 Facoltà di Ingegneria
 Corso di Laurea in Ingegneria Civile
 A/A 2012-2013
SLE DI DEFORMAZIONE IN TRAVI DI
CEMENTO ARMATO
SLE di deformazione nel c.a. (Posizione del Problema)
Le deformazioni massime nelle strutture in c.a. devono essere limitate
essenzialmente per evitare problemi di natura funzionale: evitare ad esempio
danni agli elementi non strutturali sorretti (tramezzi, tamponature, pavimenti
etc..), evitare che grandi deformazioni compromettano il razionale smaltimento
delle acque, evitare indesiderati effetti antiestetici.
La valutazione analitica delle deformazioni e degli abbassamenti conseguenti non
è cosa facile in strutture in c.a. per i problemi già messi sufficientemente in
evidenza nel caso di stato limite di fessurazione. La difficoltà maggiore consiste
essenzialmente nel valutare la rigidezza degli elementi strutturali in presenza di
fessurazione. Come già visto nel caso di sole tensioni normali la rigidezza media
di una trave fessurata può calcolarsi tenendo conto del calcestruzzo ancora
reagente che si trova tra due fessure consecutive (tension stiffening effect).
Si tenga presente inoltre che le deformazioni nelle strutture in c.a. dipendono
anche da altri fenomeni non meno importanti come il ritiro e la viscosità che
modificano lo stato deformativo anche in assenza di variazione dello stato di
carico.
SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche)
IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione interamente reagente)
Come già accennato in precedenza il calcolo analitico delle deformazioni dipende
dalla possibilità di modellare in maniera accurata il fenomeno della fessurazione.
Le formulazioni approssimate di tale fenomeno conducono a risultati che
presentano notevoli differenze rispetto ai risultati dell’esperienza sperimentale.
Una prima approssimazione consiste nel presupporre la sezione interamente
reagente. Indicando con II il momento d’inerzia della sezione della sezione
interamente reagente la curvatura è data dalla relazione
M(x )
EcII
Curvatura della sezione
Interamente reagente
 ( x )   v' ' ( x ) 
v( x )  v(0)  v' (0)  x 

x
0
Per doppia integrazione della
curvatura si ottiene lo
spostamento v(x)

 ( )dd
0
v( x )'
SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche)
IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione interamente reagente)
Un metodo alternativo all’integrazione diretta della curvatura è, nel caso di
strutture isostatiche, far uso del teorema dei lavori virtuali
Sistema reale
1 f
(b)
(a)
x
  M ( b ) ( x ) ( a ) ( x )dx
0
Sistema virtuale
Sistema reale
Sistema Virtuale
M ( a )( x )
 ( x) 
Ec I I
(a)
f (a)  
x
0
(a)
M
( x)
M (b ) ( x)
dx
I
Ec I
SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche)
IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)
Quando nella sezione viene superata la resistenza a trazione nel calcestruzzo, la
deformazione nell’acciaio potrebbe essere espressa come una frazione della
deformazione dello stesso al secondo stadio, come era prescritto in passato dal
D.M. 09.01.06:
 sm
yc
s 

1    sr

Es 
 s




2

   s , II 

 sm



M
I° stadio
II,stadio
Nel caso di
pura flessione
d
Mf
M d ( d  yc ) 



1


II
Es I

 Md
<1
2
Momento di
fessurazione

   II 

II° stadio
Tension Stiffening
Fessurazione
s
In corrispondenza della condizione Md=Mf
sussiste una discontinuità in quanto il
valore della sm non corrisponde a quello
relativo al I° stadio
SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche)
IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)
Trattazione semplificata
Normativa (EC2)
 sm 
s 
f 
 1  ct 
Es  2  s s 
Forma analoga
Nel caso di trazione semplice la tensione 
sr
 sr  f ct A c / A s  f ct  s
vale
 sm
2

 f ct  
s 


1   

Es
 s s  



SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche)
IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)
La normativa europea (EC2) tenta di correggere tale discontinuità definendo la
deformazione dell’acciaio nella sezione fessurata come combinazione della
deformazione al I° e al II° stadio (deformazione media del concio fessurato)

 sm   s , I 1      s , II 
 m   I 1      II
yc
d
Deformazione media del concio
di trave fessurata secondo
l’Eurocodice 2 e NTC08
 sm   s ,II
m 
 sm
d  yc
v( x )  v(0)  v' (0)  x 

x
0
Deformazione media dell’acciaio
nella sezione fessurata secondo
Il D.M. 9.1.96

0
 m ( )dd
SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche)
IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)
SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche)
IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)
Volendo quindi calcolare la deformazione di una struttura isostatica tenendo conto
delle indicazioni della normativa europea si possono calcolare le caratteristiche
geometriche della sezione al I° e II° stadio, per poi calcolare analiticamente
l’abbassamento con l’equazione della linea elastica sovrapponendo gli effetti così
come indicato dall’Eurocodice 2. In alternativa è possibile utilizzare il TLV
 m   I 1      II
Equazione
Linea
elastica
vm  C .I . 
II
I

x
0

0
Md
1   dd 
I
EI

x
0

0
I° stadio
yc
d
Md
dd
II
EI
II° stadio
T.L.V.
Momento sist. virtuale
v I , II  
x
0
(0)
 M d ( 0) ( x)
M d ( x)
(1)
M ( x)
(1   ) 

EI
EI
I
I


 dx


yc
d
Curvatura media sist. reale
SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche)
IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)
Metodo Alternativo
Un metodo alternativo è quello di separare le zone di trave fessurate da quelle
non fessurate e applicare l’integrale (TLV)
per la determinazione
dell’abbassamento tenendo conto della diversa distribuzione delle caratteristiche
meccaniche
f
v
  M (b ) ( x)  m ( x) dx
f ( a )  i 1 M i ( x)  I
n
b
x
0
DISCRETIZZAZIONE
L
a
(a)
c
Mfess
(b )
1   xi  mj1 M j (b ) ( x)  II ( a ) xi
Zona non fessurata
(Zona non fessurata)
Zona fessurata
(a)
Zona fessurata
SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche)
IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)
Metodo Alternativo
Un metodo alternativo è quello di separare le zone di trave fessurate da quelle
non fessurate e applicare l’integrale (TLV)
per
la determinazione
dell’abbassamento tenendo conto della diversa distribuzione delle caratteristiche
meccaniche
SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche)
IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)
ESEMPIO
Gk,Qk
As
h
As’
6m
3m
b
f
?
Calcolare lo spostamento verticale della trave di figura
utilizzando i dati indicati a lato. Per il calcolo fare
riferimento alle NTC08
Dati
b=20 cm
h=60 cm
As=210=1.57cm2
As’=314=4.62cm2
Cls: Rck 25 Mpa
Acciaio: B450C
Gk = 22 kN
Qk = 10 kN
SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche)
IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)
ESEMPIO
Lo spostamento di può calcolare rapidamente facendo uso del Teorema dei Lavori
Virtuali:
Sistema Reale
1( b )  f ( a )
Sistema reale
x
 M ( b ) ( x )  ( a ) ( x )dx

0
Sistema virtuale
Sistema Virtuale
SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche)
IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)
ESEMPIO
Calcolo con riferimento al solo II stadio. La normativa non fornisce alcun criterio
di calcolo e rimanda a criteri reperibili in letteratura. Il precedente decreto faceva
riferimento alla curvatura al secondo stadio corretta del tension stiffening effect.
Caratteristiche della sezione:
I° Stadio – Trascurando la presenza dell’armatura si ha
yI=29 cm JI = byI 3/3+b(h-yI)3/3 +nAs(d-yI)2+nAs’(yI-d’)2 = 426507cm4
WI=14707 cm3

As  d  As' d'
nA 
bd
II
 43.3cm
yc  s  1  2 G  1   15.94 cm d G 
A

A
'
s
s
b 
nAs
II° Stadio

-
calcolo asse neutro (n=15)
3
- calcolo momento d’inerzia
bycII
J 
 nAs' ( ycII  d' )2  nAs( d  ycII )2  147778 cm4
3
II
SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche)
IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)
ESEMPIO
La normativa Europea prevede il calcolo delle deformazioni per carichi permanenti
o quasi permanenti. La combinazione prevista per questa tipologia di carichi è la
seguente:
Fk  Gk   2i Qik  22  0.2 10  24 kN
Combinazione di carico quasi permanente
i
a
F
x
k
l
a
l
f 

xdx 
II
0 EJ
l

2

a
0
Fk x
Fk a 2
xdx  II 2
EJ II
EJ l
M 
f W
  1    fess   1  0.5   ctm I
 Md 
 Fk a
2
F
x dx  k II
0
EJ

l
2

a
0
Fk a 2l Fk a 3
Fk a 2
x dx 


 (l  a )
3 EJ II
3 EJ II 3 EJ II
2

4265 
  1  0.5  
  0.824
7200



2
SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche)
IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)
ESEMPIO
Calcolo con riferimento al EC2
La normativa suggerisce di adottare il calcolo della deformazione come
combinazione della freccia riferita alla sezione al primo stadio e della freccia
calcolata con la sezione al II° stadio
24  300 2
f  f 
(600  300)  0.523 cm
3  2900  426507
I
f  f
II
24  300 2

(600  300)  1.51 cm
3  2900 147778
Fk a 2
Fk a 2
f m  f 1     f  
(l  a )(1   ) 
(l  a ) 
I
II
3EJ
3EJ
I
II
0.523  (1  0.824)  1.51 0.824  1.328 cm
SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche)
IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)
ESEMPIO
xi (cm)
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
dxi (cm)
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
Ej I° (kNcmq) EJ II° kNcmq Mfess (kNcm) Md (kNcm)
0
4260
428000000
1220000000
600
4260
428000000
1220000000
1200
4260
428000000
1220000000
1800
4260
428000000
1220000000
2400
4260
428000000
1220000000
3000
4260
428000000
1220000000
3600
4260
428000000
1220000000
4200
4260
428000000
1220000000
4800
4260
428000000
1220000000
5400
4260
428000000
1220000000
6000
4260
428000000
1220000000
6600
4260
428000000
1220000000
7200
4260
428000000
1220000000
6000
4260
428000000
1220000000
4800
4260
428000000
1220000000
3600
4260
428000000
1220000000
2400
4260
428000000
1220000000
1200
4260
428000000
1220000000
0
4260
428000000
1220000000

0
0
0
0
0
0
0
0
0.606
0.689
0.748
0.792
0.825
0.748
0.606
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0.394
0.311
0.252
0.208
0.175
0.252
0.394
1
1
1
1
 (1/cm)
0
4.92E-07
9.84E-07
1.48E-06
1.97E-06
2.46E-06
2.95E-06
3.44E-06
3.93E-06
4.43E-06
4.92E-06
5.41E-06
5.9E-06
4.92E-06
3.93E-06
2.95E-06
1.97E-06
9.84E-07
0
  (1/cm)
0
1.402E-06
2.804E-06
4.206E-06
5.607E-06
7.009E-06
8.411E-06
9.813E-06
1.121E-05
1.262E-05
1.402E-05
1.542E-05
1.682E-05
1.402E-05
1.121E-05
8.411E-06
5.607E-06
2.804E-06
0
 media (1/cm) M' (kNcm)  media*M'*dxi
0
0
0
25 0.000614754
4.91803E-07
50 0.002459016
9.83607E-07
75 0.005532787
1.47541E-06
100 0.009836066
1.96721E-06
125 0.015368852
2.45902E-06
150 0.022131148
2.95082E-06
175 0.030122951
3.44262E-06
0.08347677
200
8.34768E-06
225 0.113266489
1.00681E-05
250 0.146560882
1.17249E-05
275 0.183359947
1.33353E-05
300 0.223663685
1.49109E-05
250 0.146560882
1.17249E-05
0.08347677
200
8.34768E-06
150 0.022131148
2.95082E-06
100 0.009836066
1.96721E-06
50 0.002459016
9.83607E-07
0
0
0
1.100857228
SLE di deformazione nel c.a. (Strutture Iperstatiche)
IL CALCOLO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)
Nel caso di strutture iperstatiche il diagramma dei momenti non è noto a priori e
dunque il calcolo della deformazione non risulta essere immediato. Si può ad
esempio ricorrere al metodo delle forze per la determinazione delle caratteristiche
della sollecitazione ed integrare successivamente l’equazione della linea elastica.
In alternativa è possibile integrare l’equazione della linea elastica nella seguente
forma:
E I v IV  p
Dove p è il carico distribuito lungo la trave
L’approccio classico al problema è di tipo numerico-iterativo.
BIBLIOGRAFIA
Per maggiori approfondimenti consultare
Cap. 14 Aurelio Ghersi – IL CEMENTO ARMATO
Cap. 11 – Progettazione di Strutture in calcestruzzo
armato – AICAP
Cap 13 – Renato Giannini - Teoria e Tecnica delle
Costruzioni civili