruzione)
frequentista, in altri conto i casi favorevoli sui casi totali…
Dipende solo dall’evento?
Il mio giudizio di probabilità cambia a
seconda delle informazioni di cui
dispongo sull’ esperimento
Intolleranza al lattosio
Qual è la probabilità che una persona scelta a caso sia intollerante al lattosio?
Come varia il vostro giudizio in relazione, ad esempio, alla provenienza della persona?
Link ai dati
Dipende solo dall’evento?
Condizionamento e informazione
Creo un mazzo da 20 carte (estraendole da un mazzo da
40). Qual è la probabilità che pescando una carta,
questa sia rossa?
Qualche nota sui tre approcci
Approccio soggettivista:
“l’interpretazione soggettiva (De Finetti) è una tra le più
oneste perché non cerca di ricondurre ad altri principi la
definizione di probabilità, ma con franchezza dice che “ne
siamo convinti” sfruttando tutte le informazioni in nostro
possesso” (Furio Honsell)
gioco di De Finetti: riduzione ad una urna equivalente
Qualche nota sui tre approcci
Approccio frequentista:
Esiti: 53 T, 47 C…
…quale valore di probabilità per T?
Perché diciamo che la moneta è equilibrata e
scegliamo p = ½?
perché è un numero “semplice”?
perché mi riferisco alla mia idea intuitiva di
probabilità per una moneta?
Qualche nota sui tre approcci
• Ma siamo proprio sicuri del 50% (1/2)?
link
Qualche nota sui tre approcci
• Comunque tutti sono d’accordo su ½, 1/6, ecc….
• Cosa pensiamo se invece otteniamo 31 teste su 100 lanci?
(monete truccate)
(se i casi possibili sono equiprobabili, allora siamo di fronte al manifestarsi di un
evento raro; oppure, per interpretare tale differenza si sarà propensi a escludere
l’ipotesi della equipossibilità dei casi: in tal caso, si tratta del manifestarsi di un evento
altamente probabile nell’ambito di un esperimento in cui i possibili esiti non sono
equiprobabili)
 Test di ipotesi : prove ripetute per rifiutare le ipotesi
Qualche nota sui tre approcci
Approccio frequentista
In una serie di prove ripetute un gran numero di volte nelle stesse condizioni, ciascuno
degli eventi possibili si manifesta con una frequenza relativa che è presso a poco eguale
alla sua probabilità. L’approssimazione cresce ordinariamente col crescere del numero
delle prove
Su cosa si basa? Su una applicazione della Legge
dei Grandi Numeri.
Ma la LGN si dimostra dentro la teoria delle
probabilità: si tratta di un argomento circolare.
Qualche nota sui tre approcci
L’approccio classico.
Probabilità di un evento è il rapporto tra il
numero dei casi favorevoli all’evento ed
il numero di casi totali, se questi ultimi
sono egualmente possibili. [Laplace]
Cosa vuol dire che i casi sono
“egualmente possibili”?
Ancora sulla scelta del modello
probabilità zero ?
–cigno nero
–bond argentini
Attenzioni:
•Interpretare la serie storica
•Non considerare solo pochi fattori
Libri di testo
qual è la situazione?
Definizione (?!?) di evento
Definizione (?!?) classica?
Definizione (?!?) frequentista
Definizione (?!?) soggettiva
Teorema di Bayes
Teorema(?!?) della differenza
Simulazioni con excel: numeri casuali?
Interpretazione di test medici
• "Lei è sieropositivo" ma era falso
• (Germania) ad un gruppo di medici è stato
chiesto di stimare la probabilità che una donna
asintomatica (40-50 anni) positiva a una
mammografia, avesse davvero il cancro sapendo
l’incidenza, i falsi negativi, ecc.
Un terzo dei medici è giunto alla conclusione
(errata) che la probabilità fosse intorno al 90%.
La probabilità corretta è invece il 9% (link)
Diciamo qualcosa sul mondo…
• “Dove sono finiti tutti quanti?” (E. Fermi)
• Chi è il padre?
• I filtri antispam
… ma attenti all’uso corretto dei dati
•Uomini che picchiano le donne
Bibliografia per studenti
•“Numeri assassini” di Mariano Tomatis,
Edizioni Kowalski
•“Chance. Dai giochi d’azzardo, agli affari (di
cuore)”, Amir Aczell, Edizioni Raffaello Cortina
•“Il matematico e il detective”, K. Devlin e G.
Lorden, ed. Longanesi (capitolo 6,7, 12)
Bibliografia per studenti
•“La passeggiata dell’ubriaco”, Leonard Mlodinow,
Edizioni Rizzoli
•“Le regole del caso istruzioni per l’uso”, Jeffrey S.
Rosenthal, Edizioni Longanesi
•“La Matematica dell’incertezza”, Carla Rossi,
Zanichelli
•“Giocati dal caso”, N. Taleb, Il Saggiatore tascabile