INTEGRALE DEFINITO
Curva γ di equazione y = f(x) continua nell’interv. a-b.
C
D
C
D
A
B
a
b
h
Ci proponiamo di calcolare l’area del trapezoide mistilineo ABCD.
A tale scopo dividiamo l’intervallo (a,b) in un certo numero n di parti
eguali e, detta h = b-a l’ampiezza comune di ciascuna di queste parti,
………
n
C
m2 m3
mn
D
m1
A
1°
a
2°
B
3°
h
b
…consideriamo la seguente somma: sn = m1h + m2h + m3h + …..mnh,
dove mi indica il minimo della f(x) nell’iesimo intervallo.
C
m2 m3
mn
D
m1
A
1°
a
2°
B
3°
h
b
…la somma: sn = m1h + m2h + m3h + …..mnh, rappresenta la
superficie approssimata per difetto del trapezoide ABCD
C
M2
M3
2°
3°
M1
D
A
1°
a
B
h
b
…mentre la somma:Sn = M1h + M2h + M3h…+ Mnh, dove Mi rap =
= presenta il massimo della funzione f(x) nell’iesimo intervallo…
C
M2
M3
2°
3°
M1
D
A
1°
a
B
h
b
…rappresenta un approssimazione per eccesso dell’area dello stesso
trapezoide.
C
D
A
B
a
b
h
Se aumentiamo il numero n di parti eguali in cui dividiamo l’intervallo
(a,b) l’ampiezza h = b-a di ciascun intervallino diminuisce
n
C
D
A
B
a
b
h
Se adesso rifacciamo la somma sn = m1h + m2h + m3h + …..mnh
otteniamo la superficie del trapezzoide per difetto ma con una appros =
=simazione migliore della precedente
C
D
A
B
a
b
h
.. Analogamente se calcoliamo la Sn = M1h + M2h + M3h…+ Mnh,
otteniamo la superficie del trapezzoide per eccesso ma con una appros =
=simazione migliore della precedente. Se esiste un numero S da definirsi
come area del trapezzoide dovrà essere: sn < S < Sn
Al crescere di n, sn aumenta e Sn diminuisce, ma per
n
+ ∞ possiamo scrivere:
cioè il valore limite che assume=
lim sn = lim Sn = S
ranno le due superfici per n
n ∞
n ∞
tendente all’infinito è la superf.
del trapezzoide
Un modo equivalente per rappresentare l’ultima relazione è:
b
S =
a
∫
f(x) dx dove il simbolo ∫ (integrale) rappresenta la
sommatoria nell’intervallo (a,b) della funzione per incrementi
infinitesimi (dx) della variabile indipendente (dx prende il posto
di h quando n
∞).
Significato geometrico di integrale definito
Equazione:
y=
x2
x
y
0
0
1
1
2
4
3
9
4
16
5
25
y = x^2
30
Unità di superficie
25
y
y
20
Equazione
integrata:
15
y
5
10
5
0
0
1
2
3
x
4
5
x
6
y = 0∫ x2 dx =
= 1.x3 5 =
3 0
= [1. 53 – 1 .03] =
3
3
= 125 = 41,6
3
Significato geometrico di integrale definito
Equazione:
y = x2
y = x^2
30
Unità di superficie
25
y
y
x
y
0
0
1
1
2
4
3
9
Equazione
integrata:
20
3
y = 0∫ x2 dx =
15
y
10
5
0
0
1
2
3
x
4
5
x
6
= [1.x3]30 =
3
= [1. 33 – 1 .03] =
3
3
= 27 = 9
3
Equazione : y = 20 = 20 1
x
x
x.y = 20
25
20
y
15
y
Serie1
x
y
1
20
2
10
3
6,6
4
5
5
4
6
3,3
7
2,8
8
2,5
9
2,2
10
2
……
……
10
equazione
integrata:
10
5
0
0
5
10
15
x
20
x
25
y = 20 1∫1 dx =
x
= 20 [lnx]101 =
20 [ln10 –ln1] =
46
L’impiego del calcolo
integrale, ove possibile,
comporta un notevole
risparmio di tempo e un
ottimo grado di
precisione.