Successioni
Definizione: si chiama successione reale ogni funzione
che abbia come dominio l’insieme N dei numeri naturali (o
un suo sottoinsieme illimitato) e come codominio un
insieme di numeri reali
f : D  N R,
La variabile indipendente viene indicata con n al posto di x
an nN



an 

an 
Limite di una successione
Nota bene: N ha come punto di accumulazione solo più infinito.
È quindi possibile calcolare il limite di una successione solo per
n tendente a più infinito
Lim an  l  R    0  n  N | n  n  an  l  
n  
n  
Lim an  
 M  0  n  N | n  n  an  M
 
Lim an  
 M  0  n  N | n  n  an  M
 
Lim an  
 M  0  n  N | n  n  an  M
n  
n  
 
Successione regolare convergente
Successione
  regolare divergente
Carattere di una successione
Una successione si dice regolare se è convergente o
divergente.
Una successione si dice irregolare se non esiste il
limite per n tendente a più infinito del suo termine
generale  Lim an  non esiste
n  
 n n 
 n n 
  Lim 1
 non esiste
1
an 
n  

n 1
n 1
la successione è irregolare

Successioni definite per ricorrenza
a0  2
a1  2 1  3 a2  31  4 a3  4 1  5.......
an  
an  an 1 1
a  1
 0 


1; 1; 2; 3; 5; 8; 13 ;21;......
an  a1  1

an  an 2  an 1 n  2 Successione di Fibonacci

Proprietà di una Successione
1; 1; 2; 3; 5; 4; 11 ; 13; 17, 27;......
Questa successione, da un certo punto in poi, è costituita
da termini tutti positivi e, da un altro punto in poi, è
costituita da termini che sono sempre più grandi:
definitivamente è una successione positiva;
definitivamente è una successione monotona crescente
 n / n  n  an  0  definitivamente positiva
 n / n  n  an  an 1  definitivamente monotona
crescente

 1 
Sia an  

n 1 
1
1
1
1
1

a0 
 1 a1 
a2 

11 2
0 1
2 1 3

1
an 
n 1
Lim 1  1  0
n   n 1



Tutti gli elementi del dominio sono punti isolati.



 1 n 
Sia an  1  
 n  
 1 3 64
a3  1  
 3  27

e
 11
 1 2 9
a1  1   2 a2  1  
 1
 2  4
 1 n
an  1 
 n 

 1 n
Lim 1   e
n  
n 


Sia
an  n!
a3  3! 3 2 1  6


a0  0! 1 a1 1!1 a2  2! 2 1  2
a4  4! 4 3 2 1  24
n! 
 n n 1 n  2 ..... 1

n!  n n 1!

Lim n!  

n  


Studiare il carattere della successione definita da:
3n 2  2n  1
an  3
n  2n 2  5n  1
3n 2  2n  1
3n 2
3

Lim 3

Lim

Lim

0
n n  2n 2  5n  1
n n 3
n n
La successione è regolare convergente a zero
Studiare il carattere della successione definita da:
n 2  2 n  5ln n
an 
2n 2  2n n  5
n 2  2 n  5ln n
n2
1
Lim
 Lim 2 
2
n 2n  2n n  5
n 2n
2
La successione è regolare convergente a 1/2
Studiare il carattere della successione definita da:
n!e n  n 5
Lim
n  
n n 1
È possibile definire una scala per l’ordine di infinito:
.....  n  n!  k
n
kn
 k n  n  (ln n)  ln ln n  .....
n!  e n  n 5
n!

Lim

Lim

0
n
n n n
nn  1
La successione è regolare convergente a 0

Limiti notevoli per una successione
Sia f n una successione convergente a zero per n 
cos f n  1
1
ln 1 f n
sin f n

Lim
 1 Lim
1 nLim
2


2
n  
n  
 f n 
f n
f n
1 f n  1
1\ f n 
1

 e Lim
Lim
 1 Lim 1 f n

n


n  
n  
f n 
f n 


 1 
1
1
1
ln 1 
1 1
sin
n
e
1
1


n
n
n
Lim
 1 Lim
Lim
 1 Lim


1

1
n


1
n  
1
n


1
n  
2

n
n
n
n
e

f n 

Studiare il carattere della successione definita da:
Lim n 1  n 
 1 
Lim n1   n 
n  
 n 
  1  
Lim n 

1  1


n  
  n  

  1   1

1  1

 

  n   2n
n  
1
n1/ 2
Lim n 
 Lim
0
n  
2n n   2n

La successione è regolare convergente a 0
Studiare il carattere della successione definita da:
n 2  5 n
an   2

n

3


n 2 5 
n ln 2 
n 3 
n 2  5 n
Lim  2
 1

n  n  3 
n 2 335 
n ln

2
 n 3 
n 2 38 
n ln 2

 n 3 

n 2 3
8 
n ln 2  2 
n 3 n 3 
e
e
e



8 
8
ln1 2
 2
 n  3  n  3




8 
8
8
n ln1 2 
n 2
 n 3 
Lim e
 Lim e n 3  Lim e n  e 0 1
e
n  
n  
e
n  
La successione è regolare convergente a 1


n 5
n ln 2 
n 2  5 n
n 3 
 2
  e
n  3 
2

8 
n ln1 2 
 n 3 
Studiare il carattere della successione definita da:
n 2 1
n 1
n 1
an  

 n 
n 2 1
n 1
n 1
Lim 

n   n 
n 1 n 11/ n
11/ n
 
 n
n 1
n 11/ n
11/ n
2
2

2
11/ n 2
n 11/ n
 1  
Lim 1  
n   
 n  
2

n 2 1
n 1
 1 
 Lim 1 
n  
n 
n 2 1
n 1
 1 
1 
 n 

11/ n 2
n 11/ n
 1  
 1  
 n  
 e1  e

La successione è regolare convergente a e
Studiare il carattere della successione definita da:
1
 1 


3
ne n 1ln 1 n 
ne n 1ln 1 n 3 




an 
Lim
 1  n   2
 1 
2
n  n log1 n 2 
n  n log1 n 2 
Applichiamo il criterio dell’asintotico
1 
n ln n 3 
ln n 3 
n 
Lim
 Lim
 


n  
1
n


1
n 2  n 2 
La successione
è regolare divergente a 

