Università degli Studi di Roma Tre
Facoltà di Ingegneria
Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07
LEZIONE N° 6 – STATI LIMITE DI ESERCIZIO IN STRUTTURE IN C.A.
(stato limite di deformazione)
• Posizione del problema
• Il calcolo delle deformazioni nelle strutture isostatiche
–
–
–
–
Determinazione della curvatura nello stato fessurato
Calcolo analitico delle deformazioni
Riferimenti normativi (D.M. 14.09.05, Eurocodice 2)
Esempio: calcolo dell’abbassamento di una trave
appoggiata in c.a in condizioni di stato limite di
deformazione
• Il calcolo delle deformazioni nelle strutture iperstatiche
– L’effetto dell’iperstaticità sulla deformazione
– La trave continua fessurata
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SLE di deformazione nel c.a. (Posizione del Problema)
Le deformazioni massime nelle strutture in c.a. devono essere limitate
essenzialmente per evitare problemi di natura funzionale: evitare ad esempio
danni agli elementi non strutturali sorretti (tramezzi, tamponature, pavimenti
etc..), evitare che grandi deformazioni compromettano il razionale smaltimento
delle acque, evitare indesiderati effetti antiestetici.
La valutazione analitica delle deformazioni e degli abbassamenti conseguenti non
è cosa facile in strutture in c.a. per i problemi già messi sufficientemente in
evidenza nel caso di stato limite di fessurazione. La difficoltà maggiore consiste
essenzialmente nel valutare la rigidezza degli elementi strutturali in presenza di
fessurazione. Come già visto nel caso di sole tensioni normali la rigidezza media
di una trave fessurata può calcolarsi tenendo conto del calcestruzzo ancora
reagente che si trova tra due fessure consecutive (tension stiffening effect).
Si tenga presente inoltre che le deformazioni nelle strutture in c.a. dipendono
anche da altri fenomeni non meno importanti come il ritiro e la viscosità che
modificano lo stato deformativo anche in assenza di variazione dello stato di
carico.
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SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche)
IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione interamente reagente)
Come già accennato in precedenza il calcolo analitico delle deformazioni dipende
dalla possibilità di modellare in maniera accurata il fenomeno della fessurazione.
Le formulazioni approssimate di tale fenomeno conducono a risultati che
presentano notevoli differenze rispetto ai risultati dell’esperienza sperimentale.
Una prima approssimazione consiste nel presupporre la sezione interamente
reagente. Indicando con II il momento d’inerzia della sezione della sezione
interamente reagente la curvatura è data dalla relazione
M( x )
 ( x )   v' ' ( x ) 
EcII
Curvatura della sezione
Interamente reagente
v( x )  v(0)  v' (0)  x 
0
Per doppia integrazione della
curvatura si ottiene lo
spostamento v(x)


x
 ( )dd
0
v( x )'
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SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche)
IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione interamente reagente)
Un metodo alternativo all’integrazione diretta della curvatura è far uso del
teorema dei lavori virtuali
Sistema reale
1 f
(b)
(a )


x
M ( b ) ( x )  ( a ) ( x )dx
0
Sistema virtuale
M (a ) (x)
 (x) 
EcII
(a )
Sistema reale
Sistema Virtuale
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SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche)
IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)
Quando nella sezione viene superata la resistenza a trazione nel calcestruzzo, la
deformazione nell’acciaio può essere espressa come una frazione della
deformazione dello stesso al secondo stadio (D.M. 9.1.96, EC2)
 sm
yc
s 
 
1  1 2  sr 

Es 
 s 

d
2

   s,II

<1
I° stadio
II,stadio
Nel caso di
pura flessione
Momento di
fessurazione
 sm
M
2
 Mf  
M d (d  y c ) 
    II
1  1 2 

II
Es I

 M d  
II° stadio
Tension Stiffening
Fessurazione
s
In corrispondenza della condizione Md=Mf
sussiste una discontinuità in quanto il
valore della sm non corrisponde a quello
relativo al I° stadio
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SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche)
IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)
La normativa europea corregge tale discontinuità definendo la deformazione
dell’acciaio nella sezione fessurata come combinazione della deformazione al I° e
al II° stadio (deformazione media del concio fessurato)

 sm   s,I 1      s,II
 m   I 1      II
yc
d
Deformazione media del concio
di trave fessurata secondo
l’Eurocodice 2
 sm   s,II
m 
 sm
d  yc
v( x )  v(0)  v' (0)  x 
0
Deformazione media dell’acciaio
nella sezione fessurata secondo
Il D.M. 9.1.96


x
0
 m ( )dd
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SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche)
IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)
Volendo quindi calcolare la deformazione di una struttura isostatica tenendo conto
delle indicazioni della normativa europea si possono calcolare le caratteristiche
geometriche della sezione al I° e II° stadio, per poi calcolare analiticamente
l’abbassamento con l’equazione della linea elastica sovrapponendo gli effetti così
come indicato dall’Eurocodice 2
I° stadio
 m   I 1      II
vm  C .I . 
yc
I


x
0
0
Md
1   dd 
I
EI
d
II


x
0
0
Md
dd
II
EI
yc
II° stadio
d
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SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche)
IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)
Metodo Alternativo
Un metodo alternativo è quello di separare le zone di trave fessurate da quelle
non fessurate e applicare l’integrale per la determinazione dell’abbassamento
tenendo conto della diversa distribuzione delle caratteristiche meccaniche
v
vm  C .I . 
L
a
b


x
0
0
Md
1   dd 
EI I
c
Mfess
(Zona non fessurata)
Zona fessurata


x
0
0
Md
dd
EI II
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SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche)
IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)
ESEMPIO
Gk,Qk
As
h
As’
6m
3m
b
f?
Calcolare lo spostamento verticale della trave di figura
utilizzando i dati indicati a lato. Per il calcolo fare
riferimento al D.M. 14.09.05 e all’EC2
Dati
b=20 cm
h=60 cm
As=210=1.57cm2
As’=314=4.62cm2
Cls: Rck 25 Mpa
Acciaio: B450C
Gk = 14 kN
Qk = 7 kN
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SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche)
IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)
ESEMPIO
Lo spostamento di può calcolare rapidamente facendo uso del Teorema dei Lavori
Virtuali:
Sistema Reale
1( b )  f ( a )
Sistema reale
x
 M ( b ) ( x )  ( a ) ( x )dx

0
Sistema virtuale
Sistema Virtuale
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SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche)
IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)
ESEMPIO
Calcolo con riferimento al D.M. 14.09.05.
La normativa non fornisce alcun criterio di calcolo e rimanda a criteri reperibili in
letteratura. Il precedente decreto faceva riferimento alla curvatura al secondo
stadio corretta del tension stiffening effect.
Caratteristiche della sezione:
I° Stadio – Trascurando la presenza dell’armatura si ha
yI=29 cm JI = byI 3/3+b(h-yI)3/3 +nAs(d-yI)2+nAs’(yI-d’)2 = 426507 cm4
II° Stadio
- calcolo asse neutro
yc
II
nA
 s
b


 1  2 bd G  1   15.94 cm


nAs


3
- calcolo momento d’inerzia
dG 
As  d  As' d'
 43.3cm
As  As '
bycII
II
J 
 nAs' ( ycII  d' )2  nAs( d  ycII )2  147778 cm4
3
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IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)
ESEMPIO
La normativa Italiana del 96 prevedeva il calcolo delle deformazioni per carichi
permanenti o quasi permanenti. La combinazione prevista per questa tipologia di
carichi è la seguente:
Fk  Gk 

2i
Qik  14  0.2 7  15.4 kN
Combinazione di carico quasi permanente
i
a
F
x
k
l
l  a xdx 
f 
II
0 EJ
l


a
0
Fk x
Fk a 2
xdx  II 2
EJ II
EJ l
F
x dx  k II
0
EJ

2
l
2

a
0
Fk a 2l Fk a 3
Fk a 2
x dx 


(l  a )
3 EJ II
3 EJ II 3 EJ II
2
 f ctm
I 
(
d

y

c )
I
 M fess 
  0.611
  1   J
  1  1  2 
Fk a


 Md 




2
15
.
4

300
f  f II  
( 600  300 )  0.97  cm  0.59 cm
3  2900  147778
2
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SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche)
IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)
ESEMPIO
Calcolo con riferimento al EC2
La normativa suggerisce di adottare il calcolo della deformazione come
combinazione della freccia riferita alla sezione al primo stadio e della freccia
calcolata con la sezione al II° stadio
Fk a 2
Fk a 2
f m  f 1     f  
( l  a )( 1   ) 
( l  a ) 
I
II
3 EJ
3 EJ
I
II
0.336  ( 1  0.611 )  0.97  0.611  0.72 cm
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SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche)
IL CALCOLO NUMERICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)
 m   I 1      II

x
f  M ' ( x ) m ( x )dx
0
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SLE di deformazione nel c.a. (Strutture Iperstatiche)
IL CALCOLO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)
Nel caso di strutture iperstatiche il diagramma dei momenti non è noto a priori e
dunque il calcolo della deformazione non risulta essere immediato. Ad esempio,
l’applicazione del teorema dei lavori virtuali comporterebbe la risoluzione di due
sistemi iperstatici (sistema cinematicamente compatibile e staticamente
equilibrato). L’ulteriore complicazione è che il problema è non lineare in quanto il
momento d’inerzia della struttura cambia lungo l’asse della struttura stessa.
L’approccio classico al problema è di tipo numerico iterativo.
Per maggiori approfondimenti consultare gli appunti del Prof. Giannini – Cap. 7