Gruppo Giovanni Prodi
Convegno di Scienza e Fede 72°
Fognano 22-24 novembre 2013
Epistemologia della matematica
RUOLO DELLA MATEMATICA NELLA FISICA
E LA FISICA COME SORGENTE DI NUOVE
IDEE MATEMATICHE
G. M. Prosperi
Roberto Grossatesta (1168-1253):
Tutte le cause dei fenomeni naturali devono essere espresse per mezzo
di linee, angoli e figure.
Ruggero Bacone (1214-1292):
Nella matematica c’è concesso di giungere a una verità completa senza
errore e a una certezza universale senza ombra di dubbio … se nelle altre
scienze vogliamo, come è nostro dovere, arrivare alla certezza che
escluda ogni dubbio e alla verità che escluda ogni errore, è necessario
che la matematica diventi il fondamento del nostro conoscere.
Galileo Galilei (1564-1642):
La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta
aperto davanti agli occhi (io dico l’universo), ma non si può intendere se
prima non s’impara a intender la lingua, a conoscere i caratteri ne’ quali
è scritto. Egli è scritto in lingua matematica e i caratteri son triangoli,
cerchi e altre figure geometriche, senza li quali mezzi è impossibile
intenderne umanamente parola: senza questi è un aggirarsi vanamente
per un oscuro laberinto.
La Matematica come linguaggio
• L’affermazione più significativa di questi brani è che la
Matematica costituisce il linguaggio stesso in cui la Fisica deve
essere espressa.
• Questa affermazione, se vera per la Fisica dei tempi di Galileo,
molto di più lo è per la Fisica attuale e l’averla posta in evidenza
va considerata una grande scoperta.
• Le ragioni di questo ruolo sono certamente nella scelta di
privilegiare gli aspetti quantitativi del mondo sensibile.
• Non meno importante è che la Matematica fornisce lo
strumento logico con cui le ipotesi fondamentali di una teoria
fisica possono essere formulate in modo inequivoco,
• le loro conseguenze essere elaborate e tradotte alla fine in
predizioni precise e controllabili.
• Per Grossatesta, Ruggero Bacone, Galileo il “linguaggio matematico”
era innanzitutto quello della Geometria elementare.
• Questa era sufficiente per le costruzioni dell’ottica geometrica
formulare i modelli cosmologici che erano discussi a quel tempo.
• Come la comprensione del mondo della natura ha proceduto, hanno
dovuto essere impiegati tipi di linguaggio matematico sempre nuovi e
avanzati.
• La formulazione della Meccanica come data da Newton nei suoi
Principia non sarebbe stata semplicemente possibile senza
l’introduzione delle prime idee di Analisi Infinitesimale.
• Anche così il lettore moderno che tenti di avvicinare l’opera originale
di Newton resta interdetto di fronte alla farraginosità della
trattazione che procede largamente per argomenti geometrici
discorsivi, dove l’impiego delle nostre notazioni simboliche
renderebbe il ragionamento molto più trasparente e diretto.
Phylosofiae Naturalis Principia Mathematica
I. Newton
• Scritti sul modello degli Elementi di Euclide
• Assiomi o leggi del moto:
LEGGE I: Ciascun corpo persevera nel proprio stato di quiete o di
moto rettilineo uniforme, salvo che sia costretto a mutare quello
stato da forze impresse.
LEGGE II: Il cambiamento di moto è proporzionale alla forza
motrice impressa, ed avviene lungo la linea retta secondo la
quale la forza è stata impressa.
LEGGE III: Ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e
contraria: ossia, le azioni di due corpi sono sempre uguali tra
loro e dirette verso parti opposte.
• Seguono sei corollari tra cui:
Il teorema di conservazione della quantità di moto.
Il vantaggio della riscrittura in formule
I e II Legge:
𝑑 𝑚𝑖 𝒗𝑖 = 𝑭𝑖 𝑑𝑡
III Legge:
𝑭𝑖 =
𝑗
𝑭𝑖𝑗
e
𝑭𝑖𝑗 = −𝑭𝑗𝑖
da cui segue
𝑖
𝑭𝑖 = 0
e quindi il teorema di conservazione:
𝑑
𝑖
𝑚𝑖 𝒗𝑖 = 0.
,
Interi capitoli della Fisica non avrebbero potuto essere scritti senza corrispondenti sviluppi nel calcolo infinitesimale.
Il concetto di differenziale esatto
• Forza conservativa: il lavoro compiuto da una forza su una
particella è indipendente dal cammino percorso da questa
𝛿𝐿 = 𝐹𝑥 𝑑𝑥 + 𝐹𝑦 dy + Fz 𝑑𝑧 = 𝑑𝑈
• Conservazione dell’energia
𝑑 1
𝑚𝑣 2 + 𝑈 = 0
𝑑𝑡 2
• I PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA: concetto di energia interna
𝛿𝐿 + 𝛿𝑄 = 𝑑𝑈
• II PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA: concetto di entropia
𝛿𝑄
= 𝑑𝑆
𝑇
• La Teoria della Relatività Ristretta
ha acquistato grande trasparenza con l’uso del
calcolo tensoriale.
• La Teoria della Relatività Generale
non sarebbe stata possibile senza il ricorso alla
geometria di Rieman e al calcolo differenziale
assoluto di Ricci
• La Teoria Quantistica
non avrebbe mai potuto raggiungere l’attuale
completezza ed eleganza senza il concetto di spazio
di Hilbert e lo studio delle proprietà degli operatori.
Nella Fisica Classica la relazione tra simboli matematici
e realtà empirica è comunque molto diretta.
• Il punto materiale idealizza un corpo le cui dimensioni siano
trascurabili alla scala considerata; le sue coordinate
corrispondono a tipi di osservazioni concettualmente molto
semplici, come quelle eseguite con comuni strumenti ottici.
• I campi elettrici e magnetici possono essere posti
immediatamente in relazione con gli effetti prodotti su
corpi di prova in quiete o in movimento.
• La distribuzione delle temperature in un fluido fa
riferimento idealmente alle indicazioni di un sistema di
termometri
Il grado di astrazione è invece molto maggiore nella
Fisica Quantistica.
• In questo caso il linguaggio matematico non ha per se alcun
corrispettivo immediato nell’intuizione ordinaria.
• Il formalismo appropriato è quello degli spazi di Hilbert e delle
algebre di operatori. Noi associamo allo stato di un sistema un
vettore unitario e ad un’osservabile un operatore autoaggiunto.
• Ma queste associazioni isolatamente prese non hanno alcun
riferimento intuitivo e al di fuori dell’intero contesto a termini
come stato e osservabile non si può dare alcun significato preciso.
• Il contatto con il mondo reale, con ciò che noi possiamo percepire
o su cui possiamo agire, è dato da un insieme di regole
matematiche astratte che acquistano senso solo nella loro unità.
• E’ solo con l’uso dell’intero complesso di queste regole che noi
possiamo fare delle predizioni verificabili, “spiegare” determinati
fenomeni, capire le loro connessioni con altri.
Postulati fondamentali
•
Lo stato di un oggetto è specificato ad ogni istante da un vettore unitario ψ 𝑡 (vettore di
stato) in un appropriato spazio lineare ad infinite dimensioni H (spazio di Hilbert).
L’evoluzione temporale di ψ 𝑡 è determinata da un’equazione della forma
iℏ∂ψ/∂t=𝐻ψ ,
dove 𝐻 è un opportuno operatore lineare di un tipo detto hermitiano (di cui l’operatore
differenziale che appare al primo membro della equazione di Schroedinger per una
particella è un esempio; hermitiano vuol dire nella sostanza reale).
• Ad ogni grandezza osservabile A è associato un operatore lineare hermitiano 𝐴 definito
in H . Gli autovalori 𝛼1 , 𝛼2 , 𝛼3 … e gli autovettori normalizzati 𝜑1 , 𝜑2 , 𝜑3 , … di 𝐴
(definiti dall’equazione 𝐴𝜑𝑗 = 𝛼 𝑗 𝜑𝑗 ) danno i possibili valori assunti dalla grandezza A
e gli stati (autostati) per i quali una misura di A dà con certezza il corrispondente
autovalore. Se ad un certo tempo t l’oggetto si trova nello stato sovrapposizione,
𝜓 𝑡 = 𝑗 𝑐𝑗 (𝑡)𝜑𝑗
la probabilità che una misura di A dia il valore 𝛼 𝑗 è data da
𝑃 𝐴 = 𝛼 𝑗 ; 𝑡 = |𝑐𝑗 (𝑡)|2 .
•
Se al tempo 𝑡 è stata eseguita una misura della grandezza A che ha dato il risultato 𝛼 𝑗 , ad
un tempo immediatamente successivo il vettore di stato va ridefinito come
𝜓 𝑡 + 𝜀 = 𝜑𝑗
(riduzione della funzione d’onda)
.
Sono dovuti passare tre secoli dai tempi di Galileo perché i
fisici potessero scoprire il linguaggio necessario per affrontare
i fenomeni dell’estremamente piccolo o dell’estremamente
grande, del mondo subatomico o dell’universo.
• Parlo di “scoperta” del linguaggio matematico
necessario per affrontare “quei fenomeni”.
• Dobbiamo comprendere è che non esiste alcun criterio
di scelta a priori; noi dobbiamo usare la matematica
che risulta utile, quella che ci permette di costruire
teorie che hanno successo.
• Per formulare una qualsiasi teoria fisica, che riguardi
una certa classe di fenomeni, dobbiamo usare un
linguaggio matematico appropriato e questo
linguaggio va scoperto.
• Esso va poi riguardato in se stesso come una parte
integrante e inscindibile della teoria.
• Non sempre il fisico riesce a trovare nella Matematica
esistente il formalismo che gli è necessario per costruire
una nuova teoria e allora egli stesso deve crearselo.
• Molte volte proprio in questo modo sono stati aperti dei
capitoli completamente nuovi della Matematica.
• E’ stato questo il caso
- del concetto di derivata come introdotto da Newton,
- quello di serie di Fourier,
- quello di certi sviluppi della teoria degli operatori e della
teoria delle distribuzioni,
- certi sviluppi della teoria dei gruppi ecc.
P. A. M. Dirac: Quantum Mechanics
• L’autore presuppone solo una matematica molto elementare
e cerca di costruirsi il formalismo necessario
assiomaticamente in stretto contatto con la teoria fisica.
• Perviene in tal modo ad un’estensione della teoria degli spazi
di Hilbert che include certe classi di vettori di norma infinita e
alla sua famosa nozione di funzione delta.
• La struttura matematica è così fatta emergere direttamente
dalla Fisica.
• E’ noto che le idee introdotte in tal modo da Dirac sono state
successivamente sviluppate da matematici di grande valore,
come L. Schwartz o I. M. Gel’fand portando ad un capitolo
della Matematica completamente nuovo e di grande
interesse, la Teoria delle Distribuzioni.
In conclusione
• Ho cercato di mettere in evidenza sulla base di alcuni
esempi significativi il ruolo essenziale del formalismo
matematico nella costruzione delle Teorie fisiche.
• Ho voluto portar esempi di come lo sviluppo di alcuni
capitoli sia avvenuto in maniera parallela ed abbia
stimolato determinati sviluppi di carattere matematico.
• Ho cercato di mostrare come la costruzione di nuove teorie
per l’interpretazione di un nuovo ambito di fenomeni abbia
a volte richiesto lo sviluppo di teorie matematiche
completamente nuove, altre ad approfondimenti di teorie
esistenti che senza la motivazione fisica non avrebbero mai
forse visto la luce.