Infiniti
f : D  R R
Sia c un punto di accumulazione per D
Definizione: si dice che f è infinita in un intorno di c se

Lim f x   
xc

Nota bene: essere infiniti è una proprietà “locale”
Ordine di infinito
Siano f e g due infiniti in un intorno di c. Se:
f x 
Lim
  diremo che f è infinito di ordine superiore a g
x  c gx 
f x 
diremo che f e g hanno lo stesso ordine di
Lim
k 0
x  c gx 
infinito
f x 
diremo che f e ha ordine di infinito alfa
Lim

k

0

xc
(positivo) rispetto all’infinito campione g
gx 
f x 
Lim
 non esiste
x  c gx 
diremo che f e g sono infiniti non
confrontabili
Esercizio
f x  x 2  4 gx  x 3  ex 1
in
U 
Lim x 2  4    4  
x  
Lim x 3  ex 1    e 1    0 1  
x 

f e g sono infiniti in U 
 4 
2
x 1  2 
x2  4
1
 x 
Lim 3 x
 Lim
 Lim  0
x
x   x  e
1 x   3  e
1  x   x

x 1 3  3 
x 
 x
f ha ordine di infinito inferiore a g in U 



Ordine di infinito
   
è infinito di ordine
x 


x


U






Lim   1
x superiore a
x   x
   
0
se   


1  


     








x
1 è infinito di ordine 1





Lim
U0 
 
  1
x  0 1 
x 
x  superiore a
   
  0
x 
se   
 



Teorema degli Infiniti
f ; f1;g;g1 Infiniti in un intorno di c
se f è infinito di ordine superiore rispetto a f1
se g è infinito di ordine superiore rispetto a g1
allora
f x   f1x 
f x 
Lim
 Lim
x  c gx   g x 
x  c gx 
1
1
x3  x2
x3

Lim


0
Lim

Lim

4
4
x  
x   x  x
x   x
x
3
 1   1 2
 1 3

  



x 1 x 1
x 1

Lim

0
4  Lim
4
x 1 
x 1  1 
 1   1 


 


x 1 x 1
x 1
Stabilire l’ordine di infinito rispetto al campione gx  x
x5  x2 x
in un intorno di più infinito di f x   3
2x  x  5 x

x5  x2 x
x 5  x 5\ 2
x5
Lim 3
 Lim 3
 
1\ 2  Lim
3
x   2x  x  5 x
x   2x  x  5x
x   2x

f è un infinito in un intorno di più infinito
5
1 2
x 5 x 2 x
x

x
3
3
1
2
2x

x

5
x
2x

Lim
 k  0 Lim   xLim


  x
x   x
2
x  
x
se e solo se   2



OSSERVAZIONE IMPORTANTE
gx  x
1
f x   x
2
f x  x


gx  x 2


Se, in un determinato intorno, g è infinito di ordine
superiore a f, allora in quell’intorno si ha che gx  f x 
Non vale il viceversa come mostrano i grafici di sinistra

CONFRONTI TRA INFINITI
3
ex
x
x





2
ax
Lim x  0 b  a 1
x   b
a
ln
x
x
Lim   0   0;a  0
x   x


x
 ln x Lim
  0;a 1
x 0
x   a

 x 
x
 x
ln x ...  x  x  x ...  e 3x .... 
ln x
x2
ex
Lim
 0 Lim x 
0 Lim x  0
x   x
x   e
x   3
ln x
ln x
ln x
ln x
1
Lim
 Lim
 ln 3 Lim

2  Lim
x   log x
x   ln x
x   ln x
x   2 ln x
2
3

 ln 3
2
Esercizi
x 2  4  e x
x2
Lim
 Lim x  0
x   x x  5x  e x
x   e
x 2  4  e x
0  4  e 0 0  4 1
Lim

 3
0 
x
x  0 x x  5x  e
0  0 1
0  0  e
2 
x  ln x 3
x2
Lim
 Lim 3\ 2  
x
x   x x  2x  e
x   x

1 
3
x  ln x 1
ln x 3 1
ln x 3 
Lim
 Lim
 Lim

x
x   ln x 2  e x  e x
x   ln x 2  e x



 x   ln e 

3ln x  3ln x
Lim
 Lim
0
x   x ln e
x  
x


