Soluzione di Markowitz
Nel 1952, Markowitz fu uno tra i primi a ricercare la soluzione ottima di
portafoglio utilizzando il piano media – deviazione standard
E(R)
Curve di Isoutilità
P*
Portafoglio Ottimo
Frontiera efficiente
σ
Portafoglio ottimo come punto di tangenza tra frontiera e
curva di utilità
Scelte con Diverso Grado di
Avversione al Rischio
La scelta ottima di portafoglio dipende dal grado di avversione al rischio
dell’individuo
U2
E(R)
U1
B
Frontiera efficiente
A
σ
Individuo più avverso: Portafoglio A
Individuo meno avverso: Portafoglio B
Il Modello Bassetti-Torricelli
L’ipotesi alla base di questo modello è che l’investitore di fronte alle scelte di
portafoglio sia caratterizzato da una doppia personalità:
Da un lato è attratto da investimenti ad alto rendimento con rischio elevato
( PERSONALITÀ MENO AVVERSA AL RISCHIO )
Dall’altro è attratto da investimenti a rischio ridotto con rendimento basso
( PERSONALITÀ PIÙ AVVERSA AL RISCHIO )
Personalità
meno avversa
E(R)
Personalità
più avversa
σ
Il Modello Bassetti-Torricelli
Per ottenere il portafoglio ottimo per l’individuo occorre massimizzare l’utilità
congiunta delle due personalità.
La funzione di utilità adottata nel modello e coerente con la definizione data da
Von Neumann e Morgenstern è, per l’individuo:
U P   E P  


1
A  P2  E 2 P 
2
Dove A è il coefficiente di avversione al rischio di Arrow-Pratt:
~


U ' ' E R ,  
A
~
U ' E R ,  
Per le due personalità risulterà quindi:
1
U P, A1   E P   A1  P2  E 2 P 
2
1
U P, A2   E P   A2  P2  E 2 P 
2




Personalità più avversa
Personalità meno avversa
Il Modello Bassetti-Torricelli
La rappresentazione delle curve di utilità delle due personalità sarà la seguente:
E(R)
Y
Z
X

X
1
X U ;U
X
2


Y
1
Y U ;U
Y
2

σ

Z U1Z ;U 2Z

Ogni punto sulla frontiera efficiente ha un diverso valore di utilità per le due
personalità
Il Modello Bassetti-Torricelli
Attraverso una trasformazione, è possibile rappresentare i punti della frontiera,
sul piano rendimento atteso – deviazione standard, nel piano U1 - U2
U  A1 , A2   U1 ,U 2  : P  2  B  2
U1
E(R)
B1
B*
P*
A max
B2 U
2
σ
Il parametro A è ricavato in modo endogeno sfruttando la condizione
La
Il portafoglio
soluzioneBargaining
ottima
ottimo èsidata
ottiene
set,dal
insieme
utilizzando
massimo
di contrattazione
prodotto
la trasformazione
fra le due utilità
inversa
di tangenza tra la frontiera e la curva di utilità dell’individuo