Le misure della
diseguaglianza
Michele Raitano
Università di Roma “La Sapienza”
Le misure della diseguaglianza
Si cerca un indicatore sintetico I di ogni
y=(y1,y2…yn) che associ ad ogni distribuzione dei
redditi (equivalenti) il suo grado di concentrazione.

È possibile ricavare un ordinamento completo?

Solitamente I compreso [0,1].

La curva di Lorenz non è un indice sintetico,
mostra contemporaneamente dispersione e
asimmetria dei redditi.

Tre approcci per determinare un indice:
1. Statistico.
2. Assiomatico.
3. Normativo (basato su FBS).
Ogni indice ha implicite connotazioni etico-normative!

2
Gli indici di diseguaglianza:
gli assiomi (1)
Si definiscono degli assiomi (+ o -) desiderabili e si
verifica quali indici li rispettano
1. Anonimità (simmetria): robustezza rispetto alle
permutazioni dei redditi. I(2,4,8)=I(4,8,2).
2. Indipendenza dalla media: l’indice non dipende
dalla scala, deve valutare solo le differenze relative
fra redditi , non quelle assolute. I(x)=I(kx).
Omogeneità di grado 0 nei redditi.
I(3,7,20)=I(30,70,200).
3. Indipendenza dalla popolazione: la replicazione di
ogni individuo non muta l’indice
I(2,6,9)=I(2,2,6,6,9,9). La visione è solo un
concetto relativo? Ma se moltiplico il numero dei
molto poveri e dei molto ricchi siamo sicuri sia
desiderabile?
3
Gli indici di diseguaglianza:
gli assiomi (2)
4)
5)
6)
Principio del trasferimento (Pigou-Dalton): un
trasferimento progressivo (da R a P) che non ne modifichi
l’ordinamento riduce I.
Principio del trasferimento decrescente: I deve ridursi di
più quanto minore è Y del beneficiario. Dato un
trasferimento di K=30, partendo da x=(200,900,1000) e
z=(230,900,970) e y=(200,930,970) deve valere
I(z)<I(y).
Scomponibilità per gruppi: diseguaglianza “within e
between”. L’indice è “esattamente” scomponibile in un
valore dato dalla somma ponderata dei valori che assume
in ogni sottogruppo e in uno che indica la ineq fra gruppi
(pesi α dati da quote popolazione e/o reddito).
I=∑αgIg + IB = IW + IB
Quanto ineq dipende dalla differenza fra medie o dalla
ineq all’interno di ciascun gruppo (ineq italiana fra
regioni)?
Subgroup consistency se riducendo una delle 2
componenti I si riduce di sicuro.
4
I principali indici di diseguaglianza
a)
b)
c)
La varianza: scomponibile, ma non
2
è indipendente dalla media (dipende


y


i i
dall’unità di misura). I si modifica di
2
 
K2 e non rispetta il “trasferimento
n
decrescente”.
Il coefficiente di variazione: non
rispetta il “trasferimento
2
decrescente”. Ma indipendente da
c
unità di misura.
La varianza dei logaritmi: non
rispetta sempre Pigou-Dalton (Y
soggetti alla redistribuzione devono
essere in particolare relazione con
μg).Ma utile quando Y è espresso in
ln (ad esempio salari quando si
studia r di HK).


5
La curva di Lorenz come
indice di diseguaglianza











Non è un indice sintetico! Ma relazione che lega quote cumulate di P
con quote cumulate di Y.
Riferimento con la retta di equi-ripartizione.
Curva con inclinazione positiva e crescente (convessità dato che P è
ordinata per Y crescenti: il contributo marginale a ineq di ogni unità
successiva è crescente).
Area fra retta e curva indica grado di concentrazione. La forma
l’asimmetria.
Rispetta gli assiomi 1-3 (è una curva “relativa” con valori espressi in
%).
Rispetta P-D (la curva si alza per trasferimenti progressivi).
Ordinamento completo solo per curve “Lorenz dominate”. In ogni
percentile la quota di Y è maggiore/minore. I(10,10,30)<I(5,10,35).
Se le curve si intersecano, ordinamento incompleto: I(10,10,30) e
I(5,20,25)???
Incompletezza legata a considerazione congiunta di asimmetria e
concentrazione mentre I rilevano solo concentrazione.
Ma l’incompletezza è cruciale dal punto di vista concettuale: chiarisce
che gli I hanno impliciti giudizi di valore!
Ineq è un fenomeno sfaccettato, ogni indicatore sintetico ne evidenzia
solo una parte!
6
L’indice di Gini








L’indice di distribuzione più utilizzato.
Compreso fra 0 ed 1 (nel continuo; max=(N-1)/N) e con
ordinamento completo.
Interpretazione in termini geometrici. Rapporto fra aree
sottese dalla curva di Lorenz.
Molteplici formulazioni analitiche.
Ma indice non scomponibile.
Basato su graduatoria e non su livelli di reddito: non
rispetta trasferimento decrescente.
La variazione di G dipende infatti dalle differenze di rango
e non dalle differenze di reddito. A parità di Y trasferito
molto sensibile a trasferimenti intorno alla moda
(contano distanze in senso ordinale più che assolute).
Come tutti gli indici non fornisce informazioni
sull’asimmetria della distribuzione (diversi G possono
essere attribuiti a Lorenz che si incrociano).
7
Le formulazioni del Gini
A
in termini grafici dalla curva di Lorenz;
A B
1.
G
2.
G  1
3.
G
1
2
 2
N
N 
 y
i
i
  N  1  i  y 
i
i
 yj
j
2N 2 
media delle differenze assolute di tutte le coppie di reddito divise per la Y media
4.
G
2
N 2
  y    
i
i
2Cov y, F  y 
5.
G
6.
dG  

2
R  P dy
N 2
8
Gli indici di entropia
E
1

 2 
 1


N
 yi 


  

i




 1


Dipendono dal valore di α;
a.
E0=L=(1/N)∑ln(μ/yi) deviazione logaritmica media.
b.
E1=T=(1/N)(yi/μ)∑ln(yi/μ) indice di Theil.
c.
E2=(CV)2/2 metà del quadrato del coefficiente di variazione.
Theil pesa lo scarto logaritmico fra yi e media con l’importanza relativa del
singolo reddito, L solo con la frequenze relativa.
L rispetta PD e principio del trasferimento decrescente.
Tutti gli indici di entropia sono scomponibili; mediante essi possiamo
calcolare con esattezza il peso delle componenti W e B su ineq
complessiva.
Fondamentali per valutare le determinanti dell’incremento di ineq in una
nazione.
Tutti E sono scomponibili, ma solo per L e T La W è una media ponderata
delle ineq interne fra gruppi, la B è la media ponderata delle distanze fra
i redditi medi dei vari gruppi.
In L il peso di G è solo la quota di popolazione, in T conta come peso anche
il
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reddito relativo dei gruppi.
… ancora indici …






I rapporti inter-decilici: focus su diversi punti della
distribuzione P90/P10, P90/P50, P50/P10, P75/P25..
La molteplicità di indicatori: sono possibili graduatorie
dipendenti dall’indice usato?
Tutti gli indici che soddisfano simmetria, indipendenza
da media e popolazione e Pigou-Dalton sono coerenti
col principio di dominanza di Lorenz: quindi unicità
dell’ordinamento per distribuzioni “Lorenz dominate”.
Se c’è dominanza il ranking non muta mai sulla base
degli indici che soddisfano questi assiomi; risultato di
robustezza!
L’intersezione di Lorenz è proprio un segnale
dell’ambiguità dell’uso di indici alternativi.
La definizione dei pesi nella definizione di indicatori
multidimensionali.
10
Aspetti dinamici della diseguaglianza


a)
b)
Finora abbiamo valutato indici utili per
l’analisi cross-section (o utilizzabili su
medie pluriennali).
L’accettabilità sociale di una data
diseguaglianza statica può essere legata a
situazioni di:
mobilità intragenerazionale, quanto e come
variano i redditi individuali nel corso della
vita;
di mobilità intergenerazionale, in quale
misura la posizione nella distribuzione dei
redditi si trasmette di genitore in figlio
(eguaglianza delle opportunità).
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La mobilità intragenerazionale


Servono dati panel.
Possibili indici:
a)
Il coefficiente di correlazione fra yi in periodi successivi.
b)
Indice di Shorrocks (R), basato sull’idea che se c’è mobilità l’indice di
diseguaglianza pluriennale è minore di quello annuale.
Indice di rigidità 0<=R<=1, o di mobilità (1-R), di quanto si riduce ineq
nel passaggio da reddito annuo a media pluriennale.
c)
Indice di Shorrocks (M), basato sulla matrice di transizione fra periodo
iniziale e finale (probabilità di cambiare percentile). Posizione rispetto
alla diagonale principale (mobilità ascendente e discendente). Mobilità
minore quante più persone non cambiano decile (sono sulla diagonale
principale).
0<=M<=1 con M=1 nel caso di massima mobilità (e viceversa).
d)
Indice di Fields, Ok: media delle variazioni % dei redditi (in v. assoluto)
fra due periodi di tempo. C’è più mobilità quanto più sono diversi i
redditi, ma non distingue fra variazioni in aumento o diminuzione.
In generale, l’osservazione delle matrici è cruciale e permette di
concentrarci su molteplici aspetti (al di là di indici sintetici).
In realtà sembra che la diseguaglianza cross-section sia persistenti. I paesi
più diseguali lo sono anche in una prospettiva multi-periodale.
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Le formulazioni degli
indici di mobilità
R
I Y 
t
  I Yt 
Ovvero rapporto fra diseguaglianza multi-periodale e media ponderata della diseguaglianza annua
M
N  tr
N 1
N è il numero di partizioni (10 per decili). Se c’è massima mobilità la traccia è pari ad 1 e M=1, se
nulla la traccia è pari ad N e M=0.
FO 
1
ln yi ,t 1  ln yi ,t

N
13
Una matrice di mobilità
Matrici di transizione per quintile, redditi da lavoro, 2004-2006
2006
2004
Quintile
2° quintile
più povero
Quintile
4° quintile
intermedio
Quintile
Totale
più ricco
quintile più povero
57,94
20,64
11,1
3,84
6,48
100
2° quintile
14,28
40,44
24,26
14,87
6,15
100
quintile intermedio
8,55
23,43
39,52
19,32
9,19
100
4° quintile
4,37
11,62
30,3
33,52
20,19
100
quintile più ricco
4,17
4,24
8,64
21,41
61,54
100
Totale
15,81
18,72
22,65
20,24
22,58
100
Fonte: Indagine Banca d’Italia, SHIW
14
La misurazione delle diseguaglianze
intergenerazionali
L’approccio sociologico:
 La definizione delle classi occupazionali.
 Le matrici di transizione: mobilità assoluta e
fluidità sociale.
L’approccio economico:
 La stima della relazione loglineare e l’elasticità
ß: il grado di persistenza media.
 L’analisi della transizione per quintili: la
variazione della mobilità lungo la distribuzione.
 Ma la disponibilità di panel adeguati complica le
stime.
 La procedura di stima “a due campioni”.
15
La misurazione dell’elasticità
intergenerazionale






Collegamento fra condizioni dei genitori e figli.
Necessità di datasets adeguati, retrospettivi o con
panel lunghi.
Variabili di osservazione: classi sociali, istruzione o
reddito.
Serve la correlazione con il reddito permanente: in
quale fascia d’età lo rilevo? Quanto a lungo? Che tipo
di reddito osservo? Correlazioni solo padri/figli?
Le stime sono molto sensibili alle risposte: esiste
“l’eccezionalismo americano”?
Indicatore standard il coefficiente β, ovvero l’elasticità
intergenerazionale del reddito. β =0, indipendenza, β
=1, totale immobilità.
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Elasticità e coefficiente di
correlazione intergenerazionale
ln YF     ln YP  u
P

F
Il coefficiente di correlazione fra il reddito di
genitori e figli corregge per l’impatto sulla
variazione della diseguaglianza cross
section fra le 2 generazioni successive.
Da quali determinanti sono influenzati
questi indicatori sintetici?
I risultati delle stime di ß
Fig. 5: Elasticità intergenerazionali dei redditi stimate per alcuni paesi.
Fonte: elaborazioni da Corak (2006), Piraino (2007) e Mocetti (2007b)
0.69
0.7
0.6
0.5
0.50
0.51
Regno Unito
Italia
0.47
0.41
0.4
0.32
0.3
0.27
0.2
0.15
0.18
0.19
Finlandia
Canada
0.17
0.1
0.0
Danimarca
Norvegia
Svezia
Germania
Francia
Stati Uniti
Brasile
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La mobilità nei diversi quintili
Tab. 5: Probabilità per un figlio maschio di essere nello stesso quintile di reddito del genitore
1° Quintile
2° Quintile
3° Quintile
4° Quintile
5° Quintile
Fonte: Jannti et al. 2006
Danimarca
0,247
0,249
0,224
0,223
0,363
Finlandia
0,278
0,216
0,219
0,229
0,347
Norvegia
0,282
0,238
0,215
0,221
0,354
Svezia
0,262
0,225
0,223
0,217
0,374
Regno Unito
0,297
0,228
0,188
0,247
0,346
Stati Uniti
0,422
0,283
0,256
0,252
0,36
Tab. 6: Probabilità per un figlio maschio di muoversi fra quintili estremi rispetto alla posizione del padre
Dal primo al quinto
Dal quinto al primo
Fonte: Jannti et al. 2006
Danimarca
0,144
0,153
Finlandia
0,113
0,151
Norvegia
0,119
0,146
Svezia
0,109
0,159
Regno Unito
0,124
0,091
Stati Uniti
0,079
0,095
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