Diseguaglianza e benessere
sociale
Michele Raitano
Università di Roma “La Sapienza”
FBS e avversione alla
diseguaglianza



Inserire lo studio degli indici di diseguaglianza
all’interno della teoria normativa dell’economia
del benessere.
I(y)>I(x) implica anche un giudizio di valore a
favore di x, sulla sua maggiore desiderabilità =>
in ogni misura c’è sempre un punto di vista etico
che andrebbe esplicitato.
Oltre che stabilire un nesso fra indici e assiomi si
può derivare direttamente una misura da una
FBS => anziché cercare giudizi etici impliciti in
un indice, rovesciare l’ottica partendo da giudizi
normativi.
2
Le caratteristiche della FBS (1)

𝑊=

La variazione di W al variare della distribuzione è dunque
𝑑𝑊 =

𝑁
𝑖=1 𝑈(𝑦𝑖 )
con 𝑈(𝑦𝑖 ) valutazione sociale attribuita al reddito di i.
𝑁 𝜕𝑈 (𝑦 𝑖 )
𝑑𝑦𝑖
𝑖=1 𝜕𝑦
𝑖
Il peso attribuito alla variazione dei redditi individuali è la valutazione
marginale sociale => di quanto varia il benessere sociale al variare di
un’unità di yi.

Le ipotesi sulla FBS sono:
 Additivamente separabile in yi;
 Crescente in yi (derivata prima positiva);
 Simmetrica nei redditi individuali: U( ) è la stessa per tutti.
 Strettamente concava (derivata seconda negativa) => il
social
weight è positivo ma si riduce al crescere di yi => la società ha una
preferenza per l’eguaglianza. Non vale quindi la funzione utilitarista in
cui U(yi)= yi con avversione alla diseguaglianza nulla.
3
Le caratteristiche della FBS (2)
Trasposizione del principio di Pigou-Dalton in ambito
normativo.
Il grado di concavità misura l’avversione alla
diseguaglianza di una società => effetto di una
redistribuzione: e.g. U=√y o U=ln(y).
Rappresentabile graficamente mediante curve di
indifferenza sociali (insieme dei punti che
producono lo stesso W), a partire dai casi estremi
di Rawls (convessità estrema) e utilitarista
(lineare a 45°).
Curve convesse verso l’origine e simmetriche
rispetto alla bisettrice.
4
Il teorema di Atkinson
 Primo collegamento fra diseguaglianza e approccio
benesseristico:
Date due distribuzioni x e y e i livelli di benessere sociale Wx e Wy
con W additivamente separabile, non decrescente e strettamente
concava e con µx=µy e Nx=Ny, allora Wx>Wy se e solo se x domina y
secondo Lorenz.
 Legame
fra
misura
della
ineq
e
valutazione
del
benessere
sociale di una distribuzione => se c’è dominanza a parità di y
medio, non solo in x c’è meno ineq, ma ci sarà anche maggior
W (per le FBS con le proprietà viste).
 Data
equivalenza
rispettano
i primi
fra
4
dominanza
assiomi
=>
di
date
Lorenz
due
e
indici
distribuzioni
che
con
uguale media, quella con maggior W avrà anche la minore ineq
(su una batteria di indici).
5
I limiti del teorema di Atkinson




Per N diverse si esprime W in termini procapite
=> W/N
Limite del teorema di Atkinson => come
estendere il confronto a distribuzioni con µ
diverse?
Come confrontare il benessere di x=(4, 5, 6) e
y=(5, 10, 15)?
Atkinson dà contenuto normativo a Lorenz solo
se la curva dominante ha µ maggiore o uguale
alla dominata. Ma come confrontare paesi ad
alto reddito e alta ineq con paesi a basso
reddito e ineq?
6
La curva di Lorenz generalizzata (1)



Si ordinano le distribuzioni mediante ineq e reddito medio,
tramite la curva di Lorenz generalizzata, ottenuta
moltiplicando le ordinate per µ => sulle ordinate c’è
l’ammontare cumulato di reddito espresso pro capite.
Teorema di Shorrocks: date 2 curve di Lorenz
generalizzate, la dominante è preferibile per tutte le FBS
W/N simmetriche, non decrescenti e avverse a ineq (n.b.
anche non additive).
Dominanza stocastica del secondo ordine: se GL(x)>GL(y)
=> W(x)>W(y) per tutte le FBS.
𝑛 𝜇
;
𝑁
𝑛
𝑖=1 𝑦(𝑖)
𝑛𝑁
𝑖=1 𝑦𝑖
𝑛 𝜇 𝑛𝑖=1 𝑦(𝑖) 𝑛 𝑛𝑖=1 𝑦(𝑖)
= ;
= ;
𝑁 𝜇𝑁
𝑁 𝑁
7
I limiti del teorema di Shorrocks





GL dà ordinamento di benessere non di ineq (si basa
anche su efficienza).
Dominanza stocastica del primo ordine se la densità
cumulata è sempre inferiore per ogni y => maggior W
per ogni FBS simmetrica e crescente in y (anche non
concave).
La GL riduce l’incompletezza dell’ordinamento, ma
anche 2 GL possono incrociarsi => si possono fare
ipotesi più stringenti su FBS, ma (al pari degli indici)
questo implica scegliere un preciso giudizio di valore.
Strada alternativa è allora direttamente ricavare degli
indici di ineq dalla FBS.
Impossibilità di ricavare indici scevri da giudizi di
valore.
8
L’idea alla base dell’indice di
Atkinson
 L’indice di Atkinson si sviluppa a partire da
𝑊 =
𝑁
𝑖 =1
𝑈 𝑦𝑖 .
 Dalle curve di indifferenza sociale si vede
come equidistribuzione porterebbe a un W
maggiore => si potrebbe considerare come
indice 𝐼 =
(𝑊2−𝑊0)
a
della
causa
𝑊2
massimo
W2
=> di quanto si riduce W
diseguaglianza,
raggiungibile
rispetto
dato
il
al
Pil
nazionale.
 Ma si otterrebbero indici diversi a seconda
della U( ) prescelta.
 Atkinson
cerca
di
determinare
un
unico
indice benesserista per ogni distribuzione.
9
L’indice di Atkinson

I come differenza non fra W effettiva e massima, ma fra y
medio effettivo e y equivalente equamente distribuito.

ye livello y che posseduto da ogni soggetto darebbe lo
stesso W della distribuzione effettiva y.
𝑊 =

𝑈 𝑦𝑖
= 𝑁𝑈(𝑦𝑒 )
Quanto più la U( ) è concava (i.e. maggiore avversione a
ineq)
minore
è
ye =>
si
è
disposti
a
rinunciare
a
y
maggiore in cambio dell’equidistribuzione.
𝜇 − 𝑦𝑒
𝑦𝑒
𝐴𝜀 =
=1−
𝜇
𝜇

Indice di Atkinson come quota di Pil a cui si è disposti a
rinunciare per eliminare la diseguaglianza.

Se 𝐴𝜀 = 0.3 => W non cambia se Pil si riduce del 30% e la
restante parte viene equidistribuita.
10
La definizione dell’indice
di Atkinson
 Serve un indice relativo (indipendente dalla media) => serve
una specifica U( )
𝑦𝑖1−𝜀
𝑈(𝑦𝑖 ) = 𝑎 + 𝑏
; 𝜀 ≥ 0; 𝜀 ≠ 1
1−𝜀
𝑈 𝑦𝑖 = 𝑎 + 𝑏ln 𝑦𝑖 ; 𝜀 = 1
 Funzione concava (U’>0 e U’’<0) con grado di concavità
funzione crescente di ε => 𝑈 ′ = 𝑏𝑦𝑖−𝜀
 ε basso tende a funzione lineare (benthamiana), ε alto a Rawls
 FBS
di
Atkinson,
additiva,
non
decrescente,
concava,
simmetrica e con elasticità costante di U’ ad y => avversione
relativa alla diseguaglianza costante e pari ad ε.
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Il parametro di avversione
alla diseguaglianza
 Ad ↑ y ↓ U’ perché c’è avversione ad ineq e la ↓% di U’ è costante,
indipendentemente da y.
𝐸𝑈 ′,𝑦
𝜕𝑈′ 𝑦
=−
=𝜀
𝜕𝑦 𝑈′
 L’utilità marginale sociale è decrescente con elasticità costante. Se 2
coppie di reddito variano del 10% il welfare weight varia sempre di ε.
 Maggiore è ε, maggiore è la riduzione % del welfare weight => ε è il
parametro di avversione a ineq, costante lungo la distribuzione Y.
 La curvatura delle curve di indifferenza dipende solo da ε e non dalla
misura dei redditi.
12
Il reddito equivalente
equamente distribuito

Sostituendo la U( ) =>
𝑈(𝑦𝑖 ) = 𝑁𝑈(𝑦𝑒 ) → 𝑦𝑒 =
1
𝑁
𝑦𝑖1−𝜀

Sostituendo ye => 𝐴𝜀 = 1 −

Con
0 ≤ 𝐴𝜀 ≤ 1 −
𝑦1
𝜇
1
1
1
𝜇
𝑁
1−𝜀
𝑦𝑖1−𝜀
1
1−𝜀
per 0 ≤ 𝜀 ≤ ∞ ed y1 reddito del più povero =>
0 ≤ 𝐴𝜀 ≤ 1

𝐴𝜀 dipende dalla curvatura della curva di indifferenza.

𝐴𝜀
valuta
ineq
in termini
del
guadagno
di
benessere
che
deriverebbe da una distribuzione egualitaria => esprime la
frazione di Pil a cui si rinuncerebbe senza ↓ W se la parte
rimanente
fosse
equidistribuita
=>
è
un
indicatore
di
inefficienza distributiva, misura la perdita di benessere indotta
dalla diseguaglianza.

Ma chi decide ε? Qual è il trade off fra efficienza ed equità?
13