Teoremi di Lieb
Phys. Rev. Letters 62, 1201 (1989)
Consideriamo lo stato fondamentale del modello di Hubbard repulsivo su un
reticolo di dimensione qualsiasi bipartito L con |A| siti A e |B| siti B per cella,
| B || A |,
H  t


 x , y L
cx† c y  U  nx nx , t , U  .
xL
Gli hopping accoppiano solo siti di un sottoreticolo a quelli dell'altro.
Per U<0 e un numero pari di particelle lo spin totale e’ S=0.
Per U>0 a mezzo riempimento sia
n
|L|
 nx  nx , con |L|=numero siti
2
Allora, 2S=|B|-|A |.
Permette di stabilire l’esistenza di
Ferrimagnetismo da elettroni itinearanti, e la
dimostrazione e’ bella e formativa.
1
Elliot H. Lieb (Boston 1932)
Relazione col modello di Heisenberg
Abbiamo visto che nel caso U>>t il modello di Hubbard si riduce al il modello di
Heisenberg
H Heisenberg  J 
mn
1
( Sm  Sn  )
4
This model was considered on a bipartite AB lattice in a famous paper by Lieb and
Mattis (J. Mathematical Physics 3, 749 (1962)). They were able to show that in the
ground state the spin of the elementary cell is
2S=|B|-|A|
where |B| and |A| are the numbers of sites in the two lattices.
La strategia di Lieb e’ quella di ricondursi a questo caso mostrando che esiste uno stato
fondamentale unico con Sz=0 per ogni U>0; l’impossibilita’ di avere incroci comporta
che il teorema validi per il caso di Heisenberg su estende a quello di Hubbard.
1
Sz  
2 xL
Abbiamo visto che gli operatori di spin sono:
n
x
S    cx† cx
 nx  
xL
Si noti che agendo con Sz e con S che una configurazione simmetrica del tipo
(i , j , k ,...., i , j , k ,....)
dove gli indici denotano siti, ha S  0 ( e ' singoletto).
Configurazione di singoletto
       
Trasformazione da U positivo a U negativo
E da spin a pseudospin

d x

 c†x sottoreticolo A
 †
c x sottoreticolo B



H˜  t  dx  dy   c x c y   U  dx  dx  nx   UN .
x ,y L
S   c c  S    ( x )d x  cx 

†
x x
x

x
Sz 
x L
1

2 x
n
 nx    S z 
x
1  n  n
2
3
Cosi' uno mappa il problema repulsivo in uno attrattivo . Tranne il caso di
un problema originale di half filling pero' ha in generale il problema
trasformato ha una configurazione magnetica, con una popolazione
nx  d x† d x
spin
diversa da quella di spin giu'.
spin
spin
spin
Half filling
Indicando |L| con il numero dei siti, specializziamoci allora ad half filling,
quando ci sono n elettroni di spin alto e n di spin basso, con
n
|L|
 nx   nx   nx 
2
4
Cambiamo notazione, eliminando i tilde, ponendo U<0 e scrivendo semplicemente
H  t


 x , y L
cx† c y  U  Unx nx
Una configurazione siti con U>0
La stessa configurazione nella pittura U<0
xL
       

 

Lieb dimostra che il problema attrattivo ha uno stato fondamentale di singoletto con un
ragionamento alla Perron-Frobenius. Poi dimostra che e’ unico sfruttando il principio
variazionale e U<0.
Questo stato corrisponde nel problema repulsivo ad un solo stato fondamentale che si
ottiene dalla trasformazione unitaria. Questo stato non degenere ha la stessa energia; non
e’ in generale di singoletto ma si trova nel settore Sz=0 perche’ nel reticolo ci sono n elettroni
per spin.
5
Matrice W delle ampiezze
Nel problema con U<0, sia    (i , j , k ,....) la tipica configurazione con spin  sui siti i,j,k.....
|L|
Numero configurazioni   di spin su: m   | L |  ;


 2 
ci sono altrettante configurazioni   di spin giu'.

La dimensione del problema da risolvere per trovare lo stato fondamentale e’ m2.
Il tutto si puo' formulare in termini di una matrice mxm W come segue.
La funzione d'onda fondamentale puo' scriversi
   W ,   
 ,
in termini di configurazioni dei due spin e della matrice mxm W. Sulla base delle
configurazioni sui siti, gli elementi diagonali contribuiscono alla funzione d'onda termini
del tipo
    (i , j , k ,...., i , j , k ,....)
che sono, come si e' visto, di singoletto di spin.
6
Si tratta, beninteso, di un singoletto di spin per il problema con U attrattivo, che non lo e'
necessariamente per il problema repulsivo originario. Infatti nella trasformazione lo spin va
nello pseudospin.
Se vi sono termini diagonali non nulli in W, lo stato fondamentale  del problema
attrattivo ha sicuramente almeno una componente di singoletto.
   W ,   
 ,
L’elemento di matrice W va poi reinterpretato nel problema repulsivo nel senso che
nello stato fondamentale  e’ la configurazione delle buche secondo lo schema
U<0
U>0

 

       
7

 0
W 
 1

 2
1 
2 
da' un singoletto a 2 particelle  stati a un corpo x, y  ;infatti,

0 

1 

0
 x  x y  y x
x y  

2
 
S
 

     
   W ,      
 1
  y 
2
 ,
0


 2

1
S 
( x y  y x )  0.
2
Questo mostra che W puo ' avere componente di singoletto anche se
tutti i termini diagonali sono nulli.
Esempi
Il tripletto e'
1 

0

 x 
x y  y x  x y 
2
T

  
 

 1
 y
2
0   

2


ma noi possiamo prendere equivalentemente la matrice hermitiana

 0
W  i
 1

 2
1 
2 

0 

8
La matrice W puo' sempre essere presa hermitiana. Infatti,
se    W ,   
e’ uno stato fondamentale,
 ,
per la realta 'dell 'equazione di Schrödinger   W ,  *   e’ uno stato fondamentale.
 ,
Ma H e' invariante scambiando  , 
 anche
W    

 
*
,


e’ uno stato fondamentale.
,
Quindi se W e’ uno stato fondamentale, W † e’ uno stato fondamentale.
Quindi noi possiamo prendere le combinazioni lineari hermitiane
W  W † , i(W  W † )
 La matrice W puo ' essere presa hermitiana.
Normalizzazione
Con W hermitiana, la normalizzazione e'
1    
 ,

 ',  '
' '
*
2
W*,W ', '      

W
W

W
W

TrW
9
  ,  ,   ,  ,

 ,
 ,
Energia cinetica in termini di W
La media di t  cx† c y 
x, y
K  
 ,
W  W 

 
*
,
,
,
su    W ,   
viene:
 ,
   t  cx†c y   
x, y
Per lo spin giu’ viene una delta :        ; cosi'
K  
 ,
W  W 

 
*
,
,
  t  cx†c y     
,
x, y

  
W*, W , K  ,
, ,
dove K   K    t  cx†c y    K 
x, y
e’ la matrice dell'energia cinetica sulla base delle configurazioni. Dalla
definizione uno puo’ calcolarsi direttamente le matrici
K     t  cx†cy   , K     t  cx†c y   ,
x, y
x, y
E poiche’ W e’ hermitiana,l’energia cinetica risulta espressa in termini dell’incognita W:
K 

  
, ,
W ,W K , 

  
W , K , W  TrWKW  TrKW 2
, ,
10
Interazione in termini di W
   W ,     
 ,
 U  nx nx    W*,   W ,    U  nx nx   
 ,
x
U
x

 
 ,
x
W*,   W ,   nx     nx  
 ,
,
Introducendo la matrice del numero di occupazione, che non dipende dallo spin,
sfruttiamo di nuovo il fatto che W e’ hermitiano:
 U  nx  nx    U 
x
U
x
x
W   W   n   n  

 
 
*
,
,
,
x
x
,
W   W   n   n    U   Wn W    n  .

 
 

,
,
,
x
x
x
,
x
x
,
Gli indici sembrano messi male, ma non c’e’ problema poiche' n e’
hermitiano e reale. Poiche’ la matrice di n e' simmetrica, questo vale
U
x
Wn W   n   UTr  Wn Wn


x
,
x
x
x
x
Quindi l 'energia totale e ' E (W )  2TrKW 2  U  TrWnxWnx
x
dove il 2 viene dalla somma sugli spin.
11
Equazione di Schrödinger (SE)
Variando rispetto a un elemento della matrice W  ( E (W )     )  0
 = moltiplicatore di Lagrange, si trova la SE.
Variando

 Wij


E (W )    2(WKW )   U  (WnxWnx )  

x


E (W )  2 ( K W ) ji  2(W K ) ji  U

(nx W nx ) ji  U
x

(W nx )  i (nx ) j 
x,
L'ultimo termine si somma facilmente su  :

(Wnx )  i (nx ) j   
x,

x
(nx ) j  (Wnx )  i   ( nxWnx )  i 
x



E (W )  2 ( KW ) ji  (WK ) ji  U  (nxWnx ) ji 
 Wij
x


d'altronde,

 Wij

 
| W |2  Wij*  W ji
,
ed introducendo il moltiplicatore di Lagrange e si trova la SE
KW  WK  U  nxWnx  W
x
12
Definizione
Se tutti gli autovalori w i di W sono non negativi, W si dice
semidefinita positiva , e si scrive simbolicamente W  0.
Nota Bene:
Se W  0, TrW  0 strettamente, perche ' se tutti gli autovalori fossero nulli,
la matrice sarebbe nulla e  non sarebbe normalizzabile.
Allora anche sulla base delle configurazioni W>0 ha elementi diagonali non nulli,  lo
stato fondamentale ha almeno una parte di singoletto, avendo termini del tipo
    (i , j , k ,...., i , j , k ,....).
Faremo vedere poi che uno stato fondamentale deve essere semidefinito
positivo.
13
W stato fondamentale implica |W| stato fondamentale.
(ragionamento alla Perron-Frobenius)
Supponiamo di conoscere una W dello stato fondamentale. Diagonalizzandola, troviamo gli
autovalori wi ed una matrice ortogonale C di autovettori tali che
C †WC  diag( wi ).
Prendendo i moduli degli autovalori wi e tornando indietro, si ottiene una matrice
semidefinita positiva, chiamiamola |W|, tale che:
C † | W | C  diag(| wi |).
La norma non cambia dato che Tr | W |2   wi2  TrW 2  1.
allo stesso modo non cambia l'energia cinetica 2Tr ( K | W |2 ).
Infatti, TrK | W |2  Kij | W |2    Kii wi2 sulla base su cui W e' diagonale  TrKW 2 .
ij
ij
14
L'energia potenziale se calcolata con W viene
UTr  WnxWnx  U  (WnxWnx )ii  U  wi (nxWnx )ii  U  wi (nx )ij w j (nx ) ji
x
 U  wi w j (nx )ij2
xi
xi
xi
x ,i
se calcolata con | W | invece viene U  wi w j (nx )ij2 .
x ,i
Poiche' U e' negativo, |W| ha energia non superiore a W, quindi e' essa stessa uno stato
fondamentale. (Questo era lo scopo della trasformazione canonica a U negativo).
W stato fondamentale implica |W| stato fondamentale.
Dal momento che |W| e‘ uno stato fondamentale definito positivo, il problema con U<0
ha uno stato fondamentale di singoletto. Infatti, la traccia non nulla implica elementi di
matrice diagonali non nulli anche sulla base delle configurazioni dei siti.
Esiste uno stato fondamentale di singoletto. Bisogna dimostrare che in
realta’ W=|W| e lo stato fondamentale e’ unico. Faremo vedere che deve
essere semidefinito positivo e che tale proprieta’ non puo’ essere vera se non
e’ unico.
15
   W ,   
sia uno stato fondamentale,
 ,
W fondamentale deve essere semidefinito positivo (o negativo)
Si dimostra per assurdo. Se lo stato fondamentale W non e’ semidefinito, cioe’ ha
autovalori sia positivi che negativi, calcoliamo |W|; W stato fondamentale implica
|W| stato fondamentale. Con esso formiamo R=|W|-W.
|W| e W sono stati fondamentali, quindi anche R=|W|-W lo e’. Inoltre,
| w | w  0 
R  W  W  0.
Se supponiamo che R non abbia autovalori nulli, vuol dire che  , | w | w  0
W  W
Allora a meno di un segno inessenziale, ritroviamo lo stesso stato fondamentale.
Se viceversa supponiamo che esista un autovalore nullo, allora dimostramo che tutti
sono nulli, cioe’ R=0, Infatti, dato l’autovalore nullo, sia V l'autovettore corrispondente, per
il quale RV=0. Allora possiamo mostrare che questa relazione vale per tutto il set
completo e R=0. Infatti, mediando l'equazione di Schroedinger per R su V, troviamo
(l’argomento e’ euristico ma si puo’ rendere rigoroso)
V KR  RK  U  nx Rnx V  e V R V
x
R V 0 V R 0 V

nx Rnx V  0.
x
 Rnx V  0 e allora anche RK V  0.
16
In tal modo tutte le configurazioni connesse con V dal termine cinetico sono nel Kernel di
R; ma date due configurazioni si possono sempre collegare con una potenza finita di K, e il
Kernel si mangia tutto lo spazio di Hilbert. Una matrice che ha un kernel cosi’ grande e’
nulla.
Quindi R=0, W=|W| e lo stato fondamentale e’ semidefinito positivo.
Un W non semidefinito positivo (negativo) non puo' essere uno stato fondamentale.
Unicita’ e spin dello stato fondamentale
Resta la possibilita' di avere due soluzioni W1 e W2 che differiscano anche per i moduli di
alcuni autovalori. Pero' il fatto che lo stato fondamentale e’ definito positivo implica la sua
unicita’. La combinazione lineare Wl =W1 +l W2 , che dovrebbe a sua volta essere uno stato
fondamentale (da normalizzare) avrebbe traccia Tr (W1 +l W2 )=0 per una opportuna scelta
di l , e dovrebbe avere autovalori sia positivi che negativi (con autovalori tutti nulli, W=0);
ma come si e' visto, un W non semidefinito positivo (negativo) non puo' essere uno stato
fondamentale. Questo dimostra che lo stato fondamentale non e' degenere.
Nel caso repulsivo lo stato fondamentale si ottiene dal caso attrattivo
con la trasformazione canonica; quindi e’ unico.
Torniamo alle variabili originarie, nel settore Sz  0 cioe’

x
nx    nx  .
x
Lo stato fondamentale del modello repulsivo con Sz  0 e' unico.
Per U grandi il modello tende a quello di Heisenberg, che ha 2S=|B|-|A|.
Questo deve valere per U qualsiasi, dato che l’unicita’ proibisce incroci di livelli.
17
Mielke ferromagnetism (J. Phys. A 24, 1991):the Kagome lattice
is ferromagnetic at filling factor 1/6.
|L|
 degeneracy
3
of one-body ground state.
(|L|=number of sites)
M  1
First case with saturated ferromagnetism (all spins up) at finite
U. The lowest band is dispersionless and this is called flat band
ferromagnetism.
18
Mielke ferromagnetism (J. Phys. A 24, 1991)
Ferrimagnetismo
2S=B-A
dove B ed A sono i numeri di siti dei due sottoreticoli ed S e' lo spin totale. Cio' implica S=0
per il modello di Hubbard triviale, S=1/2 per ogni cella del modello a 3 bande (senza
interazioni O-O, perche’ deve essere un reticolo bipartito) etc.
Reticolo CuO2
21
Antiferromagnetismo - modello a 3 bande CuO
In un reticolo di lato L, ci sono
A= 2 L2 O e B= L2 Cu. Quindi,
2S= L2
Quindi il sistema senza
interazioni O-O e’
ferrimagnetico: spin opposti su
siti vicini, ma prevalenza
numerica degli ossigeni e
momento magnetico di bulk. In
realta’ il sistema e’
antiferromagnetico, perche’ ci
sono le interazioni O-O e perche’
ad essere mezza piena e’ la
banda del Cu, non tutta la
valenza.
22
Lavori sul Magnetismo nel modello di Hubbard
Teorema di Lieb-Mattis
Phys. Rev. 125, 164 (1962)
Teoremi di Lieb
Phys. Rev. Letters 62, 1201 (1989)
( review by Hal Tasaki, cond-mat/9512169, cond-mat/9712219)
23
Quantum phases
Galileo Transformations
p2
( x , t )
{
 eV ( x)}( x , t )  i
; in a moving frame
2m
t
x '  x  vt , y '  y , z '  z with scalar V : V '( r ', t )  V ( r , t )
 '( x ', y ', z ', t )  ( x , y , z , t )e  i ( x , y ,z ,t )
 ( x, y , z , t) 
mvx
mv 2t

2
One checks that plane wave momentum transforms according to Galileo.
24
Macroscopic quantum phenomena: Josephson effect
Superconductor
Thin insulator
 1 |  1 | ei
Superconductor
 2 | 2 | ei
1
2
emf
R
Ginzburg-Landau :
e
e2
*
*
  order parameter  J S 
[   ]  * |  |2 A
2mi
mc
A0
Time-dependent phase e  iEt like quantum particle.
Matching  ( z ) in barrier  ( z )   1e   z  2 e  ( z b ) , b  barrier

JS
 1* 2  1 2*
width
sin  2  1 
 2eV

emf causes  2  1  eVt  I  I 0 sin 
(t  t0 )  ,


AC response to DC bias !
 2eV

I  I 0 sin 
(t  t0 )  ,


I 0  constant
25
Gauge Transformations
Without the gauge invariance, any theory is untenable. In classical theory,
the Hamiltonian of a charged particle is
e 2
( p  A)
c
H
 eV ( x)
2m
where p is the kinetic momentum and A the vector potential. Both are unobservable.
;
One could have started with new potentials giving the same fields:
A '  A   ( x, t) V '  V 
1 
c t
New Schroedinger equation:
e
( p  [ A   ])2
1 
 '
c
{
 e[V ( x) 
]} '  i
2m
c t
t
26
e
( p  [ A   ])2
1 
 '
c
{
 e[V ( x) 
]} '  i
2m
c t
t
is solved by
ie  ( x , t )
 '( x , t )  ( x , t ) exp[
]; no change in the Physics.
c
27
Peierls prescription for discrete models
Consider a Linear Combination of Atomic Orbitals (LCAO) model for
a molecule or cluster (or a Hubbard Model, neglecting overlaps)
tab
a
b
The hopping term tab stands for the matrix element of H between orbitals.
ie  ( x , t )
Introduce vector potential by  a '( x, t)   a ( x, t)exp[
] ands so on.
c
x
1 
A '  A   ( x, t)  '   
; if A  0,  ( x, t)  
A '.dr
anyplace
c t
Peierls: in discrete models the prescription becomes
t h  t h exp[
2 i
0

b
a
A.dr],
0 
hc
e
 fluxon  4 10 7 Gauss cm 2
28
28
Peierls prescription: to introduce A modify hopping integral:
t h  t h exp[
2 i
0

b
a
A.dr],
0 
hc
e
 4 10 7 Gauss cm 2
In the case of H2 this can be gauged away, but with three or more atoms the
physical meaning is that a magnetic flux φ is concatenated with the molecule;
changing φ by a fluxon has no physical
   B.dS   A.dr
meaning, however.
S
By complex
hoppings, one
can introduce a
concatenated
magnetic flux
29
29
3-site cluster with flux
 23   13  1,  12  ei ,
 e
  2 
0 c
2
1
3
EI
0
In[12]:=
h
:
E
I
0
1
1
ListPlot Table
PlotJoined
Ticks
 Egs  Egs ( )
1
1 ;
0
, Min Eigenvalues h
True, AxesLabel
,
, 0, 6 , .1
,
,E ,
0, Pi, 2 Pi, 3 Pi, 4 Pi, 5 Pi , 0, 1
Egs
Out[12]=
2
3
4
5
Ground state Energy Egs()
has period=2 
30
Aharonov-Bohm effect
The electron(s) see no magnetic field.
The phase difference between beams on either side
of solenoid is
 
q
,
  magnetic flux in solenoid .
31
Topologic phases
From Griffiths Introduction to Quantum Mechanics
Topologic quantum phases
Pancharatnam phase
The Indian physicist S. Pancharatnam in 1956 introduced the concept of a geometrical phase.
Let H(ξ ) be an Hamiltonian which depends from some parameters, represented by ξ ; let |ψ(ξ )>
be the ground state.
Compute the phase difference Δϕij between |ψ(ξ i)> and |ψ(ξj)> defined
by
i
 i    j  e ij   i    j .
 
 
This is gauge dependent and cannot have any physical meaning.
Now consider 3 points ξ and compute the total phase γ in a closed circuit
ξ1 → ξ2 → ξ3 → ξ1; remarkably,
γ = Δϕ12 + Δϕ23 + Δϕ31
is gauge independent!
Indeed, the phase of any ψ can be changed at will by a gauge transformation, but such arbitrary
changes cancel out in computing γ. This clearly holds for any closed circuit with any number of ξ.
Therefore γ is entitled to have physical meaning.
There may be observables that are not given by Hermitean operators.
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