UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI PARMA
FACOLTA’ DI ECONOMIA
Corso di Corporate Banking
a.a. 2009-2010
(Professor Eugenio Pavarani)
Evoluzione della teoria del rischio finanziario
da Markowitz al teorema della separazione e al CAPM
1
Le curve di indifferenza sulla
frontiera di Markowitz
• Markowitz ha mostrato l’esistenza della Frontiera Efficiente
• Ma quale portafoglio sulla Frontiera è preferibile?
• Dipende dall’avversione/propensione al rischio dell’investitore (la
scelta è soggettiva, sulla base delle proprie curve di indifferenza)
Spazio
oltre-frontiera
Portafogli
oggettivamente
dominanti
E (R)

Y

X
Portafogli
dominati

2
Evoluzione della teoria del rischio finanziario
Indice
• La Capital Market Theory di Markowitz
• Il Teorema della separazione di Tobin e la Capital
Market Line
• Il Capital Asset Pricing Model (CAPM)
– Il rischio sistematico e il rischio diversificabile
– L’intuizione di Sharpe e la Security Market Line
3
Investimento al tasso privo di rischio
• Markowitz ha ragionato solo su titoli e portafogli rischiosi
• Tobin ipotizza ora l’esistenza di titoli caratterizzati da
rischio nullo ( = 0) che garantiscono quindi un rendimento
sicuro. Questo tasso è il Risk Free Rate (Rf).
• E’ ora possibile costruire ulteriori portafogli combinando quelli
sulla frontiera efficiente (es. portafoglio A) con titoli privi di
rischio (es. titolo B)
²p = a²∙²A+b²∙²B+2∙a∙b∙A∙B∙AB
²p = a²∙²A
a = p / A
E(Rp) = p / A ∙ E(RA) + (1- p / A ) ∙ Rf
E(Rp) = Rf + [E(RA) – Rf] ∙ p/ A
La frontiera efficiente è ora una spezzata costituita da
portafogli con minor rischio a parità di rendimento
4
Il teorema della separazione di Tobin
La nuova frontiera efficiente è una spezzata
E (Rp)


A’’
x’
Rf




y
A’
x
A
E(Rp) = Rf + [E(RA) – Rf] ∙ p
A
p
5
Il teorema della separazione di Tobin
La nuova frontiera efficiente è una spezzata
E (Rp)

E (RA)

A’’
x’
1^ ipotesi:
p = 0
Rf
y
3^ ipotesi:
0 < p < A

2^ ipotesi:
p = a * A
p = A
E(Rp) = Rf + [E(RA) – Rf] ∙ p
A
p
p /A= a
6
Indebitamento al tasso privo di rischio
• Abbiamo ipotizzato la possibilità di investire al tasso
privo di rischio
• Si ipotizza ora la possibilità di indebitarsi al tasso privo di
rischio
• Un investitore propenso al rischio può indebitarsi al tasso
Risk Free, e investire al rendimento offerto dal portafoglio
di mercato
(= effetto di leva finanziaria  maggior rendimento e maggior rischio)
• Tale possibilità sposta ulteriormente la frontiera efficiente
che diventa una semiretta
7
La nuova frontiera efficiente: una semiretta
E(Rx) = (50 * 0,20) + (50 * 0,10) = 15%
pA = 50% * A
y’
E (R)



y
A
x’

Rf

E(RA) = 100 * 0,20 = 20%
pA = 100% * A

E(Ry) = (200 * 0,20) – (100 * 0,10) = 30%
py = 200% * A
8
La Capital Market Line
R(p) = Rf +
E (R)
R(m) - Rf
(m)

(p)
CML
Pendenza CML
R(m)
Rf

m
Rf = Risk Free Rate
R(m)= rendimento atteso
del portafoglio di mercato

(m)
p
(m)= sqm del portafoglio
di mercato
9
Il portafoglio di mercato
• Il portafoglio m, detto Portafoglio di Mercato, è
oggettivamente il migliore portafoglio di soli titoli rischiosi
e domina qualsiasi altro portafoglio di soli titoli rischiosi.
• La semiretta che congiunge Rf e il portafoglio di mercato
costitituisce la nuova frontiera efficiente ed è detta Capital
Market Line (CML).
• Ogni portafoglio presente sulla frontiera efficiente è formato
da una quota del titolo privo di rischio e da una quota del
portafoglio di mercato.
• La scelta del portafoglio rischioso è oggettiva: non
dipende dalla propensione al rischio dell’investitore.
• La quota di portafoglio rischioso da detenere è
soggettiva: dipende dalla propensione al rischio del singolo
investitore.
i due momenti decisionali sono “separati”
10
Il prezzo di mercato del rischio
• La pendenza della CML è il prezzo di mercato del
rischio
• esprime il premio di rendimento pagato dal mercato per
ogni unità di rischio aggiuntiva
• il rendimento di un portafoglio efficiente è determinato
dall’equazione della CML
R(p) = Rf +
R(m) - Rf
(m)

(p)
11
Il teorema della separazione di Tobin
• L’introduzione del tasso privo di rischio e la nuova frontiera
efficiente (CML) separano:
– l’individuazione del portafoglio rischioso ottimo: è una scelta
oggettiva indipendente dalla propensione al rischio
– la scelta soggettiva di posizionamento lungo la CML, cioè la
quantità di ricchezza da investire nel portafoglio ottimo e nel
titolo con tasso privo di rischio (che dipende dalle curve di
indifferenza)
– ogni investitore razionale detiene il portafoglio di mercato per
importi diversi
– quindi la reale composizione del portafoglio di mercato
rispecchia la composizione ottimale
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Evoluzione della teoria del rischio finanziario
Indice
• La Capital Market Theory di Markowitz
• Il Teorema della separazione di Tobin e la Capital Market Line
• Il Capital Asset Pricing Model (CAPM)
– Il rischio sistematico e il rischio diversificabile
– L’intuizione di Sharpe e la Security Market Line
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Diversificazione e valore
• La diversificazione consente di ridurre il rischio di un portafoglio
• Un portafoglio di n titoli ha
– un rendimento pari alla media ponderata dei singoli rendimenti;
– per contro, ha un rischio complessivo inferiore alla media ponderata
dei rischi dei singoli titoli
• In sostanza, è meno rischioso a parità di rendimento
• Domanda: il valore del portafoglio è maggiore della somma ponderata
dei valori dei singoli titoli ?
LA RISPOSTA E’ : NO, NON HA UN VALORE MAGGIORE
• Esempio: nei fondi comuni di investimento, il valore del fondo è dato
dalla somma del valore dei titoli presenti nel fondo stesso
• Il mercato non riconosce nessun premio alla diversificazione.
Perché ?
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Perchè non è prezzato il rischio
diversificabile
• Non c’è premio, da parte del mercato, per chi fa semplicemente
scelte razionali; è invece penalizzato chi non segue la strada
della razionalità
• Il rischio che viene prezzato dal mercato è il contributo fornito
dal singolo titolo al rischio ineliminabile del portafoglio di
mercato
• Chi preferisce tenersi anche il rischio diversificabile, non ottiene
un rendimento corrispondente a quella componente del rischio
• Come misurare la componente rilevante del rischio ?
• Il  2 di un titolo è un indicatore inadatto poiché ingloba nella
misura del rischio anche la componente eliminabile tramite la
diversificazione
• Ciò che conta è l’insieme delle covarianze ponderate del
singolo titolo con tutti gli altri titoli presenti sul mercato
• E’ quindi necessaria una nuova misura di rischio
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Il Capital Asset Pricing Model
• Come misurare il contributo di ogni singolo titolo al
rischio complessivo del portafoglio di mercato?
– solo questa componente di rischio è rilevante per
determinare il rendimento del titolo
– essendo eliminabile con la diversificazione la
componente specifica, il mercato finanziario considera
nella determinazione del rendimento atteso soltanto la
componente non diversificabile
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Evoluzione della teoria del rischio finanziario
Indice
• La Capital Market Theory di Markowitz
• Il Teorema della Separazione di Tobin e la Capital Market Line
• Il Capital Asset Pricing Model (CAPM)
– Il rischio sistematico e il rischio diversificabile
– L’intuizione di Sharpe e la Security Market Line
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La varianza di un portafoglio di tre titoli :
la matrice varianza-covarianza
²P = a²∙²A+b²∙²B+ c²∙²C + 2∙a∙b∙AB+2∙a∙c∙AC+2∙b∙c∙BC
A
A
a²∙²A
B
b∙a∙BA
C
c∙a∙CA
B
a∙b∙AB
b²∙²B
c∙b∙CB
C
a∙c∙AC
b∙c∙AC
c²∙²C
a = peso del titolo A nel
portafoglio
b = peso del titolo B nel
portafoglio
c = peso del titolo C nel
portafoglio
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Ipotizziamo che il portafoglio di
mercato sia composto da 8 titoli
Matrice Varianze-Covarianze portafoglio di mercato con 8 titoli.
A
B
C
D
E
F
G
H
A
B
C
covarianze tra
i singoli titoli
D
E
F
G
H
Varianze dei
singoli titoli 19
Aggiungendo il titolo I al portafoglio…
Il contributo del nuovo titolo alla varianza del portafoglio di mercato
è dato soprattutto dalle covarianze con gli altri titoli.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
A
B
C
D
E
F
G
La varianza del
titolo I incide sul
rischio del
portafoglio
soltanto per 1 / 81
= 1 / N*N
se i titoli hanno
tutti lo stesso
peso
H
I
20
Il contributo del singolo titolo al rischio
del portafoglio di mercato
• Il contributo di un titolo alla varianza del portafoglio è dato
soprattutto dalla somma ponderata delle covarianze del
titolo con gli altri titoli sul mercato
• La varianza del titolo è una componente minima
• All’aumentare del numero di titoli sul mercato il
contributo della sola varianza diventa sempre più piccolo ed
irrilevante: in tal modo viene realizzata la diversificazione
21
Il rischio sistematico e
il rischio diversificabile
• Il rischio di un qualsiasi portafoglio può essere distinto in
due componenti
– rischio non sistematico (o diversificabile)
– rischio sistematico
• Rischio non sistematico: deriva da fattori legati alla società
emittente il titolo. E’ eliminabile con la diversificazione.
• Rischio sistematico: è legato a fattori macroeconomici, è
ineliminabile e corrisponde al rischio del portafoglio di
mercato.
22
La riduzione della varianza di un
portafoglio con la diversificazione

Rischio non sistematico
Rischio sistematico
n
23
Evoluzione della teoria del rischio finanziario
Indice
• La Capital Market Theory di Markowitz
• Il Teorema della separazione di Tobin e la Capital Market Line
• Il Capital Asset Pricing Model (CAPM)
– Il rischio sistematico e il rischio diversificabile
– L’intuizione di Sharpe e la Security Market Line
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La Security Market Line
È possibile dimostrare che il rendimento atteso di un titolo i è pari a
E[R(i)] = Rf + [ R(m) – Rf]   (i, m) / 2 (m)
Rapporto
tra il rischio rilevante del singolo titolo
e il rischio del portafoglio di mercato
Es: se i valori sono uguali, il rapporto è = 1
il titolo ha stesso rischio e stesso rendimento del
portafoglio di mercato
> 1  più elevato rendimento atteso
< 1  più basso rendimento atteso
25
La Security Market Line
È possibile dimostrare che il rendimento atteso di un titolo i è pari a
E[R(i)] = Rf + [ R(m) – Rf]   (i, m) / 2 (m)
E[R(i)] = Rf + [ R(m) – Rf]  i
• La SML consente di stimare il rendimento atteso di un titolo in
funzione del suo contributo al rischio del portafoglio di mercato
• Il contributo al rischio generale di portafoglio da parte del singolo
titolo è misurato dall’indice Beta dato dal rapporto della
covarianza tra titolo e mercato con la varianza del mercato
i =
 (i, m)
2 (m)
m=
 (m, m)
2
(m)
=1
• Per visualizzare l’equazione che definisce il rapporto rischio
rendimento per un singolo titolo occorre passare dal piano
(R,) al piano (R,)
26
La Security Market Line
SML
E (Ri)
es. 7,75%
Alto
rendimento
R(m) 
Basso
rendimento
Rf 

E[R(i)] = Rf + i  [ R(m) – Rf]
m
MRP
Pendenza SML
es. 4,75%
Market risk Premium (MRP)
es. 3,0%

Basso
rischio
(m) = 1
Alto i
rischio
27
L’indice Beta
• La covarianza misura il legame tra i rendimenti del titolo e
quelli del portafoglio di mercato
• Il  rappresenta la misura in cui, in media, i rendimenti di
un titolo variano al variare dei rendimenti di mercato
• Il  del mercato è per definizione pari ad uno, poichè la
covarianza tra il mercato e se stesso è pari alla varianza
• Il  del mercato è la media ponderata dei
titoli presenti sul mercato
 dei diversi
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Il Beta e il Market Risk Premium
• Un titolo che fornisce un modesto contributo al rischio
sistematico del mercato ha un  inferiore ad 1
• Un titolo che fornisce un rilevante contributo al rischio
sistematico del mercato ha un  superiore ad 1
• Il MRP è il premio per il rischio del mercato, poiché indica
quante unità di rendimento è possibile attendersi per
avere assunto rischio nella misura  = 1
• Uno studio di Banca d’Italia, ha stimato nel 5,69% il MRP
sul mercato finanziario italiano
29
L’applicazione della SML
la stima del costo del capitale azionario
• Il rendimento atteso dall’azionista è il costo opportunità del
capitale azionario per l’impresa
• per non distruggere valore, l’impresa deve remunerare l’azionista
in misura coerente con il rischio assunto e con il rendimento
atteso
Rendimento atteso dagli
azionisti che hanno investito
nel titolo i
R(i) = Rf + i  [ R(m) – Rf]
Costo del capitale azionario
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