Sistemi con ritardo finito
Un sistema con ritardo finito ha f.d.t. del tipo:
N ( S )  S
G(S ) 
e
D( S )
Applicando a tale sistema un ingresso all’istante
t=0, la risposta inizierà all’istante t=τ
La forma della riposta sarà determinata da poli,
zeri e guadagno del sistema
esempio
Si consideri il serbatoio inizialmente vuoto, se
τ è il tempo necessario perché il livello
dell’acqua raggiunga quello del foro d’uscita,
y (t )  u (t   )
si ha
trasformando si ottiene Y ( s)  e sU ( s)
da cui segue G ( s )  e  s
Sviluppo in serie di Padè
• Il ritardo finito può essere approssimato da una funzione
razionale fratta del tipo:
bp s  bp1s
p
s
e 
p 1
 .......  b0
aq s q  aq1s q1  ......  a0
bk 
( p  q  k )! p!
(1) k
( p  q)! k!( p  k )!
k  0,......, p
ak 
( p  q  k )! q!
( p  q)! k!(q  k )!
k  0,......, q
i sistemi che si ottengono utilizzando l’approssimazione di Padè
non sono mai sistemi a fase minima, infatti essi hanno sempre zeri
a parte reale positiva
p  q 1
1  s2
G( S ) 
1  s2
pq2
1 
G( s) 
1  s2 
s
2
( s ) 2
12
( s )2
12
Risposta in frequenza:esempio
velocità del nastro v=1m/sec
lunghezza q=2m
il modello ingresso/uscita è :
y (t )  u (t  2)
per cui si ha:
Y ( s)  e2 sU ( s)  G( s)  e2 s
da cui è possibile ricavare la funzione di risposta armonica
G( j )  e 2 j
da cui:
 G ( j )  1

 ( )  2
Ritardo finito
Approssimante di secondo ordine
L’approssimazione di Padè è poco accurata nello studio in frequenza
Esempio in matlab
>> g=0.05/(1+0.2*s)
Transfer function:
0.05
--------0.2 s + 1
>> g.inputdelay=0.3
Transfer function:
0.05
exp(-0.3*s) * --------0.2 s + 1
>> step(g)
Diagramma polare