Prof. Fabio Santagata
Geometria piana
Cenni
Angoli
Angoli
Angoli
Angoli
Angoli
Angoli
Angoli
Angoli
Angoli
Angoli
Angoli
Angoli
Triangoli
Triangoli
DEFINIZIONI SUI TRIANGOLI
Mediana:
si chiama mediana relativa ad un lato il segmento che
congiunge il punto medio del lato con il vertice opposto
Baricentro:
punto di intersezione delle mediane relative ai tre lati
Bisettrice:
si chiama bisettrice relativa ad un lato il segmento che
congiunge il lato con il vertice opposto sulla semiretta bisettrice
dell’angolo.
Incentro:
punto di intersezione delle tre bisettrici
Altezza:
si chiama altezza relativa ad un lato il segmento
perpendicolare ad esso e che lo congiunge il vertice opposto
Ortocentro:
punto di intersezione delle tre altezze
Triangoli
CONGRUENZA DEI TRIANGOLI
Triangoli
Triangoli
Triangoli
Triangoli
Triangoli
ESTENSIONE DEL TEOREMA DI PITAGORA
Validità del teorema di Pitagora per figure simili
Triangoli
ESTENSIONE DEL TEOREMA DI PITAGORA
Sui lati di un triangolo rettangolo costruiamo i relativi quadrati.
Dividiamo poi ogni quadrato a metà. L'area del rettangolo
sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei rettangoli sui
cateti? Sì perché si ha:
c2/2 = a2/2 + b2/2
e da questa relazione si passa a quella pitagorica moltiplicando
tutti i termini dell'uguaglianza per 2.
Se, invece di dimezzare, raddoppiamo le aree dei quadrati si
otterrà ancora che l'area del rettangolo sull'ipotenusa è uguale
alla somma delle aree dei rettangoli sui cateti? La risposta è
ancora sì perchè anche la relazione:
2c2 = 2a2 + 2b2
è equivalente a quella pitagorica. Infatti, da questa relazione si
passa a quella pitagorica dividendo tutti i termini dell'uguaglianza
per 2.
Triangoli
ESTENSIONE DEL TEOREMA DI PITAGORA
L'area del triangolo rettangolo isoscele costruito sull'ipotenusa è
uguale alla somma delle aree dei triangoli rettangoli isosceli
costruiti sui cateti? Sì perché si ha:
c2/2 = a2/2 + b2/2
e questa relazione è equivalente a quella pitagorica. Sappiamo,
dai criteri di similitudine, che tutti i triangoli rettangoli isosceli sono
simili perché hanno gli angoli corrispondenti uguali.
Questa osservazione ci fa intuire che se sui lati di un triangolo
rettangolo costruiamo dei triangoli simili, allora l'area del triangolo
costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei
triangoli costruiti sui cateti.
Triangoli
ESTENSIONE DEL TEOREMA DI PITAGORA
L'area del triangolo rettangolo isoscele costruito sull'ipotenusa è
uguale alla somma delle aree dei triangoli rettangoli isosceli
costruiti sui cateti? Sì perché si ha:
c2/2 = a2/2 + b2/2
e questa relazione è equivalente a quella pitagorica. Sappiamo,
dai criteri di similitudine, che tutti i triangoli rettangoli isosceli sono
simili perché hanno gli angoli corrispondenti uguali.
Questa osservazione ci fa intuire che se sui lati di un triangolo
rettangolo costruiamo dei triangoli simili, allora l'area del triangolo
costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei
triangoli costruiti sui cateti.
Triangoli
ESTENSIONE DEL TEOREMA DI PITAGORA
Se sui lati di un triangolo rettangolo costruiamo, invece dei
soliti quadrati, dei poligoni regolari con lo stesso numero di
lati, l'area del poligono regolare sull'ipotenusa è uguale alla
somma delle aree dei poligoni regolari sui cateti. Ad
esempio, se sui lati di un triangolo rettangolo costruiamo dei
triangoli equilateri, l'area del triangolo equilatero
sull'ipotenusa è equivalente alla somma delle aree dei
triangoli equilateri sui cateti?
ESEMPIO
L'area di ognuno di questi tre triangoli equilateri è:
La conclusione del nostro ragionamento è allora: in un
triangolo rettangolo l'area del triangolo equilatero costruito
sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei triangoli
equilateri costruiti sui cateti.
Triangoli
ESTENSIONE DEL TEOREMA DI PITAGORA
Cosa succede se sui lati di un triangolo rettangolo
costruiamo dei pentagoni regolari oppure degli esagoni
regolari oppure dei poligoni regolari con n lati? L'area del
poligono regolare è sempre direttamente proporzionale al
quadrato del lato e possiamo esprimerla con la formula
A = k · l2
dove k è un valore costante che dipende dal tipo di poligono
regolare.
Ecco ad esempio il valore di k per alcuni poligoni regolari:
Triangoli
ESTENSIONE DEL TEOREMA DI PITAGORA
Se sui lati di un triangolo rettangolo costruiamo dei poligoni regolari con
n lati e consideriamo l'uguaglianza tra le aree C = A + B avremo di nuovo
una relazione equivalente a quella pitagorica:
kc2 = ka2 + kb2
Si passa da questa relazione a quella pitagorica dividendo tutti i termini
dell'uguaglianza per k. A questo punto si intuisce che la relazione
pitagorica rappresenta un caso particolare dove il valore di k è uguale a
Possiamo quindi generalizzare il teorema di Pitagora a tutti i poligoni
regolari formulando l'enunciato in questo modo:
il poligono regolare di n lati costruito sull'ipotenusa di un triangolo
rettangolo è equivalente alla somma dei poligoni regolari di n lati
costruiti sui cateti.
Triangoli
ESTENSIONE DEL TEOREMA DI PITAGORA
In generale, nell’enunciato del teorema di Pitagora, i quadrati possono
essere sostituiti da altre figure, come ad esempio triangoli, esagoni, o
anche figure irregolari, purché simili tra loro.
Due figure sono simili quando segmenti che congiungono coppie di punti
corrispondenti sono nello stesso rapporto.
Le figure simili sono quelle che differiscono solo per grandezza, ma non
per forma. In altre parole, due figure simili sono l’una l’ingrandimento
dell’altra.
Triangoli
TERNE PITAGORICHE
Definizione di terna pitagorica.
Se tre numeri interi a, b e c verificano la relazione
a2 + b2 = c2
si dice che formano una terna pitagorica.
Ad esempio (3, 4, 5) e (5, 12, 13) sono due notissime
terne pitagoriche, mentre non lo è (1, 1, radq(2)) perché
l'ultimo numero non è intero.
Anche (6, 8, 10) è una terna pitagorica, ottenuta
raddoppiando i termini della (3, 4, 5).
Terne primitive e terne derivate.
Le terne come la (3, 4, 5) sono dette terne primitive e
quelle come la (6, 8, 10) sono dette derivate.
Infatti, se (a, b, c) è una terna pitagorica, lo è anche (ka,
kb, kc), con k numero intero positivo.
Come si distinguono le terne primitive da quelle
derivate?
Semplice: se a e b sono primi fra loro allora la terna è
primitiva, altrimenti è derivata.
Triangoli
TERNE PITAGORICHE
Ecco le prime
terne pitagoriche
Triangoli
TERNE PITAGORICHE
In tutte le terne pitagoriche:
- uno dei tre "lati" a, b, c è divisibile per 3 e un altro per 5
- il prodotto dei due "cateti" a*b è divisibile per 12
- il prodotto dei tre "lati" a*b*c è divisibile per 60
Nelle terne pitagoriche primitive:
- uno dei due "cateti" a oppure b è pari e l'altro dispari, mentre
l'"ipotenusa" c è sempre dispari
- a, b sono primi fra loro
Triangoli
TERNE PITAGORICHE
Esiste una formula che permette di trovare tutte le terne
pitagoriche primitive?
Utilizzando le seguenti formule si possono ottenere delle terne
pitagoriche:
a = m 2 - n2
b = 2mn
c = m 2 + n2
dove m, n sono numeri interi tali che m>n>0.
Le terne generate sono quindi del tipo:
m2 – n2 , 2mn , m2 + n2
Queste formule permettono di generare tutte le terne primitive e
anche alcune terne non primitive.
Ad esempio NON si può generare la terna 9, 12, 15, mentre si può
generare la terna 12, 16, 20 (m = 4, n = 2).
TRIGONOMETRIA
TEOREMA DEL COSENO (DI CARNOT)
TRIGONOMETRIA
Figure geometriche piane
Poligoni
• un poligono è una figura geometrica piana
delimitata da una linea spezzata chiusa. I
segmenti che compongono la spezzata chiusa si
dicono lati del poligono e i punti in comune a
due lati consecutivi si dicono vertici del poligono.
• La parola "poligono" deriva dal Greco πολύς
("molti") e γωνία (gōnia) ("angolo").
Quadrato
In geometria, il quadrato è un
quadrilatero regolare, cioè un
poligono con quattro lati uguali e
quattro angoli uguali (tutti retti).
Il quadrato è un caso particolare di
rettangolo (in quanto ha tutti e
quattro i lati uguali) e di rombo (in
quanto ha le due diagonali uguali
ovvero in quanto ha quattro angoli
uguali) quindi è un caso particolare di
parallelogramma (in quanto ha i lati a
due a due paralleli).
:
Le diagonali di un quadrato sono
uguali e perpendicolari, il loro
punto di intersezione le divide a
metà
Il perimetro di un quadrato, visto
che ha tutti i lati uguali, misura:
Lx4
L'area di un quadrato, visto che
l'altezza e la base sono uguali,
misura:
Rettangolo
In geometria il sostantivo rettangolo denota il quadrilatero con tutti gli angoli interni
congruenti (e quindi retti).
Da questa definizione segue che in un rettangolo ciascuna delle due coppie di lati
opposti è costituita da lati congruenti; in altre parole i rettangoli sono particolari
parallelogrammi.
Proprietà
-Gli angoli opposti sono congruenti e misurano 90°
- Le diagonali sono congruenti e si dimezzano scambievolmente
A=
Bxh
Formule inverse
h=
A
---b
B =A
---h
Parallelogramma
In geometria un parallelogramma è un quadrilatero contraddistinto da un centro di
simmetria. Da questo ne deriva che i lati opposti sono paralleli tra loro
Proprietà
•I lati opposti sono congruenti
•Gli angoli opposti sono congruenti
•Le diagonali non sono congruenti e si dimezzano scambievolmente
•L’area si calcola moltiplicando la base per l’altezza
Rombo
•
•
•
•
•
In geometria, un rombo è un quadrilatero con tutti i lati congruenti e
conseguentemente paralleli a due a due (è quindi un parallelogramma).
Le due diagonali sono perpendicolari fra loro e si intersecano nel loro punto medio.
Ciascuna diagonale divide il rombo in due triangoli isosceli.
L'altezza del rombo è la distanza tra due lati opposti del rombo.
Gli angoli opposti sono congruenti
Le diagonali sono disuguali e si dimezzano scambievolmente
A=
Dx d
2p = AB+BC+CD+DA
--------2
Formule inverse
D = 2x
A
-------2
d =2x A
-------2
Trapezio
•
In geometria un trapezio è un quadrilatero con due lati mutuamente
paralleli. Questi due lati sono necessariamente opposti e vengono chiamati
basi del trapezio; gli altri due lati vengono detti lati obliqui del trapezio; la
distanza fra i due lati paralleli, lunghezza di ogni segmento che collega le
basi o i loro prolungamenti, ed è loro ortogonale, si dice altezza del
trapezio. I trapezi sono di tre tipi:
•
TRAPEZIO ISOSCELE Si dice trapezio isoscele un trapezio per il quale i
due angoli adiacenti a una base sono congruenti; in questo caso sono
congruenti anche i due angoli corrispondenti all'altra base.
•
PROPRIETA’ DEL TRAPEZIO ISOSCELE
•
•
•
•
. gli angoli adiacenti a ciascuna delle basi sono congruenti;
. le diagonali sono congruenti;
. le due proiezioni dei lati obliqui sulla base maggiore sono congruenti ;
. le diagonali intersecandosi dividono il trapezio in quattro triangoli di cui
due isosceli e due congruenti tra di loro
Trapezio
• Trapezio:
• Proprietà:
• M è il punto di incontro delle diagonali
• AM:MC=BM:MD
• Angoli opposti
• a+d=180
• b+g=180
• TRAPEZIO RETTANGOLO Si dice trapezio rettangolo un
trapezio per il quale i due angoli adiacenti ad un lato obliquo sono
angoli congruenti e quindi retti.
• TRAPEZIO SCALENO lati, angoli e diagonali del trapezio non sono
congruenti
A
= (B+b) x h
---------2
Formule inverse:
B+b = A x 2
h= A x 2
-----------------h
B+b
Figure geometriche piane
Poligoni
•
•
•
•
•
•
•
•
Domanda 1: quante diagonali ha un poligono?
Risposta 1
Il numero d di diagonali di un poligono (di Jordan) di v vertici è:
d = v(v-1)/2 - v
ovvero:
d = v(v-3)/2
Domanda 2: quante diagonali ha un poliedro?
Risposta 2
Il numero d di diagonali di un poliedro (euleriano) di v vertici e s spigoli è:
d = v(v-1)/2 - s
Figure geometriche piane
• Parallelogrammi e trapezi
Il teorema di Pitagora si può enunciare anche in una forma un po’ diversa: La
somma dei quadrati della base e dell’altezza di un rettangolo è uguale al
quadrato della diagonale. Infatti la diagonale di un rettangolo è l’ipotenusa del
triangolo rettangolo che ha come cateti la base e l’altezza. Se poi prendiamo
ogni quadrato due volte, avremo che:
La somma dei quadrati dei lati di un rettangolo è uguale alla somma dei
quadrati delle diagonali.
Figure geometriche piane
• Parallelogrammi
Lo stesso risultato vale anche per un
parallelogramma non rettangolo.
In un parallelogramma la somma delle aree
dei quadrati delle diagonali è uguale alla
somma delle aree dei quadrati dei quattro lati.
Consideriamo il parallelogramma ABCD. Per il
teorema di Pitagora applicato al triangolo
rettangolo BED, il quadrato della diagonale BD è
uguale alla somma dei quadrati di ED e di BE,
colorati in verde e giallo. Analogamente, il
quadrato della diagonale AC è uguale al quadrato
rosso più quello multicolore. La somma delle aree
dei quadrati delle diagonali è allora uguale a
quella delle aree dei quattro quadrati disegnati
nella figura a fianco.
Figure geometriche piane
• Parallelogrammi
Questa figura è ottenuta dalla precedente
spostando alcuni pezzi senza cambiare l’area
complessiva, e quindi la somma delle aree dei
quattro quadrati della prima figura (che era
uguale alla somma dei quadrati delle diagonali) è
uguale a quella dei sei quadrati della seconda.
D’altra parte, sempre per il teorema di Pitagora, i
due quadrati verdi sono uguali al quadrato del
lato AB, e i due rossi al quadrato del lato AC, e
dunque la somma delle aree dei sei quadrati è
uguale a quella dei quadrati dei lati. Possiamo
allora concludere che:
In un parallelogramma la somma delle aree
dei quadrati delle diagonali è uguale alla
somma delle aree dei quadrati dei quattro lati.
Figure geometriche piane
• Trapezi
Un risultato simile vale anche per i trapezi:
La somma delle aree dei quadrati dei lati è
uguale alla somma delle aree dei quadrati
delle diagonali, più il quadrato della differenza
tra la base maggiore e la minore.
In questo caso la migliore dimostrazione è quella
per via algebrica. Riferendoci alla figura che
segue dobbiamo dimostrare che:
L2 + l2 + B2 + b2 = D2 + d2 + (B - b)2
Circonferenza e cerchio
Si definisce circonferenza il luogo geometrico dei
punti del piano equidistanti da un punto detto
centro della circonferenza
Si definisce cerchio la porzione di piano
racchiusa da una circonferenza
Si definisce raggio di una circonferenza in
segmento che unisce il centro con un qualsiasi
punto della circonferenza
Si definisce corda qualsiasi segmento che unisce
due punti della circonferenza
Si definisce diametro una corda che passa per il
centro della circonferenza
Circonferenza e cerchio
Il rapporto fra circonferenza e diametro è uno dei
numeri che più ricorrono e non solo in matematica
C
d
p
Circonferenza e cerchio
Arco di circonferenza
Prendiamo una circonferenza e mettiamo su di essa
due punti
Si definisce arco di circonferenza ciascuna delle
in cui la circonferenza risulta suddivisa dai due
punti
I punti B e C individuano l’arco c e l’arco d
Circonferenza e cerchio
Se degli estremi di un arco di circonferenza
traccio i due raggi si forma un angolo al
centro a
Tale angolo prende il nome di angolo al
centro
Si dice che l’arco AB sottende un angolo a
e l’angolo a è sotteso da un arco AB
Cosa succede se in una circonferenza
aumento l’ampiezza dell’arco?
Cosa succede all’angolo a?
Vediamo che esso aumenta e questo
aumento è proporzionale all’ampiezza
dell’arco
Calcolo della lunghezza dell’arco
• Se il valore il valore dell’angolo
al centro arriva a 360° il
corrispondente valore dell’arco
sarà l’intera circonferenza
c:360=l:a
• Questo valore sarà uguale a
rapporto di un arco e del
corrispondente angolo al centro
• Da cui ottengo il modo di
calcolarmi l
• Sapendo che c = p x 2r
C
l
=
a
360°
Cxa
l =
360°
l=
p x 2r x a
360°
Calcolo settore circolare
• Prendiamo un cerchio e un suo
arco BC
• Tracciamo i due raggi che
uniscono gli estremi dell’arco
con il centro
• Otteniamo cosi una porzione di
cerchio
• Si dice settore circolare la
porzione di cerchio racchiusa
da due raggi e un arco di
circonferenza.
Calcolo settore circolare
• L’area del settore circolare è
proporzionale al valore
dell’angolo al centro
• Se il valore il valore dell’angolo
al centro arriva a 360° il
corrispondente settore circolare
coinciderà con l’area del cerchio
As : a = Ac : 360
As Area settore
Ac Area Cerchio
Segmento circolare
• Consideriamo un cerchio ed una
sua corda a
• La corda divide il cerchio in due
parti
• Si definisce segmento circolare
ciascuna delle due parti
•
Si definisce segmento
circolare una porzione di
cerchio delimitata da una
corda
Segmento circolare
Asc = As - At
• Area segmento circolare =
Area settore – area triangolo
Corona circolare
• Si definisce corona circolare la
porzione di piano racchiusa fra
due circonferenze
• L’area della corona circolare si
ottiene sottraendo all’area del
cerchio maggiore quella del
cerchio minore
Acc =
2
pr2 –
pr1
2
Angoli al centro ed alla circonferenza
• Angoli al centro ed alla circonferenza
• Angoli che insistono sullo stesso
arco (con vertice nell’origine e Con vertice sulla
circonferenza)
• Teorema: tutti gli angoli alla
circonferenza che insistono sullo
stesso arco sono uguali.
• Teorema
In ogni circonferenza l'angolo al
centro e' doppio dell'angolo alla
circonferenza che insiste sullo
stesso arco
Geometria piana
Fine