Parte I : l’Alto Medioevo in Europa e in Oriente
2



Cicerone: “Artes quae libero sunt dignae”
Trivio: grammatica, retorica, dialettica
Quadrivio: geometria, aritmetica, astronomia
e musica
3

“Le dita della giovane si
muovevano rapide innanzi e
indietro ed erano percorse
come da un inarrestabile
formicolio. Fatto il suo
ingresso ed ottenuto con le
dita variamente piegate un
numero pari a
settecentodiciassette, le
alzò per porgere il saluto a
Giove. Allora Filosofia,
poiché era accanto alla
Tritonide, le domandò che
cosa Aritmetica avesse
inteso con quel numero. E
Pallade le rispose: “Ha
salutato [Giove] con il suo
proprio nome”
ms. Urb. Lat. 329, f. 113,
Biblioteca Apostolica Vaticana, Città del Vaticano
4


Marziano passa ad esaminare i singoli numeri
da uno (la monade) fino a dieci, esplorandone
tutti i significati filosofici e teologici e le
sfumature simboliche e collegandoli con i
rispettivi enti geometrici (la monade
corrisponde al punto e così via).
Seguono la trattazione della natura e la
divisione dei numeri (pari e dispari; composti
e non composti; perfetti, imperfetti e piùche-perfetti; piani e solidi), i rapporti tra i
numeri ed il concetto di proporzione.
5

Trattati sulle arti liberali:
◦ De institutione arithmetica
◦ De Musica
◦ Geometria (pseudo-Boezio)

Tassonomia del quadrivio
◦ Aritmetica>geometria>musica>astronomia

De institutione arithmetica
◦ Libro 1: Classificazione dei numeri
◦ Libro 2: Teoria delle proporzioni
6

I numeri sono distinti in
◦ pari e dispari
 parimenti pari 2n
 parimenti dispari 2m+1(2n+1)
◦
◦
◦
◦

primi e composti
perfetti (6 = 1+2+3)
imperfetti (sono maggiori della somma)
ultraperfetti (inferiori alla somma)
Studio delle relazioni fra i numeri:
◦ Uguaglianza
◦ Disuguaglianza (maggiore o minore e opposizione)
7





Multiplo: a è multiplo di b se esiste un numero n tale che
a=nb; per n=2 a è detto superduplo di b; per n=3,
supertriplo etc.
Superparticolare: a è chiamato superparticolare di b se
a=b+b/n per un qualche n; per n=2 a è sesquialtero di b;
per n=3 è sesquiterzo, etc.
Superparziente: a è detto n-multiplo super-m-parziente di
b se a= bn + m ad esempio, 16 rapportato a 6 è definito
duplice superquadriparziente, perché dalla divisione
risulta che il 6 è contenuto 2 volte con l’avanzo di 4
Multiplo superparticolare: a è super-n-particolare se a =
n+1/n per qualche n intero: ad esempio 3/2= 1 + 1/2
(sesquialtero), 4/3 = 1 + 1/3 (sesquiterzo), etc.
Multiplo superparziente: a è superparziente se a =
(2b+c)/b + c per a, b interi diversi tra loro.
8



Isidoro di Siviglia (c. 560 - 636)
Beda il Venerabile (674-735)
Alcuino (732 - 804):
Propositiones ad acuendos iuvenes
◦ Propositio I: Limax fuit ab hirundine invitatus ad
prandium infra leucam unam. In die autem non potuit
plus quam unam unciam pedis ambulare. Dicat, qui velit,
in quot diebus ad idem prandium ipse limax
perambulat?
◦ I. Sequitur solutio de limace: In leuca una sunt mille
quingenti passus, VII pedes, XC unciae. Quot unciae, tot
dies fuerunt, qui faciunt annos CCXLVI, et dies CCX
9
10

Nell'area del Medio Oriente coesistevano varie
culture:
◦ greca (con la sua tradizione classica, ellenistica e poi
cristiana)
◦ siriaca (di impronta essenzialmente religiosa per via
dell’influsso nestoriano)
◦ ebraica
◦ persiana


Queste culture comunicavano principalmente
attraverso traduzioni eseguite da dotti religiosi
bilingui.
Fin dal V secolo accanto alle traduzioni propriamente
religiose (dalla Bibbia) apparvero quelle scientifiche e
filosofiche greche, in particolare le opere più tarde
neo-platoniche, neo-aristoteliche ed eclettiche.
11


762: al-Mansur trasferisce la
capitale da Damasco a
Baghdad
Bayt al Hikma, officina
culturale unica
◦ opere dall’utilità pratica
immediata, come trattati di
medicina, astrologia, logica e
scienze matematiche.
◦ filosofia di Platone ed Aristotele
12
◦ I testi già in siriaco (la lingua dei Nestoriani) furono
tradotti in arabo
◦ le opere non disponibili in siriaco erano tradotte
direttamente dal greco in arabo oppure attraverso
la mediazione linguistica del siriaco.
◦ In varie occasioni, furono inviate spedizioni a
Bisanzio per ottenere copie di opere greche
altrimenti irreperibili oppure copie migliori di
originali posseduti solo in versioni
irrimediabilmente corrotte.
13


Yuhanan Bekhtyashu, Hunayn ibn Ishaq e suo figlio
Ishaq ibn Hunayn, Qusta ibn Luqa, Abd al-Masih alHimsi, i fratelli banu Musa ibn Shakir, Thabit ibn
Qurra
Grazie a strumenti altamente qualificati, come
dizionari bilingui, manuali e grammatiche,
realizzarono le traduzioni in arabo (passando spesso
attraverso il siriaco) delle opere memorabili della
filosofia e scienza greco-ellenistica:
◦ Galeno, Tolomeo, Euclide, Aristotele, Alessandro di
Afrodisia, Dioscoride, Giamblico e Porfirio, oltre a tutta una
serie di testi gnostici e sincretistici;

Anche traduttori di opere indiane, soprattutto di
astronomia e matematica.
14


L’influsso greco giunse agli Arabi anche
indirettamente dall’Oriente, attraverso l’India e la
Persia;
si tratta di conoscenze elaborate da studiosi
indiani, a partire da materiale di provenienza
alessandrina, passato in India
◦ o via mare, sulla rotta che connetteva Alessandria con
l’India nord-occidentale,
◦ o via terra lungo una strada che collegava la Grecia con
la Battriana, in particolare con la città di Marw (oggi nel
Turkmenistan)

Il loro contributo in particolare consistette
nell’introduzione della notazione decimale e di
molti simboli.
15
16



La più antica testimonianza dell’uso di una
notazione posizionale, secondo uno studio
recente di un gruppo di storici tedeschi, è
l’iscrizione di Gurjara, datata 346 secondo il
computo Samvat, corrispondente al 595 d.C.,
scritta in parole-numero brahmi, ossia nomi di
oggetti il cui numero è risaputo: l’ordine di
presentazione delle potenze era dal più basso al
più alto
le parole-numero risultavano poetiche e
gradevoli e il loro uso costituiva una valida
mnemotecnica.
Ali-sensi-vuoto-luna = ?
17




è comparso in scritti babilonesi di astronomia, in cui era
usato il sistema sessagesimale; in epoche più tarde, era
previsto un segno per una cifra mancante solo nel mezzo
del numero
I Greci utilizzarono questo sistema per i calcoli
astronomici, con una cifra come 0 per rappresentare lo
zero.
Gli studiosi indiani avrebbero conosciuto tutta questa
tradizione a seguito delle campagna militari di Alessandro
e l’avrebbero tramandata a loro volta; in seguito avrebbero
integrato le loro cifre brahmi da 1 a 9 e lo zero greco e
adottato la scrittura da sinistra a destra greco-babilonese.
Ci sarebbe stata la fusione delle conoscenze derivate da
tre culture, mentre furono gli Indiani a costruire
completamente da soli il sistema posizionale, con
l’evoluzione sopra descritta.
18
Iscrizione gwalior (870) : è evidenziato il numero 270
19




Nell'VIII secolo, presso gli Arabi e le popolazioni
sottoposte alla loro dominazione, si manifesta un
crescente interesse per l'aritmetica e, in particolare,
per i sistemi di numerazione.
Gli Arabi cominciarono ad usare le lettere
dell'alfabeto per rappresentare il sistema decimale,
additivo e basato su nove simboli;
L’introduzione dello zero e della notazione
posizionale intervennero grazie agli interessi
astronomici (calcolo della direzione della Mecca) che
portarono gli Arabi alla lettura dei testi indiani, dove
si faceva uso di questa notazione e dello zero.
Essi privilegiarono questa convenzione per la sua
semplicità ed efficacia ed intrapresero studi specifici
di aritmetica.
20




la vita
l’opera algebrica e aritmetica
le fonti della sua formazione
(locali ed esterne al mondo
islamico)
metodo innovativo nel
procedimento risolutivo
delle equazioni
21






Aritmetica:
◦ Hisab al-Hindi (Algorithmi de numero Indorum)
◦ Al-jam wa-al-tafriq (Liber augmenti et diminutionis)
algebra (Hisab al-jabr w’al-muqabalah: Calcolo
con completamento e riduzione)
astronomia (Zij: tavole astronomiche)
geografia (Kitab Surat al-Ard: Libro sulla forma
della Terra)
calendario (Istikhraj Ta’rikh al-Yahud: Il
calendario ebraico), 823-824
storia (Kitab al-Tarik: Croniche); un testo di
storia e astrologia, databile dopo l’826
22


Del libro di aritmetica non ci è giunto il testo
arabo originale, ma solo in varie traduzioni latine
del XII e XIII secolo. Una di queste versioni,
presente in un unico manoscritto (ms.Ii.vi.5) alla
University Library di Cambridge, fu pubblicata a
Roma nel 1857 da Baldassarre Boncompagni, col
titolo Algoritmi de numero Indorum, e
successivamente, a cura di Vogel e in fac-simile
dalla Kopelevitch .
Ne esiste l’edizione critica dei testi latini da essa
derivati con traduzione francese, di Allard.
23

Falsa posizione o regula falsi
◦ Risolve problemi che oggi vengono ricondotti a
equazioni del tipo ax + b =0

Doppia falsa posizione o elchataym
(approssimazione del valore per eccesso e
per difetto)
◦ Risolve problemi che oggi vengono ricondotti a
equazioni del tipo ax + b = c, con a , b, c > 0
◦
24



Il più antico testimone arabo dell’Algebra (Oxford
Hunt. 214) attualmente pubblicato è piuttosto
tardo, dal momento che è stato copiato al Cairo
nel 1342.
esistenza di manoscritti inediti a Kabul, a Medina
(2), a Berlino e a Teheran.
sono invece più antiche le traduzioni latine, in
particolare quelle di
◦ Roberto di Chester, realizzata nel 1145 a Segovia,
◦ Gerardo da Cremona, redatta a Toledo intorno al 1170
◦ Guglielmo de Lunis, portata a termine il secolo
successivo nel 1250 circa.
25



Il titolo completo del testo arabo è Al-Kitab al-muktasar fi
hisab al-jabr wa'l-muqabalah, ossia “Breve opera sul
calcolo con restaurazione e riduzione”.
Algebra retorica
È strutturato in
◦ breve introduzione sui contratti commerciali e sui calcoli relativi
eseguiti attraverso la regola del tre, già nota ai matematici indiani;
◦ tre capitoli di varie lunghezza dedicati rispettivamente
 all’algebra;
 alla geometria piana e solida;
 ai problemi di spartizione di eredità, estremamente macchinosi nel
diritto coranico.

Le traduzioni latine si discostano in vari passi da questi
contenuti e si limitano alle prime due parti, escludendo la
parte di geometria e quella sui calcoli per le eredità .
26




I numeri necessari per il calcolo con
completamento e riduzione sono di tre tipi:
radici, quadrati e numeri semplici, che non sono
né radici né quadrati.
Una radice (jidr)è una quantità che è da
moltiplicare per se stessa, ed è costruita di unità
(ascendente) o frazioni (discendente).
Un quadrato (mal) è il valore totale della radice
moltiplicata per se stessa.
Un numero semplice (dirham) è qualsiasi numero
che può essere nominato senza fare riferimento a
radice o quadrato.
27

Equazioni semplici
◦ Caso 1: Quadrati uguali a radici (ax2 = bx)
◦ Caso 2: Quadrati uguali a numeri (ax2 = c)
◦ Caso 3: Radici uguali a numeri (bx = c)

Equazioni composte
◦ Caso 4: Quadrati e radici uguali a numeri
(ax2 + bx = c)
◦ Caso 5: Quadrati e numeri uguali a radici
(ax2 + c = bx)
◦ Caso 6: Radici e numeri uguali a quadrati
(bx + c = ax2)
28
Inizio
Leggi equazione
ax2 + bx = c
a, b, c > 0

ax2 + bx = c
a=1?
no
Dividi a, b, c per a
(al-hatt)
sì

NB:
◦ x>0
◦ 1 sola soluzione
Calcola b/2
Poni
b = b/a
c = c/a
Calcola (b/2)2
Calcola (b/2)2 + c
Estrai la radice
quadrata
Calcola
x = sqr((b/2)2 + c) - b/2
Fine
29
Inizio
Leggi equazione
ax2 + c = bx
a, b, c > 0
a=1?
no
Dividi a, b, c per a
(al-hatt)
sì
•ax2 + c = bx
Poni
b = b/a
c = c/a
Calcola b/2
Calcola (b/2)2
•NB:
x > 0
 Nessuna soluzione
 1o 2 soluzioni
Dichiara la soluzione
impossibile
(non esistono soluzioni reali)
sì
(b/2)2 < c
no
(b/2)2 = c
sì
Calcola
x = b/2
sì
Calcola
x = b/2 ± sqr((b/2)2 – c)
no
Calcola (b/2)2 - c
Estrai la radice
quadrata
b/2 > sqr((b/2)2 – c)
no
Calcola
x = b/2 + sqr((b/2)2 – c)
Fine
30
Inizio
Leggi equazione
bx + c = ax2
a, b, c > 0

bx + c = ax2
a=1?
no
Dividi a, b, c per a
(al-hatt)
sì

NB:
◦ x>0
◦ 1 sola soluzione
Calcola b/2
Poni
b = b/a
c = c/a
Calcola (b/2)2
Calcola (b/2)2 + c
Estrai la radice
quadrata
Calcola
x = sqr((b/2)2 + c) + b/2
Fine
31



Dati
◦ 1 quadrato di area a·b (a=b) che rappresenta x2
◦ 4 rettangoli equivalenti (c,d,e,f) con dimensioni
a, 2 unità e mezzo
Per completare il quadrato maggiore, si
aggiungono quattro quadrati con perimetro
tratteggiato di area 6 unità e un quarto
Quindi per risolvere l’equazione
◦ Si aggiunge il quadruplo di 6 unità e un quarto
(=25) a 39,
ottenendo x2 = 25+39 = 64
◦ Da ciò si ricava che il lato del quadrato maggiore
misura 8;
◦ si sottrae il doppio di 2 unità e mezzo (=5) e si
ottiene la misura di a (=b), cioè 3
32


“Ora io aggiungo questi problemi, che serviranno per portare
l’argomento più vicino alla conoscenza, per rendere la sua
comprensione più facile e per rendere gli argomenti più
perspicui”
Ogni equazione risolvente di un problema viene riportata ad uno
dei 6 casi grazie a due operazioni basilari:
◦ al-jabr (completamento; in latino restauratio), che consiste nell’eliminare i
termini negativi, addizionando termini positivi uguali nei due membri;
◦ al-muqabalah (opposizione; in latino oppositio) che permette di sommare
algebricamente i termini dello stesso grado nei due membri.

In definitiva, il procedimento presentato dall’autore per la
soluzione di un problema si può sintetizzare nei seguenti passi:
◦ Tradurre il problema in un’equazione algebrica;
◦ Ricondurre l’equazione ad uno dei casi noti;
◦ Applicare l’algoritmo appropriato per arrivare alla soluzione.
33




Al- Khawarizmi prosegue poi la sua trattazione
con altri trentaquattro problemi, che, salvo una
sola eccezione (il problema 7), possono essere
catalogati, secondo Oaks, in tre gruppi, sulla
base del loro enunciato: tipo “10”, “M” e “D”.
Il testo dei problemi di tipo 10 incomincia con
“Hai diviso il dieci in due parti …”, cui segue una
condizione che le parti devono soddisfare.
Il testo dei problemi di tipo M riguarda invece la
ricerca di un mal.
I problemi di tipo D hanno invece a che fare con
un certo numero di dirhem divisi tra persone.
34

“Sai che tutte le transazioni commerciali tra le
persone, come comprare e vendere, barattare e
prendere a prestito, prevedono sempre due
condizioni e quattro numeri, fissati da chi pone il
problema; ossia, misura e prezzo e quantità e
somma. Il numero che esprime la misura è
inversamente proporzionale a quello che esprime
la somma, e il numero del prezzo è inversamente
proporzionale a quello della quantità. Tre di
questi quattro numeri sono già noti, il quarto è
l’incognita e questa è implicita quando chi pone
il problema chiede “quanto?” ed è l’oggetto del
problema.”
35

Tre parti sul calcolo di aree e volumi
◦ Viene ricordata la proprietà dei triangoli rettangoli
nota in Occidente come Teorema di Pitagora, con
dimostrazione geometrica diversa sia da quella
euclidea sia da quella, pur posteriore, di Bhaskara
36





Indiane: lessico (dhanam = mal;
rupa=dirhem)
Greche: era nota l’opera di Diofanto? Astratto
vs. concreto; Erone?
Ebraiche: Mishnat ha Middot
Babilonesi: tecnica cut and paste
Oggi: sincretismo di fonti o originalità?
37

Secondo Ruska (1917) e Sezgin (1974), si
potranno fare progressi sulla questione delle
fonti solo grazie a:
◦ scoperte di nuove fonti manoscritte;
◦ discussione delle premesse alla fondazione di una
letteratura matematica presso gli Arabi;
◦ reale approfondimento delle intenzioni e degli
scopi;
◦ precisa analisi terminologica.
38