Equazioni Indefinite di equilibrio per le Travi
Esistono delle relazioni differenziali che devono essere soddisfatte,
sezione per sezione, in una struttura in condizioni di equilibrio. Come è
noto in una generica sezione, le caratteristiche di sollecitazione sono una
azione assiale, un momento flettente ed un taglio.
q
F
x
O
HB
p
y
VA
VB
Consideriamo per la trave assegnata un concio di trave contenuto tra le
sezioni alle ascisse x e x + dx, di lunghezza dx. Sia q l’intensità di un
carico distribuito ortogonale alla linea d’asse e p l’intensità di un carico
distribuito applicato lungo l’asse della trave. I carichi q e p siano
continue nel tratto considerato.
Nell’estrarre il concio elementare si sono evidentemente effettuati due
tagli alle ascisse x e x + dx, per cui il sistema di forze agenti sul concio è
costituito dai carichi distribuiti q e p e dalle azioni interne sulle sezioni
dove sono stati effettuati i tagli.
Scriviamo le equazioni di equilibrio alla traslazione orizzontale e
verticale ed alla rotazione intorno al baricentro della sezione di ascissa
x+dx. I carichi q e p possono essere considerati nel tratto infinitesimo
dx costanti.
Equilibrio alla traslazione orizzontale:
Equilibrio alla traslazione verticale:
-N + (N+dN) + p dx = 0 ;
T –(T+dT) - q dx = 0 ;
-M + M+dM –Tdx + qdx2/2 = 0.
Equilibrio alla rotazione :
Semplificando e trascurando nell’equilibrio alla rotazione gli infinitesimi
q
M T
N
y
M+dM
p
dx
N+dN
T+dT
di ordine superiore, si ricavano le equazioni indefinite di equilibrio:
dN
 - p;
dz
dT
 - q;
dz
dM
 T.
dz
Le relazioni precedenti sono le equazioni indefinite di equilibrio interno
per la trave. Esse sono valide in tutti i punti in cui le funzioni q e p sono
continue e vanno combinate con opportune condizioni al contorno per
determinare le funzioni incognite N, T e M.
Si nota che nei tratti in cui il carico q è nullo, l’azione tagliante è costante
ed il momento flettente è lineare, mentre quando q è costante il taglio
lungo la linea d’asse è lineare ed il momento flettente è una funzione
quadratica, ovvero una parabola.
Osservazione 1: Nelle sezioni in cui l’azione di taglio si annulla, il
momento flettente risulta massimo (derivata prima nulla, derivata seconda
negativa) o minimo (derivata prima nulla, derivata seconda positiva).
Osservazione 2: Nelle sezioni in cui l’azione tagliante è diversa da zero
(T≠0), esiste sempre il momento flettente (può annullarsi in qualche
sezione ma non in un tratto finito).
Un carico trasversale o la componente ortogonale all’asse della trave di
un carico concentrato P produce, oltre ad una discontinuità nel
diagramma del taglio, un punto angoloso nel diagramma del momento
flettente.
Azione tagliante
O
P
A
Momento flettente
Esempio: Coppia concentrata su una trave appoggiata.
M
M/L
Azione tagliante
Momento flettente
M/L
A
M/L
M
Una coppia concentrata M causa una discontinuità nel diagramma del
momento flettente ma non dell’azione tagliante.