L’eredità arabo-islamica
nelle scienze e nelle arti del calcolo
dell’Europa medievale
Parte I : l’Alto Medioevo in Europa e in Oriente
In forma di mappa
2
Le arti liberali
3
 Cicerone: “Artes quae libero sunt dignae”
 Trivio: grammatica, retorica, dialettica
 Quadrivio: geometria, aritmetica, astronomia e
musica
Marziano Capella:
De Nuptiis Philologiae et Mercurii
4
 “Le dita della giovane si
muovevano rapide innanzi e
indietro ed erano percorse come da
un inarrestabile formicolio. Fatto il
suo ingresso ed ottenuto con le dita
variamente piegate un numero pari
a settecentodiciassette, le alzò per
porgere il saluto a Giove. Allora
Filosofia, poiché era accanto alla
Tritonide, le domandò che cosa
Aritmetica avesse inteso con quel
numero. E Pallade le rispose: “Ha
salutato [Giove] con il suo proprio
nome”
ms. Urb. Lat. 329, f. 113,
Biblioteca Apostolica Vaticana, Città del Vaticano
I numeri secondo Marziano
5
 Marziano passa ad esaminare i singoli numeri da uno (la
monade) fino a dieci, esplorandone tutti i significati
filosofici e teologici e le sfumature simboliche e collegandoli
con i rispettivi enti geometrici (la monade corrisponde al
punto e così via).
 Seguono la trattazione della natura e la divisione dei
numeri (pari e dispari; composti e non composti; perfetti,
imperfetti e più-che-perfetti; piani e solidi), i rapporti tra i
numeri ed il concetto di proporzione.
Severino Boezio (480-524)
6
 Trattati sulle arti liberali:
 De institutione arithmetica
 De Musica
 Geometria (pseudo-Boezio)
 Tassonomia del quadrivio
 Aritmetica>geometria>musica>astronomia
 De institutione arithmetica
 Libro 1: Classificazione dei numeri
 Libro 2: Teoria delle proporzioni
De institutione arithmetica
7
 I numeri sono distinti in

pari e dispari






parimenti pari 2n
parimenti dispari 2m+1(2n+1)
primi e composti
perfetti (6 = 1+2+3)
imperfetti (sono maggiori della somma suddetta)
ultraperfetti (inferiori alla somma)
 Studio delle relazioni fra i numeri:


Uguaglianza
disuguaglianza (maggiore o minore e opposizione)
La disuguaglianza
8
 Multiplo (submultiplo): a è multiplo di b se esiste un numero n tale




che a=nb; per n=2 a è detto superduplo di b; per n=3, supertriplo etc.
Superparticolare (subparticolare): a è chiamato superparticolare di
b se a=b+b/n per un qualche n; per n=2 a è sesquialtero di b; per n=3 è
sesquiterzo, etc.
Superparziente (subparziente): a è detto n-multiplo super-mparziente di b se a= bn + m ad esempio, 16 rapportato a 6 è definito
duplice superquadriparziente, perché dalla divisione risulta che il 6 è
contenuto 2 volte con l’avanzo di 4
Multiplo superparticolare (subparticolare): a è super-n-particolare
se a = n+1/n per qualche n intero: ad esempio 3/2= 1 + 1/2
(sesquialtero), 4/3 = 1 + 1/3 (sesquiterzo), etc.
Multiplo superparziente (subparziente): a è superparziente se a =
(2b+c)/b + c per a, b interi diversi tra loro.
Alto Medioevo
9
 Isidoro di Siviglia (c. 560 - 636)
 Beda il Venerabile (674-735)
 Alcuino (732 - 804):
Propositiones ad acuendos iuvenes


Propositio I: Limax fuit ab hierundine invitatus ad prandium infra leucam unam. In
die autem non potuit plus quam unam unciam pedis ambulare. Dicat, qui velit, in quot
diebus ad idem prandium ipse limax perambulat?
I. Sequitur solutio de limace: In leuca una sunt mille quingenti passus, VII pedes, XC
unciae. Quot unciae, tot dies fuerunt, qui faciunt annos CCXLVI, et dies CCX
Ritmomachia e Abaco
10
Il medio oriente
11
 Nell'area del Medio Oriente coesistevano varie culture:




greca (con la sua tradizione classica, ellenistica e poi cristiana)
siriaca (di impronta essenzialmente religiosa per via dell’influsso nestoriano)
ebraica
persiana
 Queste culture comunicavano principalmente attraverso traduzioni
eseguite da dotti religiosi bilingui.
 Fin dal V secolo accanto alle traduzioni propriamente religiose (dalla
Bibbia) apparvero quelle scientifiche e filosofiche greche, in particolare
le opere più tarde neo-platoniche, neo-aristoteliche ed eclettiche.
La casa della sapienza
12
 762: al-Mansur trasferisce la
capitale da Damasco a Baghdad
 Bayt al Hikma, officina
culturale unica
opere dall’utilità pratica
immediata, come trattati di
medicina, astrologia, logica e
scienze matematiche.
 filosofia di Platone ed Aristotele

Le traduzioni in arabo
13
 I testi già in siriaco (la lingua dei Nestoriani) furono tradotti in arabo
 le opere non disponibili in siriaco erano tradotte direttamente dal greco
in arabo oppure attraverso la mediazione linguistica del siriaco.
 In varie occasioni, furono inviate spedizioni a Bisanzio per ottenere
copie di opere greche altrimenti irreperibili oppure copie migliori di
originali posseduti solo in versioni irrimediabilmente corrotte.
Un’autentica scuola di traduttori
14
 Yuhanan Bekhtyashu, Hunayn ibn Ishaq e suo figlio Ishaq ibn
Hunayn, Qusta ibn Luqa, Abd al-Masih al-Himsi, i fratelli banu
Musa ibn Shakir, Thabit ibn Qurra
 Grazie a strumenti altamente qualificati, come dizionari bilingui,
manuali e grammatiche, realizzarono le traduzioni in arabo (passando
spesso attraverso il siriaco) delle opere memorabili della filosofia e
scienza greco-ellenistica:

Galeno, Tolomeo, Euclide, Aristotele, Alessandro di Afrodisia, Dioscoride, Giamblico e
Porfirio, oltre a tutta una serie di testi gnostici e sincretistici;
 Anche traduttori di opere indiane, soprattutto di astronomia e
matematica.
Un’altra via …
15
 L’influsso greco giunse agli Arabi anche indirettamente dall’Oriente,
attraverso l’India e la Persia;
 si tratta di conoscenze elaborate da studiosi indiani, a partire da
materiale di provenienza alessandrina, passato in India


o via mare, sulla rotta che connetteva Alessandria con l’India nord-occidentale,
o via terra lungo una strada che collegava la Grecia con la Battriana, in particolare con
la città di Marw (oggi nel Turkmenistan)
 Il loro contributo in particolare consistette nell’introduzione della
notazione decimale e di molti simboli.
I numerali indiani
kharosthi, brahmi e gwalior
16
La notazione posizionale
17
 La più antica testimonianza dell’uso di una notazione posizionale,
secondo uno studio recente di un gruppo di storici tedeschi, è
l’iscrizione di Gurjara, datata 346 secondo il computo Samvat,
corrispondente al 595 d.C., scritta in parole-numero brahmi, ossia
nomi di oggetti il cui numero è risaputo: l’ordine di presentazione delle
potenze era dal più basso al più alto
 le parole-numero risultavano poetiche e gradevoli e il loro uso
costituiva una valida mnemotecnica.
 Ali-sensi-vuoto-luna = ?
Lo zero
18
 è comparso in scritti babilonesi di astronomia, in cui era usato il
sistema sessagesimale; in epoche più tarde, era previsto un segno per
una cifra mancante solo nel mezzo del numero
 I Greci utilizzarono questo sistema per i calcoli astronomici, con una
cifra come 0 per rappresentare lo zero.
 Gli studiosi indiani avrebbero conosciuto tutta questa tradizione a
seguito delle campagna militari di Alessandro e l’avrebbero tramandata
a loro volta; in seguito avrebbero integrato le loro cifre brahmi da 1 a 9
e lo zero greco e adottato la scrittura da sinistra a destra grecobabilonese.
 Ci sarebbe stata la fusione delle conoscenze derivate da tre culture,
mentre furono gli Indiani a costruire completamente da soli il sistema
posizionale, con l’evoluzione sopra descritta.
La più antica rappresentazione dello zero
19
Iscrizione gwalior (870) : è evidenziato il numero 270
Dall’India agli Arabi
20
 Nell'VIII secolo, presso gli Arabi e le popolazioni sottoposte alla loro
dominazione, si manifesta un crescente interesse per l'aritmetica e, in
particolare, per i sistemi di numerazione.
 Gli Arabi cominciarono ad usare le lettere dell'alfabeto per
rappresentare il sistema decimale, additivo e basato su nove simboli;
 L’introduzione dello zero e della notazione posizionale intervennero
grazie agli interessi astronomici (calcolo della direzione della Mecca)
che portarono gli Arabi alla lettura dei testi indiani, dove si faceva uso
di questa notazione e dello zero.
 Essi privilegiarono questa convenzione per la sua semplicità ed efficacia
ed intrapresero studi specifici di aritmetica.
Al-Khawarizmi
21
 la vita
 l’opera algebrica e aritmetica
 le fonti della sua formazione
(locali ed esterne al mondo
islamico)
 metodo innovativo nel
procedimento risolutivo delle
equazioni
Le opere
22
 aritmetica (Algorithmi de numero Indorum: Calcolo con i numeri





indiani di al-Khawarizmi)
algebra (Hisab al-jabr w’al-muqabalah: Calcolo con completamento e
riduzione)
astronomia (Zij: tavole astronomiche)
geografia (Kitab Surat al-Ard: Libro sulla forma della Terra)
calendario (Istikhraj Ta’rikh al-Yahud: Il calendario ebraico), 823-824
storia (Kitab al-Tarik: Croniche); un testo di storia e astrologia,
databile dopo l’826
Algoritmi de numero Indorum
23
 Del libro di aritmetica non ci è giunto il testo arabo originale, ma solo
in varie traduzioni latine del XII e XIII secolo. Una di queste versioni,
presente in un unico manoscritto (ms.Ii.vi.5) alla University Library di
Cambridge, fu pubblicata a Roma nel 1857 da Baldassarre
Boncompagni, col titolo Algoritmi de numero Indorum, e
successivamente, a cura di Vogel e in fac-simile dalla Kopelevitch .
 Ne esiste l’edizione critica dei testi latini da essa derivati con traduzione
francese, di Allard.
Hisab al-jabr w’al-muqabalah
24
 Il più antico testimone arabo dell’Algebra (Oxford Hunt. 214)
attualmente pubblicato è piuttosto tardo, dal momento che è stato
copiato al Cairo nel 1342.
 esistenza di manoscritti inediti a Kabul, a Medina (2), a Berlino e a
Teheran.
 sono invece più antiche le traduzioni latine, in particolare quelle di



Roberto di Chester, realizzata nel 1145 a Segovia,
Gerardo da Cremona, redatta a Toledo intorno al 1170
Guglielmo de Lunis, portata a termine il secolo successivo nel 1250 circa.
Il piano dell’opera
25
 Il titolo completo del testo arabo è Al-Kitab al-muktasar fi hisab al-
jabr wa'l-muqabalah, ossia “Breve opera sul calcolo con restaurazione
e riduzione”.
 Algebra retorica
 È strutturato in


breve introduzione sui contratti commerciali e sui calcoli relativi eseguiti attraverso la
regola del tre, già nota ai matematici indiani;
tre capitoli di varie lunghezza dedicati rispettivamente



all’algebra;
alla geometria piana e solida;
ai problemi di spartizione di eredità, estremamente macchinosi nel diritto coranico.
 Le traduzioni latine si discostano in vari passi da questi contenuti e si
limitano alle prime due parti, escludendo la parte di geometria e quella
sui calcoli per le eredità .
I termini primitivi
26
 i numeri necessari per il calcolo con completamento e riduzione sono di
tre tipi: radici, quadrati e numeri semplici, che non sono né radici né
quadrati.
 Una radice (jidr)è una quantità che è da moltiplicare per se stessa, ed
è costruita di unità (ascendente) o frazioni (discendente).
 Un quadrato (mal) è il valore totale della radice moltiplicata per se
stessa.
 Un numero semplice (dirham) è qualsiasi numero che può essere
nominato senza fare riferimento a radice o quadrato”.
Forme normali e regole
27
 Equazioni semplici
Caso 1: Quadrati uguali a radici (ax2 = bx)
 Caso 2: Quadrati uguali a numeri (ax2 = c)
 Caso 3: Radici uguali a numeri (bx= c)
 Equazioni composte
 Caso 4: Quadrati e radici uguali a numeri (ax2 + bx = c)
 Caso 5: Quadrati e numeri uguali a radici (ax2 + c = bx)
 Caso 6: Radici e numeri uguali a quadrato (bx + c = ax2)

Inizio
Quarto tipo
28
 ax2 + bx = c
Leggi equazione
ax2 + bx = c
a, b, c > 0
a=1?
no
Dividi a, b, c per a
(al-hatt)
sì
Calcola b/2
 NB:
x
>0
 1 sola soluzione
Calcola (b/2)2
Calcola (b/2)2 + c
Estrai la radice
quadrata
Calcola
x = sqr((b/2)2 + c) - b/2
Fine
Poni
b = b/a
c = c/a
Inizio
Quinto tipo
Leggi equazione
ax2 + c = bx
a, b, c > 0
29
a=1?
no
Dividi a, b, c per a
(al-hatt)
sì
•ax2 + c = bx
Poni
b = b/a
c = c/a
Calcola b/2
Calcola (b/2)2
•NB:
Dichiara la soluzione
impossibile
(non esistono soluzioni reali)
sì
(b/2)2 < c
no
x
>0
 Nessuna soluzione
 1o 2 soluzioni
(b/2)2 = c
sì
Calcola
x = b/2
sì
Calcola
x = b/2 ± sqr((b/2)2 – c)
no
Calcola (b/2)2 - c
Estrai la radice
quadrata
b/2 > sqr((b/2)2 – c)
no
Calcola
x = b/2 + sqr((b/2)2 – c)
Fine
Inizio
Sesto tipo
30
Leggi equazione
bx + c = ax2
a, b, c > 0
a=1?
 bx + c = ax2
x
>0
 1 sola soluzione
Dividi a, b, c per a
(al-hatt)
sì
Calcola b/2
 NB:
no
Calcola (b/2)2
Calcola (b/2)2 + c
Estrai la radice
quadrata
Calcola
x = sqr((b/2)2 + c) + b/2
Fine
Poni
b = b/a
c = c/a
Dimostrazione del quarto tipo
x2 + 10x = 39
31
 Dati

1 quadrato di area a·b (a=b) che rappresenta x2

4 rettangoli equivalenti (c,d,e,f) con dimensioni a, 2 unità e ½
 Per completare il quadrato maggiore, si aggiungono quattro quadrati
con perimetro tratteggiato di area 6 unità e ¼
 Quindi per risolvere l’equazione

Si aggiunge il quadruplo di 6 unità e ¼ (=25) a 39,
ottenendo x2 = 25+39 = 64

Da ciò si ricava che il lato del quadrato maggiore
misura 8; si sottrae il doppio di 2 unità e ½ (=5)
e si ottiene la misura di a (=b), cioè 3
I sei problemi
32
 “Ora io aggiungo questi problemi, che serviranno per portare
l’argomento più vicino alla conoscenza, per rendere la sua
comprensione più facile e per rendere gli argomenti più perspicui”
 Ogni equazione risolvente di un problema viene riportata ad uno dei 6
casi grazie a due operazioni basilari:


al-jabr (completamento; in latino restauratio), che consiste nell’eliminare i termini
negativi, addizionando termini positivi uguali nei due membri;
al-muqabalah (opposizione; in latino oppositio) che permette di sommare
algebricamente i termini dello stesso grado nei due membri.
 In definitiva, il procedimento presentato dall’autore per la soluzione di
un problema si può sintetizzare nei seguenti passi:



Tradurre il problema in un’equazione algebrica;
Ricondurre l’equazione ad uno dei casi noti;
Applicare l’algoritmo appropriato per arrivare alla soluzione.
Altri problemi
33
 Al- Khawarizmi prosegue poi la sua trattazione con altri trentaquattro
problemi, che, salvo una sola eccezione (il problema 7), possono essere
catalogati, secondo Oaks, in tre gruppi, sulla base del loro enunciato:
tipo “10”, “M” e “D”.
 Il testo dei problemi di tipo 10 incomincia con “Hai diviso il dieci in
due parti …”, cui segue una condizione che le parti devono soddisfare.
 Il testo dei problemi di tipo M riguarda invece la ricerca di un mal.
 I problemi di tipo D hanno invece a che fare con un certo numero di
dirhem divisi tra persone.
La regola del tre
34
 “Sai che tutte le transazioni commerciali tra le persone, come comprare
e vendere, barattare e prendere a prestito, prevedono sempre due
condizioni e quattro numeri, fissati da chi pone il problema; ossia,
misura e prezzo e quantità e somma. Il numero che esprime la misura è
inversamente proporzionale a quello che esprime la somma, e il
numero del prezzo è inversamente proporzionale a quello della
quantità. Tre di questi quattro numeri sono già noti, il quarto è
l’incognita e questa è implicita quando chi pone il problema chiede
“quanto?” ed è l’oggetto del problema.”
La geometria
35
 Tre parti sul calcolo di aree e volumi

Viene ricordata la proprietà dei triangoli rettangoli nota in Occidente come Teorema
di Pitagora, con dimostrazione geometrica diversa sia da quella euclidea sia da quella,
pur posteriore, di Bhaskara
Le fonti
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 Indiane: lessico (dhanam = mal; rupa=dirhem)
 Greche: era nota l’opera di Diofanto? Astratto vs.
concreto; Erone?
 Ebraiche: Mishnat ha Middot
 Babilonesi: tecnica cut and paste
 Oggi: sincretismo di fonti o originalità?
Definire la questione delle fonti
37
 Secondo Ruska (1917) e Sezgin (1974), si potranno fare progressi sulla
questione delle fonti solo grazie a:




scoperte di nuove fonti manoscritte;
discussione delle premesse alla fondazione di una letteratura matematica presso gli
Arabi;
reale approfondimento delle intenzioni e degli scopi;
precisa analisi terminologica.