Giochi statici e concorrenza
alla Cournot
Capitolo 8: Giochi statici e
concorrenza alla Cournot
1
Introduzione
Nella maggioranza dei mercati le imprese interagiscono con pochi
concorrenti (mercato oligopolistico)
Ogni impresa deve considerare le azioni delle rivali
• interazione strategica nei prezzi, nell’output, nella pubblicità
Questo tipo di interazione viene studiato con la teoria dei giochi
• assume che “i giocatori” siano razionali
• perseguno obiettivi ben definiti (l’impresa massimizza il profitto)
• Danno luogo ad un ragionamento strategico (utilizzano la conoscenza)
Vi sono giochi cooperativi (un gruppo di imprese, coalizione di
consumatori) e giochi non cooperativi (una singola impresa, il
consumatore)
• ci concentriamo sui giochi non cooperativi
Il fattore tempo è importante
• giochi simultanei (non si conosce la mossa dell’avversario, cartaforbice-sasso) vs. giochi sequenziali o dinamici (principio
azione/reazione, scacchi)
2
Capitolo 8: Giochi statici e
concorrenza alla Cournot
Teorie dell’oligopolio
• Non esiste un’unica teoria
•
•
si impiegano gli strumenti appropriati di teoria dei giochi
il risultato dipende dall’informazione disponibile
• Dobbiamo definire un concetto di equilibrio
•
•
•
ciascun giocatore (impresa?) sceglie una strategia
la combinazione delle strategie determina il risultato
il risultato determina i pay-off (profitti?)
• Il concetto di equilibrio venne formalizzato da Nash:
“Nessuna impresa desidera cambiare la propria strategia
attuale dato che nessun’altra impresa cambia la propria
strategia attuale”
Capitolo 8: Giochi statici e
concorrenza alla Cournot
3
Equilibrio di Nash
• L’equilibrio non è necessariamente “desiderabile”
•
le imprese potrebbero ottenere risultati migliori coordinandosi,
ma tale coordinamento potrebbe essere impossibile (o illegale)
• Alcune strategie possono talvolta essere eliminate
•
non sono mai buone strategie a prescindere da cosa fanno i
rivali
• Queste sono le strategie dominate
•
•
non vengono mai impiegate e possono essere eliminate
l’eliminazione di una strategia dominata potrebbe far sì che
un’altra strategia risulti dominata: può anch’essa esser
eliminata
• Una strategia potrebbe esser sempre scelta a prescindere da
quel che fanno i rivali: strategia dominante
Capitolo 8: Giochi statici e
concorrenza alla Cournot
4
Un esempio
• Due compagnie aeree
• Prezzi fissati: competono negli orari di partenza
• 70% dei consumatori preferiscono partire la sera, 30%
preferiscono partire di mattina
• Se le compagnie scelgono lo stesso orario di partenza si
dividono equamente il mercato
• I pay-off sono determinati dalle quote di mercato e sono
rappresentati in una matrice dei pay-off
Capitolo 8: Giochi statici e
concorrenza alla Cournot
5
Esempio 2
La matrice dei pay-off
Qual è l’equilibrio
American
per questo gioco?
Il valore a sinistra
è il pay-off
per Delta
Mattina
Mattina
(15, 15)
(30, 70)
(70, 30)
Il valore a destra
è il(35,
pay-off
35)
per American
Delta
Sera
Sera
Capitolo 8: Giochi statici e
concorrenza alla Cournot
6
Esempio 3
La matrice dei pay-off
SeLa
American
American
La partenza alla
partenzasceglie
alla Se American sceglie
la partenza
mattina,
la partenza serale,
mattina è una
mattinadi
è una
Delta sceglierà
sceglierà
strategia dominata
strategia
dominataanche Delta
Mattina
Sera
la
partenza
serale
la
partenza
serale
anche per l’American Entrambe le per la Delta
compagnie scelgono
Mattina la partenza
(15, 15)serale
(30, 70)
Delta
Sera
(70, 30)
Capitolo 8: Giochi statici e
concorrenza alla Cournot
(35, 35)
7
Esempio 4
• Supponete ora che Delta abbia un programma per
frequent flyer
• Quando entrambe le compagnie scelgono lo stesso orario
di partenza Delta ottiene il 60% dei viaggiatori
• Ciò modifica la matrice dei pay-off
Capitolo 8: Giochi statici e
concorrenza alla Cournot
8
Esempio 5
La matrice dei pay-off
Ma se Delta
Se Delta sceglie
la
American
Tuttavia,
la partenza
sceglie la partenza
di mattina è
American
non ha partenza di mattina,
serale, American
Americanancora una strategia
una
strategia
dominata
sceglierà la mattina
Mattina
Sera
sceglierà
la
sera
per la Delta
American lodominata
sa e
opta per la partenza
Mattina
12)
(30, 70)
di(18,
mattina
Delta
Sera
(70,
(70,30)
30)
Capitolo 8: Giochi statici e
concorrenza alla Cournot
(42, 28)
9
L’equilibrio di Nash
• E se non ci fossero strategie dominate o dominanti?
• Allora dobbiamo usare il concetto di equilibrio di Nash
• Rendiamo il gioco delle compagnie un gioco di prezzo:
•
•
•
•
•
•
•
60 potenziali passeggeri con un prezzo di riserva di € 500
120 passeggeri addizionali con un prezzo di riserva di € 220
la discriminazione di prezzo è impossibile (forse per motivi
regolatori oppure perché le compagnie non sanno distinguere i
tipi di passeggeri)
i costi sono € 200 a passeggero a prescindere dall’orario
le compagnie devono scegliere il prezzo di € 500 o di € 220
se i prezzi sono uguali, i passeggeri si distribuiscono in parti
uguali
quella a basso prezzo ottiene tutti i passeggeri
• La matrice dei pay-off ora è:
Capitolo 8: Giochi statici e
concorrenza alla Cournot
10
Esempio
Matrice dei pay-off
Se entrambe hanno
Se American ha prezzi
prezzi alti, entrambe
bassi e Delta alti,
American
American
ottengono 30 ottiene
passeggeri.
tutti i 180 passeggeri.
Se Delta ha prezzi
Se entrambe hanno
I profitti per passeggero
I profitti per passeggero
bassi e American alti,
prezzi
Delta
bassi,
ognunaPL = €220
= €500
sono € 300 PHsono
€ 20
ottiene tutti i 180 passeggeri.
ottiene 90 passeggeri.
I profitti per passeggero
I profitti per passeggero
€ 9000)
(€ 0, € 3600)
PH
= €500
sono
€ 20 (€ 9000,
sono
€ 20
Delta
PL = €220
(€ 3600, € 0)
Capitolo 8: Giochi statici e
concorrenza alla Cournot
(€ 1800, € 1800)
11
Equilibrio di Nash
Matrice dei pay-off
(PH, PH) è un
Nonpuò
esiste
un modo
(PL, PH) non
essere
equilibrio
di Nash.
semplice
per scegliere
American
Ci sono
due equilibri
un equilibrio
di Nash.
Se entrambe
tra) questi
equilibri
di Nash
in questahanno
Se American
(PL, P
ha
è
un
prezzi
L
PHprezzi
, PL)del
non
alti,
può
nessuna
essere
versione
gioco
bassi,
equilibrio
deve
di Nash.
averli
PDelta
PLalti
= €220
H = €500
un equilibrio
vuole cambiare
di Nash.
Se entrambe hanno
Se American ha prezzi
prezzi
bassi,
nessuna
L’abitudine
e
la
Il
“pentimento”
alti, Delta
deve
averli
bassi
P
=
€500
(€9000,€9000)
€3600)
(€9000,
€9000)
vuole
cambiare
H
familiarità
potrebbero
potrebbe
far(€0,
sì che
Deltaportare entrambe ad entrambe pongano
aver prezzi alti
prezzi bassi
PL = €220
(€3600, €0)
(€1800, €1800)
Capitolo 8: Giochi statici e
concorrenza alla Cournot
12
Modelli di oligopolio
Esistono tre modelli principali di oligopolio
• Cournot (quantità, modello statico)
• Bertrand (prezzo, modello statico)
• Stackelberg (dinamico, con molti round, follower e leader)
Si distinguono in base
• alla variabile strategica scelta dalle imprese
• alla tempistica con cui si svolge il gioco
In questa sezione ci concentriamo sul modello di Cournot (1836):
Un’unica impresa desidera entrare nel mercato servito da un monopolio. Essa è
in grado di fornire un prodotto in tutto e per tutto identico a quello del
monopolista e di produrlo allo stesso costo unitario. In monopolio il prezzo
è maggiore del costo marginale, dunque è conveniente anche per il nuovo
entrato. Il nuovo entrante sceglierà un livello di output che massimizza i
profitti tenendo conto dell’output venduto dal monopolista
Capitolo 8: Giochi statici e
concorrenza alla Cournot
13
Il modello di Cournot
Cominciate con un duopolio
• Due imprese producono uno stesso bene
(Cournot prese il caso dell’acqua minerale)
• La domanda per questo prodotto è
P = A - BQ = A - B(q1 + q2)
dove q1 è l’output dell’impresa 1 e q2 quello della 2
• I costi marginali sono uguali e costanti per entrambe = c
• Per ottenere la curva di domanda di una delle due imprese
trattiamo l’output dell’altra come una costante
• La domanda è perciò
P = (A - Bq1) - Bq2
Capitolo 8: Giochi statici e
concorrenza alla Cournot
14
Il modello di Cournot (2)
P = (A - Bq1) – Bq2
La scelta ottima per l’output
dell’impresa 2 dipende
A - Bq1
dall’output dell’impresa 1
€
Se l’output dell’impresa
1 aumenta la curva di
domanda dell’impresa 2
si sposta verso sinistra
I ricavi marginali per
A - Bq’1
Risolviamo per
l’impresa 2 sono
l’output
q2
R’2 = (A - Bq1) - 2Bq
2
Domanda
C’
c
R’2 = C’
A - Bq1 - 2Bq2 = c
 q*2 = (A - c)/2B - q1/2
Capitolo 8: Giochi statici e
concorrenza alla Cournot
R’2
q*2
Quantità
15
Il modello di Cournot (3)
q*2 = (A - c)/2B - q1/2
Questa è la funzione di reazione dell’impresa 2
Ci dice la scelta di quantità dell’impresa 2 che massimizza
i profitti, data la scelta di output dell’impresa 1
C’è una funzione di reazione anche per l’impresa 1
Per lo stesso motivo, si può scrivere:
q*1 = (A - c)/2B - q2/2
L’equilibrio di Cournot-Nash richiede che entrambe le
imprese siano sulle proprie funzioni di reazione
Capitolo 8: Giochi statici e
concorrenza alla Cournot
16
L’equilibrio di Cournot-Nash
q2
(A-c)/B
(A-c)/2B
qC2
Funzione di
reazione impresa 1:
q*1 = (A-c)/2B - q2/2
Se l’impresa 2 produce
L’equilibrio di
(A-c)/B l’impresa
Cournot-Nash è
1 non produce output
Funzione
di reazione impresa
1
all’intersezione
delle
funzioni di
Sereazione
l’impresa 2 non
produce, l’impresa 1Funzione di
impresa 2:
produce l’outputreazione
di
C
q*2 = (A-c)/2B - q1/2
monopolio (A-c)/2B
Funzione di reazione impresa 2
qC1 (A-c)/2B
(A-c)/B
Capitolo 8: Giochi statici e
concorrenza alla Cournot
q1
17
L’equilibrio di Cournot-Nash (2)
q2
q*1 = (A - c)/2B - q*2/2
(A-c)/B
Funzione di reazione
dell’impresa 1
q*2 = (A - c)/2B - q*1/2
 q*2 = (A - c)/2B - (A - c)/4B + q*2/4
 3q*2/4 = (A - c)/4B
(A-c)/2B
(A-c)/3B
C
Funzione di reazione
dell’impresa 2
(A-c)/2B
(A-c)/B
 q*2 = (A - c)/3B
 q*1 = (A - c)/3B
q1
(A-c)/3B
Capitolo 8: Giochi statici e
concorrenza alla Cournot
18
L’equilibrio di Cournot-Nash (3)
• In equilibrio ogni impresa produce
• L’output totale è dunque
qC2 = (A - c)/3B
Q* = 2(A - c)/3B
• Ricordate che la domanda è
• Il prezzo di equilibrio è perciò
P* = A - 2(A - c)/3 = (A + 2c)/3
P = A – BQ
• Il profitto dell’impresa 1 è lo stesso dell’impresa 2
(P* - c)qC1 = (A - c)2/9B
• Un monopolista produrrebbe
QM = (A - c)/2B
• La competizione tra imprese fa sì che ci sia
“sovraproduzione”. Il prezzo è < prezzo di monopolio
• Ma l’output è comunque minore dell’output concorrenziale
(A - c)/B in cui P = C’
Capitolo 8: Giochi statici e
concorrenza alla Cournot
19
L’equilibrio di Cournot-Nash: più imprese
• E se ci fossero più di due imprese?
• L’approccio rimarrebbe lo stesso.
• Ci sono N identiche imprese che producono uno stesso bene
• L’output totale è
Q = q1 + q2 + … +QqN
-1 indica l’output
aggregato di tutte
• La domanda è
P = A - BQ = A - B(q1 + q2 + … + qN)
le imprese diverse
• Considerate l’impresa 1. La sua domanda
può esser 1scritta
dall’impresa
come
P = A - B(q2 + … + qN) - Bq1
• Usiamo una notazione sintetica
Q-1 = q2 + q3 + … + qN
• La domanda dell’impresa 1 è
P = (A - BQ-1) - Bq1
Capitolo 8: Giochi statici e
concorrenza alla Cournot
20
Il modello di Cournot: molte imprese
P = (A - BQ-1) - Bq1
€
La scelta ottima per l’output
dell’impresa 1 dipende
A - BQ-1
dall’output delle altre imprese
Se l’output delle altre
imprese aumenta, la
curva di domanda per
l’impresa 1 si
sposta verso sinistra
I ricavi marginali per
A - BQ’-1
Risolviamo per
l’impresa 1 sono
q1
R’1 = (A - BQ-1) -l’output
2Bq1
Domanda
C’
c
R’1 = C’
A - BQ-1 - 2Bq1 = c
 q*1 = (A - c)/2B - Q-1/2
Capitolo 8: Giochi statici e
concorrenza alla Cournot
R’1
q*1
Quantità
21
L’equilibrio di Cournot-Nash: molte imprese
q*1 = (A - c)/2B - Q-1/2
 Q*-1 = (N - 1)q*1
Come risolviamo
Le imprese sono
 q*1 = (A - c)/2B - (N - 1)q*1/2
per q*1?
identiche.
Perciò in
 (1 + (N - 1)/2)q*1 = (A - c)/2B
equilibrio produrranno
 q*1(N + 1)/2 = (A - c)/2B
Al
Alcrescere
cresceredel
delnumero
numero
Allocrescere
del numero
stesso output
 q*1 = (A - c)/(N + 1)B
didiimprese
impreseil’output
profitti
Q* = N(A - c)/(N + 1)B
didelle
imprese
imprese
il prezzo
l’output
tende
di
diciascuna
ciascunaimpresa
impresa
altotale
costo aumenta
marginale
diminuiscono
diminuisce
 P* = A - BQ* = (A + Nc)/(N + 1)
Profitti impresa 1 = (P* - c)q*1 = (A - c)2/(N + 1)2B
Capitolo 8: Giochi statici e
concorrenza alla Cournot
22
L’equilibrio di Cournot-Nash: costi differenti
• E se le imprese avessero costi differenti?
Buona parte dell’analisi fin qui vista si può impiegare
• I costi marginali sono c1 per l’impresa 1 e c2 per l’impresa 2.
• La domanda è
P = A - BQ = A - B(q1 + q2)
Risolvete per
• Come prima abbiamo ricavi marginali per l’impresa
1 q1
l’output
R’1 = (A - Bq2) - 2Bq1
Risultato analogo si
ricava per
2 = c1
• Uguagliate ai costi marginali
(Al’impresa
- Bq2) - 2Bq1
 q*1 = (A - c1)/2B - q2/2
 q*2 = (A - c2)/2B - q1/2
Capitolo 8: Giochi statici e
concorrenza alla Cournot
23
L’equilibrio di Cournot-Nash: costi differenti (2)
q2
(A-c1)/B
R1
L’output di equilibrio
Se i costi
q*
=marginali
(A - c1)/2B - q*2/2
dell’impresa
21aumenta
dell’impresa
2
e quello dell’impresa
q*2 = (A - c12)/2B - q*1/2
Cosa accade a questo
diminuiscono,
diminuisce la sua
di
q*reazione
- c2)/2B - (A - c1)/4B + q*2/4
equilibrio
quando
2 = (A
curva
cambiano
i costi?
si sposta
verso
destra
 3q*
2/4 = (A - 2c2 + c1)/4B
(A-c2)/2B
 q*2 = (A - 2c2 + c1)/3B
R2
 q*1 = (A - 2c1 + c2)/3B
C
(A-c1)/2B
(A-c2)/B
q1
Capitolo 8: Giochi statici e
concorrenza alla Cournot
24
L’equilibrio di Cournot-Nash: costi differenti (3)
• In equilibrio le imprese producono
qC1 = (A - 2c1 + c2)/3B
qC2 = (A - 2c2 + c1)/3B
• L’output totale è
Q* = (2A - c1 - c2)/3B
• Ricordate che la domanda è
• Il prezzo è
P = A - B.Q
P* = A - (2A - c1 - c2)/3 = (A + c1 +c2)/3
• Profitti impresa 1 (P* - c1)qC1 = (A - 2c1 + c2)2/9
Profitti impresa 2 (P* - c2)qC2 = (A - 2c2 + c1)2/9
• La quantità d’equilibrio è inferiore a quella concorrenziale
• Si produce inefficientemente: l’impresa a basso costo
dovrebbe produrre tutto l’output
Capitolo 8: Giochi statici e
concorrenza alla Cournot
25
Concentrazione e redditività
Assumete N imprese con differenti costi marginali
Possiamo usare l’analisi a N imprese con un accorgimento
• La domanda per l’impresa 1 è
P = (A - BQ-1) - Bq1
• Allora la domanda per l’impresa i è
P = (A - BQ-i) - Bqi
• Uguagliate ai costi marginali ci
A - BQ-i - 2Bqi = ci
• Dunque possiamo ricavare l’equilibrio:
A - B(Q*-i + q*i) - Bq*i - ci = 0
Ma (Q*-i + q*i) = Q*
e A - BQ* = P*
quindi…
• P* - Bq*i - ci = 0 → P* - ci = Bq*i
Capitolo 8: Giochi statici e
concorrenza alla Cournot
26
Concentrazione e redditività (2)
P* - ci = Bq*i
Dividete per P* e moltiplicate il termine di destra per Q*/Q*
P* - ci
P*
Ma
Il margine prezzo-costo
per ciascuna impresa è
dato dalla sua quota di
e dall’elasticità
e q*i/Q* =mercato
si perciò
della domanda
BQ* q*i
=
P* Q*
BQ*/P* = 1/
Il margine prezzo-costo
medio è determinato

dalla concentrazione
Estendendo questo risultato abbiamo dell’industria
P* - c
= H

P*
P* - ci
=
P*
si
Capitolo 8: Giochi statici e
concorrenza alla Cournot
27
Esercizi di Riepilogo
Esercizio 1
Sara e Matteo sono 2 studenti universitari che si sono incontrati per caso
l’ultimo giorno degli esami. I due si sono trovati molto simpatici ma si sono
dimenticati di scambiarsi i numeri di telefono. Entrambi ricordano di aver
parlato di andare ad una festa universitaria la sera stessa ma purtroppo ve
ne sono due. Una festa è piccola e se ci vanno di sicuro si incontrano, l’altra
festa è molto grande, se entrambi ci vanno, vi è la possibilità che non si
incontrino a causa della folla. Ovviamente se ognuno va ad una festa diversa
non si incontreranno proprio. Ecco la tabella degli esiti (Matteo elencato per
primo).
Capitolo 8: Giochi statici e
concorrenza alla Cournot
28
Esercizi di Riepilogo
Risoluzione Esercizio 1
a) Questo è un problema classico.
Il modo più semplice per trovare l’equilibrio di Nash è di trovare i punti
di incontro delle funzioni di reazione di Sara e di Matteo: andiamo cioè
a verificare le scelte ottimali di Sara e Matteo condizionate ad una certa
scelta dell’altra persona.
Ad esempio, se Matteo sceglie di andare alla festicciola, chiaramente
Sara sceglierà anche lei di andare alla festicciola e viceversa; se invece
Matteo sceglie di andare alla grande festa, Sara sceglierà anch’ella la
grande festa e viceversa.
Vengono dunque eliminate le scelte (Festicciola, Grande festa) e
(Grande Festa, Festicciola) – ovviamente Sara e Matteo vogliono
incontrarsi perciò non desiderano andare a due feste diverse!
Capitolo 8: Giochi statici e
concorrenza alla Cournot
29
Esercizi di Riepilogo
Risoluzione Esercizio 1 (segue)
Tuttavia, così facendo, notiamo che rimangono due possibili equilibri di
Nash (Festicciola, Festicciola) e (Grande festa, Grande festa), per cui, in
assenza di ulteriori accorgimenti, non esiste un unico equilibrio di Nash.
Capitolo 8: Giochi statici e
concorrenza alla Cournot
30
Esercizi di Riepilogo
Risoluzione Esercizio 1 (segue)
b) Al punto a) abbiamo osservato che esistono due possibili equilibri di
Nash e che pertanto non esiste un modo certo per assicurarsi che Sara e
Matteo si incontrino.
Tuttavia, se andassero entrambi alla festicciola otterrebbero un payoff
superiore a quello ricavabile andando alla grande festa (1000,1000).
La festicciola è dunque paretianamente superiore alla grande festa.
Capitolo 8: Giochi statici e
concorrenza alla Cournot
31
Esercizi di Riepilogo
Esercizio 2
Si supponga che la festicciola dell’esercizio 1 sia organizzata da “i
fannulloni”, 20 studenti e studentesse che organizzano feste
alternative alle normali feste universitarie. Tutti e 20 i fannulloni
prenderanno parte alla festa, anche altre persone ne prenderanno
parte (esempio Sara e Matteo). La partecipazione totale A dipende
da quante persone X parteciperanno, la relazione è A = 20 + 0.6X.
a. Spiegate l’equazione. Perché l’intercetta è 20? Perché la relazione
tra A e X è positiva?
b. Se l’equilibrio richiede che la previsione dei partecipanti siano
corrette, come calcolare la partecipazione in equilibrio alla
festicciola de “i fannulloni”?
Capitolo 8: Giochi statici e
concorrenza alla Cournot
32
Esercizi di Riepilogo
Risoluzione Esercizio 2
a) Osservate che X è il numero totale di persone che tutti gli studenti si
aspettano parteciperanno alla festicciola.
L’intercetta è 20, poiché 20 persone parteciperanno alla festicciola a
prescindere dalle aspettative sul numero di individui.
Se gli studenti si aspettano che una sola persona parteciperà alla festa,
allora ci saranno 21 individui.
b) Un modo per intuire il risultato è di assumere che ciascuno studente si
immagini che 100 persone parteciperanno alla festicciola dei
fannulloni.
Ciò implica che l’aspettativa totale è che 100 persone parteciperanno
alla festa.
Inserendo questo valore nell’equazione della partecipazione otteniamo
che il numero di studenti che presenzieranno alla festicciola è dato da
𝐴 = 20 + 0,6 (100) = 80
Capitolo 8: Giochi statici e
concorrenza alla Cournot
33
Esercizi di Riepilogo
Risoluzione Esercizio 2 (segue)
Perciò le aspettative non sono corrette.
Se ciascun individuo invece si aspettasse che nessuno partecipi alla
festa, allora il numero di partecipanti sarebbe
𝐴 = 20 + 0,6 (0) = 20
che chiaramente non è un’aspettativa corretta.
Se ciascun individuo invece immaginasse che 50 persone parteciperanno
alla festa, otterremmo
𝐴 = 20 + 0,6 (50) = 50
che significa che le aspettative si sono avverate.
Per risolvere il problema inerente alla correttezza delle aspettative (X), è
necessario risolvere l’equazione che verifica
ASPETTATIVE = PARTECIPAZIONE EFFETTIVA
Capitolo 8: Giochi statici e
concorrenza alla Cournot
34
Esercizi di Riepilogo
Risoluzione Esercizio 2 (segue)
Perciò, semplicemente risolviamo la seguente equazione
𝑋 = 20 + 0,6𝑋
→ 0,4𝑋 = 20
→ 𝑋 = 50
Potrebbe essere utile mettere in relazione questo problema con il
“moltiplicatore” di un semplice modello macroeconomico del consumo
dove
C = a + bY
e
Y = C + I.
Capitolo 8: Giochi statici e
concorrenza alla Cournot
35
Esercizi di Riepilogo
Esercizio 6
La domanda inversa di mercato è P = 400 – 2Q. Vi sono 2 imprese che
producono questo tipo di prodotto, ciascuna ha un costo unitario pari
a 40. Le imprese competono nel mercato in termini di quantità.
a. Illustrate come derivare l’equilibrio di Cournot. Quali sono i profitti
per l’impresa in equilibrio?
b. Calcolate l’output di monopolio che massimizza i profitti totali.
Perché la produzione pari a metà dell’output di monopolio non è un
esito di equilibrio di Nash?
Capitolo 8: Giochi statici e
concorrenza alla Cournot
36
Esercizi di Riepilogo
Risoluzione Esercizio 6
a) Per determinare la funzione di reazione dell’impresa 1, uguagliate i suoi
ricavi marginali con i costi marginali
400 − 4𝑄1 − 2𝑄2 = 40
→ 𝑄1 = 1/4 (360 − 2𝑄2)
Dato che le imprese sono identiche
𝑄1 * = 𝑄2 * = 𝑄*
→ 1/4 (360 − 2𝑄*) = 𝑄*
→ 𝑄* = 60
→ P* = 160
I profitti dell’impresa 1 sono
𝜋1 = (160−40) 60 = 7200
Capitolo 8: Giochi statici e
concorrenza alla Cournot
37
Esercizi di Riepilogo
Risoluzione Esercizio 6 (segue)
b) L’output di monopolio è
𝑄𝑀 = 1/4 (360) = 90
(45, 45) non è un equilibrio, in quanto, se un’impresa produce 45, l’altra
impresa produce
1/4 (360 − 2(45)) = 67,5
per massimizzare i propri profitti.
Capitolo 8: Giochi statici e
concorrenza alla Cournot
38
Esercizi di Riepilogo
Esercizio 8
È possibile utilizzare il modello di Cournot per derivare una struttura di
equilibrio dell’industria. Si definisce “equilibrio” quella struttura
nella quale nessuna impresa è incentivata a entrare nel mercato o
uscirne. Se una impresa abbandona il mercato entra in un mercato
concorrenziale alternativo nel quale ottiene profitti pari a zero. Se
un’altra impresa entra nel mercato quando vi sono altre n imprese, i
nuovi profitti saranno determinati dall’equilibrio di Cournot con n+1
imprese. Si ipotizzi che ciascuna impresa abbia la seguente funzione
di costo C(q) = 256 + 20q e la domanda di mercato è P = 100 – Q.
a. Trovate il numero di imprese che possono stare sul mercato nel
lungo periodo.
b. Quali sono il livello di output nel mercato, il prezzo e i profitti nel
lungo periodo?
Capitolo 8: Giochi statici e
concorrenza alla Cournot
39
Esercizi di Riepilogo
Risoluzione Esercizio 8
a) Definite N come il numero di imprese di equilibrio di lungo periodo.
Determinate la funzione di reazione di ciascuna impresa uguagliando i
propri ricavi marginali ai rispettivi costi marginali.
Dato che le imprese sono identiche, avrete
100 − 2𝑞 − (𝑁−1)𝑞 = 20
→ 𝑞 = 80/(𝑁+1)
→ 𝑃 = 100 − 𝑁/(𝑁+1)∗80
I profitti di ciascuna impresa devono essere nulli affinché nessuna
impresa abbia incentivo a lasciare o ad nel mercato.
𝜋 = 𝑃𝑞 − 𝐶 = [100−𝑁/(𝑁+1)∗80] ∗ 80/(𝑁+1) − [256+20∗80/(𝑁+1)] = 0
→ (𝑁+1)2 = 25
→𝑁=4
Perciò il numero di imprese di equilibrio di lungo periodo è 4.
Capitolo 8: Giochi statici e
concorrenza alla Cournot
40
Esercizi di Riepilogo
Risoluzione Esercizio 8 (segue)
b) Nell’equilibrio di lungo periodo, i profitti di ciascuna impresa sono pari
a zero e l’output è pari a 16; per questo motivo, l’output aggregato
dell’industria è 64, il prezzo è 36 e i profitti aggregati sono nulli.
Capitolo 8: Giochi statici e
concorrenza alla Cournot
41