CORSO BASE DI
MATEMATICA
FINANZIARIA
CHE COSA E’ LA MATEMATICA
FINANZIARIA?
BISOGNO
appartamento
FABBISOGNO
Non esiste una relazione perfetta
Soldi per acquistare l’appartamento
Dalla imperfetta correlazione tra bisogno e fabbisogno
NASCE
IL MERCATO FINANZIARIO
La matematica finanziaria studia il comportamento degli operatori
in questo grande mercato che ha come merce di scambio il denaro.
INDICE
• MERCATO DI CAPITALI PERFETTO
• OPERAZIONI FINANZIARIE E NOMENCLATURA
• REGIMI FINANZIARI
• TASSI EQUIVALENTI E TASSI NOMINALI
• COSTITUZIONE DI UN CAPITALE E RENDITE.
• PROGETTI ECONOMICO-FINANZIARI E CRITERI DI
VALUTAZIONE DI UN INVESTIMENTO
• DURATION DI UN TITOLO E DI UN PORTAFOGLIO DI
TITOLI
• ESERCIZI APPLICATIVI
MERCATO DEI CAPITALI PERFETTO
• Informazione unitaria equamente
distribuita.
• L’operatore non conosce le conseguenze
delle sue operazioni.
• Non si pagano imposte sul trasferimento
dei titoli.
• Gli operatori sono massimizzatori del
profitto.
• Esiste in ogni istante UN UNICO PREZZO.
OPERAZIONE FINANZIARIE
OPERZIONI FINANZIARIE
ELEMENTARI
(a capitalizzazione
integrale)
OPERZIONI
FINANZIARIE
COMPOSTE
OPERAZIONI FINANZIARIE ELEMENTARI
OPERAZIONE FINANZIARIA DI INVESTIMENTO.
-P
M
X
Y
P= capitale investito.
M=montante.
X=data
investimento.
Y=data
disinvestimento.
I=M-P (interesse prodotto nell’operazione=utile)
OPERAZIONE FINANZIARIA DI FINANZIAMENTO.
P
-M
X
Y
D=M-P (sconto prodotto nell’operazione)
P= valore attuale.
M= capitale dovuto
a scadenza.
X=data
investimento.
Y=data
disinvestimento.
NOMENCLATURA
My/Px = r(x,y)
Montante unitario
r fattore di capitalizzazione
Py/Mx= v(x,y)
Valore attuale unitario
v fattore di attualizzazione
Ix,y/Px= i(x,y)
Interesse unitario
i tasso di interesse
Dx,y/My= d(x,y)
Sconto unitario
d tasso di sconto
Unitari rispetto
agli importi
Unitari rispetto al
tempo (sono riferiti
ad un periodo di
durata 1)
Basta conoscere una delle 4 funzioni ed è possibile ricavare le altre
Queste
funzioni
r(x,y)
v(x,y)
i(x,y)
d(x,y)
r(x,y)
/
1 / r (x,y)
r (x,y) - 1
(r(x,y)–1)/r(x,y)
v(x,y)
1 / v (x,y)
/
(1–(x,y))/v(x,y)
1 - v(x,y)
i(x,y)
1 + i (x,y)
1/(1 + i (x,y))
/
i(x,y)/(1+i(x,y)
d(x,y)
1/(1 – d(x,y))
1 - d(x,y)
d(x,y)/(1–d(x,y))
/
In funzione di
queste
Va fatto notare che è possibile esprimere il montante, il valore attuale, lo sconto e
l’interesse con le seguenti espressioni
My=Px * r(x,y)
con questa si può riportare finanziariamente l’importo P all’epoca y. Si dice che si sta
capitalizzando l’importo P.
Px=My * v(x,y)
con questa si può riportare finanziariamente l’importo M all’epoca x. Si dice che si sta
attualizzando l’importo M.
CAPITALIZZARE P
M
P
X
Y
ATTUALIZZARE M
Ix,y=Px * i(x,y)
Dx,y=My* d(x,y)
CONTRATTI A TERMINE
Si è fatto riferimento a operazioni che presentano due solo epoche.
Ad esempio si è studiata la funzione v(x,y), che può rappresentare il prezzo di un
titolo, all’epoca x, che mi garantisce un capitale unitario, all’epoca y.
-data investimento x
-data disinvestimento y
Esistono, però, anche altri tipi di operazioni che presentano tre epoche o istanti:
-istante u nel quale si stipula il contratto e si stabilisce il prezzo.
-istante x nel quale si regola il prezzo del contratto.
-istante y nel quale scade il contratto.
Questo tipo di contratti viene detto a termine; si indica con v(u,x,y) il prezzo di un
titolo che viene stipulato all’epoca u, regolato all’epoca x e che mi restituisce un
capitale unitario all’epoca y.
Un contratto a termine è detto anche contratto future. L’effettuazione dei contratti
future deriva da tre esigenze diverse:
COPERTURA
SPECULAZIONE
ARBITRAGGIO
REGIME FINANZIARIO DELL’INTERESSE SEMPLICE
La caratteristica fondamentale di questo regime è quella di avere
l’interesse prodotto, periodo per periodo, proporzionale al capitale
inizialmente investito e alla durata dell’investimento.
I=P*i*t
r(t) = 1 + i * t
i (t) = i * t
v(t) = 1 / (1 + i * t)
d(t) = i * t / (1 + i * t)
REGIME FINANZIARIO della capitalizzazione composta
La caratteristica fondamentale del regime della capitalizzazione composta e cioè il
disinvestimento ad ogni epoca e quindi il successivo, immediato, reinvestimento,
della somma ricavata dal disinvestimento, per l’epoca successiva (roll over) può
essere espresso dal fatto che l’interesse prodotto tra t e t+1 è proporzionale al
capitale investito all’inizio del periodo. Questo regime è scindibile e ciò comporta
l’indifferenza tra l’attuare un’operazione unica o n operazioni più piccole.
r(t) = ( 1 + i )t
i (t) = ( 1 + i )t – 1
v(t) = 1 / ( 1 + i )t
d(t) = 1 - ( 1 + i )-t
REGIME FINANZIARIO dello sconto commerciale
La caratteristica fondamentale di questo regime è quella di avere lo
sconto prodotto periodo per periodo proporzionale al capitale da
scontare e alla durata dell’investimento.
D=M*d*t
r(t) = 1 / (1 – d *t)
i (t) = 1 – 1 / ( 1 – d *t)
v(t) = 1 – d * t
d(t) = d * t
Validità del regime:
ATTENZIONE!!
0 < t < 1/d
CONFRONTO FRA I 3 REGIMI
Calcoliamo il montante di un investimento nei 3 regimi considerati:
Investiamo 100 euro in un fondo di investimento che ci garantisce il 2% annuo. Il direttore
del fondo ci da l’opportunità di scegliere il regime con cui capitalizzare i soldi investiti.
Essenzialmente bisogna studiare 3 casi:
-Investimento per un periodo minore dell’anno.
-Investimento per un periodo uguale all’anno.
-Investimento per un periodo maggiore dell’anno.
1° CASO
Supponiamo di volere investire 100 euro per 8 mesi con i=2% (questo tasso è annuale)
La prima operazione da fare è quella di ricondurre alla stessa unità di misura il tempo e il
tasso.
i=2%
t=8/12 anni
P=100
Capitalizzazione semplice
M= 100*(1 + 2% * 8/12) =101,3333333
Capitalizzazione composta
M=100*( 1 + 2% )(8/12)=101,3289279
Sconto commerciale
d=i/(1+i)=0,019607843
M=100/(1-0,019607843*8/12)=101,3245033
2° CASO
Supponiamo di volere investire 100 euro per 1 anno con i=2% .
i=2%
t=1 anno
P=100
Capitalizzazione semplice
M= 100*(1 + 2% * 1) =102,00000
Capitalizzazione composta
M=100*( 1 + 2% )1= 102,00000
Sconto commerciale
d=i/(1+i)=0,019607843
M=100/(1-0,019607843*1)= 102,00000
3° CASO
Supponiamo di volere investire 100 euro per 6 anni con i=2% (questo tasso è annuale)
i=2%
t=6 anni
P=100
Capitalizzazione semplice
M= 100*(1 + 2% * 6) = 112,0000
Capitalizzazione composta
M=100*( 1 + 2% )(6)= 112,61624193
Sconto commerciale
d=i/(1+i)=0,019607843
M=100/(1-0,019607843*6)=113,33333333
TASSI EQUIVALENTI
immaginiamo di dividere l’anno in m parti:
Si definirà m come il frazionamento dell’anno
0
i(1/m)
1/m
2/m
(m-1)/m
m/m=1
i(1/m) è l’interesse prodotto da un capitale unitario in 1/m di anno.
Due tassi si dicono EQUIVALENTI se, applicati ad uno
stesso regime finanziario, producono lo stesso
montante nello stesso periodo di tempo.
La stessa definizione, con gli opportuni cambiamenti può essere data per i tassi di
sconto.
Capitalizzazione semplice:
i(1/m) = i / m
Capitalizzazione composta:
(1 + i) = (1 + i(1/m))m
Sconto commerciale:
d(1/m) = d / m
In capitalizzazione composta:
Tasso annuale=i  i=5%
Tasso semestrale=? i(1/2)=?
In un anno ci sono 2 semestri  m=2
(1+5%)=(1+i(1/2) )2
i(1/2)=2,46950766%
Tasso annuale=i  i=5%
Tasso trimestrale=? i(1/4)=?
In un anno ci sono 4 trimestri
 m=4
(1+5%)=(1+i(1/4) )4
i(1/4)=1,22722344%
TASSI NOMINALI
In regime di capitalizzazione composta esiste un altro modo per calcolare il tasso
relativo ad una frazione di periodo unitario.
Se investo al tasso annuo sto scegliendo, implicitamente, di effettuare un’unica
operazione con inizio immediato e durata unitaria ad un tasso noto e certo, se si
investe per un anno al tasso mensile (equivalente) si dovranno effettuare 12
operazioni di reinvestimento che ipotizzano sempre lo stesso tasso, cosa non
necessariamente vera nella realtà dei mercati finanziari.
Dunque l’equivalenza espressa dai tassi equivalenti ipotizza implicitamente che i
tassi rimangano costanti per ciascuna frazione di periodo unitario (anno).
j(m) =
i(1/m)
𝟏
𝒎
= i(1/m) *m
dove in generale j(m) è il tasso annuo nominale di interesse convertibile m volte
l’anno (o frazionato m volte l’anno).
j(m)=
𝟏
(𝟏+𝒊)𝒎 −𝟏
𝟏
𝒎
𝟏
𝒎
(𝟏+𝒊) −𝟏
𝟏
𝒎→∞
𝒎
𝒍𝒊𝒎
= 𝒍𝒏(𝟏 + 𝒊) = d.
d viene chiamato tasso istantaneo di interesse o tasso nominale annuo convertibile
infinite volte. Viene anche indicato come j(∞).
Le stesse considerazioni fatte per il tasso di interesse possono essere fatte per il tasso di
sconto.
Il tasso nominale di sconto è indicato con r(m).
r(m)= m * d(1/m)
Può essere, naturalmente, espresso come
r(m)=
1
1−(1−𝑑)𝑚
1
𝑚
L’asintoto orizzontale r(∞) è il tasso nominale annuo di sconto
convertibile infinite volte e viene indicato con r.
r= -ln(1-d) = d = ln(1+i)
RENDITE
Un’operazione finanziaria composta è un contratto di scambio tra n (n≥2) importi
esigibili in epoche diverse.
R0
R1
R2
t0
t1
t2
…
Rn-1
tn-1
Rn
tn
Per identificare un’operazione finanziaria composta è necessario definire
univocamente:
• il vettore dei cash flows (rate) {R0 ; R1 ; …; Rn }
• il vettore delle scadenze (scadenzario) {t0 ; t1 ; …; tn }
• il vettore “dei segni”, con cui si identificano le poste in entrata (contraddistinte con il
segno “+”) e quelle in uscita (contraddistinte con il segno “-”).
Le operazioni che presentano un solo cambiamento di segno sono chiamate RENDITE.
Un esempio classico di rendita è il BTP (buono del tesoro poliennale).
Il regime finanziario prescelto nelle rendite è quello della capitalizzazione composta.
Si userà la struttura piatta di mercato ovvero con tassi di interesse costanti per tutti il
periodo preso in considerazione. Il tasso i preso in considerazione viene chiamato TIR.
VALORE CAPITALE DI UNA RENDITA
VALORE CAPITALE: è la somma delle rate riportate finanziariamente
all’epoca h di valutazione (compresa tra zero e n)
Wh=
𝒉
𝒔=𝟎 𝑹𝒔
∗ 𝒓 𝒔, 𝒉 +
𝒏
𝒌=𝒉+𝟏 𝑹𝒌
∗ 𝒗 𝒉, 𝒌
VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA
VALORE ATTUALE: è la somma dei valori attuali delle rate. Quindi si può calcolare
come valore capitale con h=0
W0=A=
𝒏
𝑹
∗
𝒌=𝟏 𝒌
𝒗 𝟎, 𝒌
MONTANTE DI UNA RENDITA
MONTANTE: è la somma dei montati delle rate. Si può calcolare come valore capitale
con h=n
Wh=M=
𝒏
𝒔=𝟎 𝑹𝒔
∗ 𝒓 𝒔, 𝒏
ANALISI DI UN BTP
Un buono poliennale del tesoro è un’operazione finanziaria di rendita che, dietro
pagamento del prezzo, assicura una serie di importi prefissati disponibili in epoche
predeterminate (cedole: c) e il rimborso a scadenza del capitale investito.
C=
𝑗(𝑚)
*
𝑚
Dove VN è il valore nominale
VN
Cash flow di un BTP biennale, cedola semestrale al tasso nominale annuo del 6%,
valore di rimborso pari a 100 e prezzo del BTP=98.
-98
0
3
1/2
3
1
3
3/2
103
2
Voglio acquistare BTP per un valore nominale di 20.000, che scadono tra 2 anni, che
prevedono un pagamento di cedole semestrali al 4% nominale annuo e rimborso alla
pari. Ipotizzando un tasso di rendimento del 5% effettivo annuo, costante per i prossimi
due anni a quale prezzo posso acquistare questi titoli?
Per trovare il prezzo che è il valore attuale del BTP si calcola la somma dei valori
attuali degli importi alle varie epoche.
𝑐
𝑐
𝑐
X=
+
+
⋯
+
𝑡1
𝑡2
𝑡𝑛
(1+𝑖)
VN
j(2)
i
i(1/2)
0
1
2
3
4
400
400
400
20400
(1+𝑖)
(1+𝑖)
20000
4%
5%
2,470%
390,3600292
380,952381
371,7714564
18503,40136
Valori attuali
degli importi
La somma di questi valori
attuali mi da il prezzo del
BTP
P=19646,48523
NOMENCLATURA DELLE RENDITE
Le rendite possono classificarsi:
in base allo scadenzario:
• rendite periodiche
• rendite non periodiche
In base all’epoca cui si riferiscono le rate:
• rendite anticipate
• rendite posticipate
In base al numero delle rate:
• rendite temporanee
• rendite perpetue
In base alla data cui si versa (incassa) la prima rata rispetto all’epoca cui si calcola il valore
attuale:
• rendite immediate
• rendite differite
In base alla periodicità delle rate rispetto allo scadenzario:
• rendite intere
• rendite frazionate
• rendite nel continuo
Infine, si distingue tra rendite con rate costanti e rendite con rate non costanti
Valori attuali delle rendite (in formule compatte)
intere
Immediate
intere, differite
(di h periodi)
Frazionate
(immediate)
Frazionate
(differite di h
periodi)
posticipate
1−𝑣 𝑛
𝑖
*R
1−𝑣 𝑛
*R*𝑣 ℎ
𝑖
1−𝑣 𝑛
*R
𝑗(𝑚)
1−𝑣 𝑛
*R*𝑣 ℎ
𝑗(𝑚)
1−𝑣 𝑛
*R
r(𝑚)
1−𝑣 𝑛
*R*𝑣 ℎ
r(𝑚)
anticipate
1−𝑣 𝑛
*R
𝑑
1−𝑣 𝑛
𝑑
*R*𝑣 ℎ
Montanti delle rendite (in formule compatte)
intere
Immediate
Frazionate
(immediate)
(1+𝑖)𝑛 −1
*R
𝑖
(1+𝑖)𝑛 −1
*R
𝑗(𝑚)
(1+𝑖)𝑛 −1
*R
𝑑
(1+𝑖)𝑛 −1
*R
r(𝑚)
posticipate
anticipate
Il montante di una rendita differita coincide con quello di una rendita immediata (a parità di
tasso di interesse).
COSTITUZIONE DI UN CAPITALE
La costituzione di un capitale parte dal concetto di rendita.
Vogliamo avere fra 20 anni un capitale di 100.000. Ci viene garantito, da un fondo di
accumulazione, che il tasso di costituzione del capitale è del 5%. Quale deve essere
l’importo da versare alla fine di ogni mese per avere dopo 20 anni quella somma?
DATI:
Rendita:
• Immediata
• Frazionata
• Periodica
• Posticipata
M=100.000
n=12*20=240
i=5%
i(1/12)=(1+ i)(1/12) – 1 = 0,407412 %
Questa è il tasso mensile
equivalente all’annuale
La formula che ci serve per risolvere il
(1+𝑖)𝑛 −1
*R=M
𝑖
problema è
Si ricava R=246,4240875
Il problema poteva essere risolto ugualmente
utilizzando
(1+𝑖)𝑛 −1
*R,
𝑗(𝑚)
sapendo che
j(12)=12*0,41=4,889%
Si ricava la rata annuale R=2957,08905
Dividendola per 12 si ottiene la rata mensile
R=246,4240875
PROGETTI ECONOMICO-FINANZIARI E CRITERI DI
VALUTAZIONE DI UN INVESTIMENTO
Un progetto è un’operazione finanziaria. Indichiamo un generico progetto con A=[a, t],
con a e t vettori (riga):
a= (a0, a1, …, an ) vettore degli importi o vettore dei cash flow
t= (t0, t1, …, tn ) vettore delle scadenze o scadenzario.
Un progetto è un’operazione finanziaria in cui il vettore dei segni dei cash flow può
avere un numero qualsiasi di cambiamenti di segno. Il numero dei cambiamenti di segno
presenti nel vettore dei cash flow del progetto permette di classificare i progetti in:
• PROGETTI DI INVESTIMENTO
• PROGETTO DI FINANZIAMENTO
• PROGETTI MISTI
L’algebra dei progetti è quella classica dei vettori con la solo accortezza che nella somma
o differenza di progetti per quanto riguarda lo scadenzario si prende l’unione di questi.
A: a=(-5,2,3,4)
t= (0,1,2,3)
B: b=(1,2,9)
t= (1,2,6)
A+B: a+b= (-5,3,5,4,9)
ta+tb= (0,1,2,3,6)
L’uguaglianza tra due progetti comporta lo stesso scadenzario e l’ordinata
corrispondenza di ciascun importo
A: a=(-5,2,3,4)
t= (0,1,2,3)
A: a=(-5,2,3,4)
t= (0,1,2,3)
non sono uguali
sono uguali
B: b=(-5,2,3,4)
t= (0,1,2,4)
B: b=(-5,2,3,4)
t= (0,1,2,3)
Vettore dei saldi
Il vettore dei saldi s=[s1; s2; …; sn] relativo ad un progetto A=[a; t] è un
vettore le cui componenti sono la somma algebrica della componente
relativa all’epoca precedente ed il flusso del progetto A
s0=a0
s1=s0+a1
…
Sn=sn-1+an
Il vettore s si definisce vettore dei saldi a tasso “0” o vettore dei saldi
contabili perché non tiene conto dei tassi di interesse.
Se teniamo conto dei tassi di interesse (in ipotesi di
struttura piatta) il vettore dei saldi s(i) è dato dal valore
capitalizzato della componente precedente cui viene
sommata la componente dell’epoca in corso del vettore
dei cash flows del progetto:
S0=a0
S1=s0*(1+i)+a1
…
Sn=sn-1*(1+i)+an
Il vettore s(i) prende il nome di vettore dei saldi a tasso
“i”; ovviamente il saldo sn (i) è diverso dal saldo sn.
Se la struttura dei tassi non è piatta il vettore dei saldi s(i(t-1,t)) è definito dalla:
S0=a0
S1=s0*(1+i(0,1))+a1
…
Sn=sn-1*(1+i(n-1,n))+an
Il vettore s(i(t-1,t)) prende il nome di vettore dei saldi a tassi variabili.
Nella realtà operativa si utilizzano, piuttosto che i tassi di mercato, due tassi: un tasso y
per i saldi attivi ed un tasso x per i saldi passivi. Il vettore dei saldi s(x,y) è:
S0=a0
s0*(1+x)+a1 se a0 < 0
S1 =
s0*(1+y)+a1 se a0 > 0
…
sn-1*(1+x)+an se an-1 < 0
Sn =
sn-1*(1+y)+an se an-1 > 0
Per poter confrontare (e quindi scegliere) tra diversi progetti è necessario verificare che
essi siano:
1. Completi (o omogenei): due o più progetti sono completi se hanno la stessa
dimensione (esborso iniziale) e stessa durata. I progetti possono essere resi completi
tramite progetti integrativi.
2. Ammissibili: un progetto è ammissibile se il soggetto economico è in grado di attuarlo
3. Alternativi: l’operatore deve scegliere un solo progetto
4. Indipendenti: due (o più progetti) sono indipendenti se l’accettazione o il rifiuto di un
progetto non ha alcuna influenza né sull’ammissibilità né sugli elementi che descrivono
gli altri progetti.
CRITERI DI VALUTAZIONE DI UN PROGETTO DI INVESTIMENTO
Un criterio di valutazione di un progetto è funzione f che, applicata al vettore dei cash
flows del progetto A, restituisce uno scalare: f (A) = λ.
Tra più progetti si sceglierà quello che presenta il valore massimo della f(⋅):
A preferito B ⇔ f (A) > f (B)
A = B ⇔ f (A) = f (B)
Un generico criterio di scelta f gode di alcune proprietà:
♦ Deve essere applicabile ad una certa classe di progetti;
♦ Se aumentano le entrate del progetto A deve aumentare anche la f (A);
♦ Se anticipiamo un ricavo o posticipiamo un costo la f aumenta;
♦ Se cambiamo l’unità di misura dei progetti (ad esempio da dollari in euro) l’ordinamento
tra progetti generato dalla f (⋅) non cambia:
se f (A) > f (B), dato α >0, anche f (α Α )> f (α Β).
Un criterio di scelta si dice relativo o dimensionale se
f (A) = f ( α A) ∀ α > 0
Si dice assoluto o adimensionale se
f (αA) = α f (A) ∀ α > 0
CRITERIO DEL VAN
Il VAN (valore attuale netto) è la somma algebrica dei valori attuali dei flussi di cassa
associati ad un progetto:
f(A)=VAN(A)=
𝒏
𝒔=𝟎 𝒂𝒔
∗ (𝟏 + 𝒊)−𝒔
Se valutiamo due progetti di investimento sceglieremo quello
con il VAN più elevato.
Il VAN misura il guadagno associato ad un progetto riportato
finanziariamente all’epoca t0.
CRITERIO DEL VFN
Se si vuole valutare il guadagno associato ad un progetto di investimento non
all’epoca iniziale t0, ma a quella finale, tn, capitalizzando fino all’epoca tn i flussi si
ottiene un nuovo criterio di scelta: il VFN (valore finale netto).
f(A)=VFN(A)=
𝒏
𝒔=𝟎 𝒂𝒔
𝒏−𝒔
∗ (𝟏 + 𝒊)
Se i due tassi usati nelle equazioni precedenti coincidono, i due criteri assegnano lo stesso
ordine di preferibilità tra progetti alternativi. Inoltre, per la scindibilità della legge
finanziaria usata (la capitalizzazione composta):
VFN(A)=VAN(A) * (𝟏 + 𝒊)𝒏
VAN e VFN sono due criteri assoluti e soggettivi (dipende strettamente dal tasso
utilizzato) e sono lineari rispetto al vettore dei capitali.
CRITERIO DEL TIR
Il TIR è quel tasso i che rende pari a 0 il VAN.
f(A):
𝒏
𝒔=𝟎 𝒂𝒔
∗ (𝟏 + 𝑻𝑰𝑹)−𝒔 =0
Problema del TIR:
-Il TIR è un criterio oggettivo, utilizzabile però solo per quei progetti
il cui vettore dei segni presenta una sola inversione (quindi non è
applicabile ai progetti misti).
- Il TIR non è lineare rispetto al vettore dei capitali
CRITERIO DEL SALDO FINALE O TRM
E’ possibile utilizzare il saldo finale associato ad un progetto come
criterio di scelta: tra due o più progetti alternativi si sceglie quello
con il saldo finale maggiore.
Tale saldo può essere calcolato con un unico tasso (in tal caso si
ottiene il medesimo risultato ottenuto col criterio del VFN), in base
alla struttura per scadenza dei tassi di mercato o utilizzando due
tassi distinti per i saldi positivi e quelli negativi.
Il criterio del saldo finale a due tassi prende il nome anche di
criterio del TRM, ha il vantaggio rispetto al VFN di tener conto delle
diverse esigenze di scelta dei tassi per i progetti che alternano
entrate ed uscite.
Questo criterio è assoluto ma non lineare rispetto al vettore dei
capitali
Un individuo ha a disposizione un capitale di € 41.000 ed intende mettere in atto il più conveniente tra due
progetti di impiego,
descritti rispettivamente dai seguenti flussi di entrate ed uscite alle
scadenze indicate in anni:
Progetto A: At = [- 41.000; +15.000; +13.000; +15.000]
t= [
0
;
1
;
2 ;
3 ]
Progetto B: Bt = [-45.000; + 23.500; + 12.000; +13.000]
t= [
0
;
1
;
2
;
3 ]
Se mancano i capitali, può accedere ad un finanziamento, descritto dal seguente progetto F:
Progetto F:
Ft = [+S; - 1/4 S; -S]
t= [ 0;
1;
2]
in cui S rappresenta l’importo del capitale che occorre prendere a prestito e le scadenze sono
espresse in anni.
In t=0 si osserva la seguente struttura per scadenza dei tassi effettivi annui:
i(0,1) = 3,5%
i(0,2) = 3,62%
i(0,3) = 3,75%
a) Nell’ipotesi in cui il creditore impieghi tutte le eccedenze ai tassi vigenti di mercato in regime di
capitalizzazione composta,
calcolare l’alternativa più conveniente in base al criterio del saldo finale.
a) Calcolare inoltre il TIR ed il REA al tasso del 2% associato ai due progetti d’investimento.
€ 41.000
Capitale a disposizione
t
Cap. a disp.
0
€ 41.000,00
Flussi Prog. A
i(0,t)
i(t-1,t)
Saldi A
€ 0,00
-€
41.000,00
1
€
15.000,00
3,50%
3,50%
€ 15.000,00
2
€
13.000,00
3,62%
3,74%
€ 28.561,02
3
€
15.000,00
3,75%
4,01%
€ 44.706,46
TIR
REA
2,4202%
€
335,91
Somma
mancante=
t
Cap. a disp.
0
€ 41.000,00
= Saldo finale
tasso valutazione REA
2,00%
€ 4.000,00
Flussi Prog.B
Flussi Prog. F.
Prog(B+F)
i(t-1,t)
Saldi B
-€
45.000,00
€ 4.000,00-€
41.000,00
1
€
23.500,00
-€ 1.000,00 €
22.500,00
3,50%
€
22.500,00
2
€
12.000,00
-€ 4.000,00 €
8.000,00
3,74%
€
31.341,53
3
€
13.000,00
€
13.000,00
4,01%
€
45.598,48
TIR
tasso valutazione REA
2,00%
REA
€ 0,00
3,403%
€
998,36
Scelgo l'alternativa B, sia in base al criterio del TIR, sia in base al criterio del REA, sia in base al criterio del saldo finale.
= Saldo finale
DURATION DI UN TITOLO E DI UN
PORTAFOGLIO DI TITOLI
Durata dell’operazione finanziaria
Nelle operazioni a capitalizzazione
integrale la durata dell’operazione
coincide con la data di
disinvestimento (y). Viene detta
anche SCADENZA o MATURITY.
Nelle operazioni composte la
durata dell’operazione è data
dalla durata media finanziaria o
anche DURATION.
𝒏
𝒔
𝒔=𝟏 𝒔 ∗ 𝑹𝒔 ∗ 𝒗
𝒏
𝒔 =𝑷
𝑹𝒔
∗
𝒗
𝒔=𝟏
La duration
Epoca ottima di smobilizzo
RISCHIO DI REALIZZO = RISCHIO DI REINVESTIMENTO
Duration come indicatore di scelta tra progetti
La duration può essere utilizzata come criterio di selezione tra progetti alternativi e
confrontabili. Ci riferiamo ancora a progetti di investimento.
Abbiamo già definito la duration come epoca ottima di smobilizzo, epoca quindi
in cui l’investimento risulta immunizzato dal rischio di variazione dei tassi di
interesse; dunque, un progetto con duration più elevata implica un’epoca
ottima di smobilizzo più “lontana” nel tempo, e quindi meno conveniente se i
tassi di mercato sono crescenti. Viceversa è preferibile un progetto con duration
elevata se i tassi di mercato sono decrescenti, un tale investimento infatti viene
mantenuto più a lungo in portafoglio, beneficiando di tassi maggiori rispetti a
quelli di mercato.
Tale discorso vale per i progetti di investimento. Se consideriamo progetti di
finanziamento il ragionamento è del tutto speculare a quanto illustrato.
Consideriamo un’operazione finanziaria che a fronte di un investimento iniziale di 650 € garantisce 4 ritorni annui che
diminuiscono in progressione aritmetica di ragione -30 € e di primo importo pari a 230 €. Calcolare il tir del progetto
e la Duration. Verificare inoltre che la Duration è l’epoca ottima di smobilizzo
(ipotizzare uno shift del TIR dell'1% sia in aumento sia in diminuzione)
A=
€
650,00
n=
4
t
F(t)
0
-€
650,00
1
€
230,00
2
€
200,00
3
€
170,00
4
€
140,00
TIR=
D(ragione)=
-€
30,00
€
R1=
230,00
5,898%
shift
D=
2,2286
i=TIR
t
F(t)
F(t) in t=D
1,00%
-1,00%
i'>TIR
i''<TIR
F(t) in t=D
Valori di ciascun flusso all'epoca
Duration
F(t) in t=D
0
-€
650,00
1
€
230,00
€
246,78 €
249,64 €
243,92
2
€
200,00
€
202,64 €
203,07 €
202,20
€
-
2,22861346 €
-
€
€
3
€
170,00
€
162,65 €
161,47 €
4
€
140,00
€
126,49 €
124,40 €
+
163,84 Valori di realizzo in
t=D
128,63
€
738,55 €
738,59 €
738,59 =Valore di smobilizzo in t=D
5,9%
-
Valori di
reinvestimento in
t=D
5,9%
-
5,9%
HPR
GRAZIE PER
L’ATTENZIONE