Come si calcola con il Modello
Standard?
Lezione 14
cenni su sezioni d’urto,vitemedie,decadimenti
della W e della Z
riferimento Kane 9
two-body cross section
A+BC+D
4

2   4 PA  PB  PC  PD  d 3 PC
d 3 PD
d 
3
3
2
2 2




2
E
2

2
E
2

4 PA  PB   mA mB
C
D
M
2
è possibile riscrivere questa sezione d’urto in modo molto
compatto,nel CMS system delle particelle A e B, utilizzando le
proprietà della funzions 

1 PC dC
d  
M
2
s PA 64
Lorentz scalar
2
s  PA  PB 
2
S-matrix
beteween
final and
initial
states of
momentum
S fi   fi  2   Pf  Pi  iM fi 
4
1
2 E f ,i
4
f ,i
Pf and Pi it gives a
transition probability
d  V 2   4 Pf  Pi  M fi
4
volume of
space
two-body cross
section
d  V 2  
d
d 
flux
2
1

f ,i 2 E f ,iV
Vd 3 p f
 2 
3
f
sum /averege over
various degrees of
freedom
A+BC+D
ratio of the
transition
probability and
flux
definisce
la
normaliz
zazione
dell’elem
ento di
matrice
Mif
cross sections
4
4
PC  PD   PA  PB  M fi
 1
1
1
1
 



 2 E AV 2 EBV 2 ECV 2 EDV
2
 Vd 3 PC Vd 3 PD


3
3




2

2


cross section 
a b  cd
ni
densità fascio
vi
velocità particelle fascio
  ni vi
nb  densità vol. bersaglio
dx  spessore bersaglio
flusso  num particelle fascio / tempo, area
probabilit à
numero reazioni
tempo
di
 nb dx
transizion e nell ' unità tempo
d  d
reaction rate
 = probabilità della reazione a+b=c+d
probabilità che una particella del fascio a interagisca con b , creando c e d
two-body cross section
in the B rest
frame
vA
flux   
V
d
d 
flux
C
A+BC+D
vA 
PA  PB 2  mA2 mB2
B

A
D
E A mB
2
4 4










V
2


P

P

P

P
M
C
D
A
B
fi

d V 
d 
 
3
3

 v A    1  1  1  1  Vd PC  Vd PD 
 2 E V 2m V 2 E V 2 E V  2 3 2 3 

B
C
D
 A


2
4 4










2


P

P

P

P
M
C
D
A
B
fi


E A mB
d 

 1
1
1
1  d 3 PC d 3 PD 
2
2 2
PA  PB   mAmB   






3
3

 2 E A 2mB 2 EC 2 ED  2  2  

2
d 3 PC
d 3 PD
4 4
d 

M fi 
2   PC  PD   PA  PB 
3
3
2
2 2
2 EC 2  2 ED 2 
4 PA  PB   mA mB 

1
4

2   4 PA  PB  PC  PD  d 3 PC
d 3 PD
d 
3
3
2
2 2




2
E
2

2
E
2

4 PA  PB   mA mB
C
D
M
2
Lorentz-invriant
decay probability
d 
AB+C
 PC  PB  PA  d PB d PC
4
1
2 
2
3
2E A
3
2 EB 2 EC

PC d
C
d  2
M
2
E A 32
M
2
si ottiene questa formula, calcolando d nel sistema in
cui A è a riposo (A rest system)
2
dato che:


  
 PC  PB  PA    PC  PB  PA  EC  EB  EA 
4
3
l’integrale su d3PB può essere valutato con la  di Dirac
l’integrale sull’energia è più sottile, dato che EB è funzione di EC
Si osserva che:   f x    x  x0  , se f x   0
0
f ' x 
1/ 2
  2
2
EB  PA  PC  mB
si valuta
l’integrale nel
2
2
2 1/ 2
  f    EC  EC  mB  mC  E A
rest frame di A

df
dEC

d E

C





2
B

2 1/ 2
C
 E m m
dEC
2
C
 EA
 E

A
EB
relazione tra vita media ,larghezza di una
risonanza e probabilità di decadimento
consideriamo una
particella instabile
d’altra parte, se
decade, ci
aspettiamo
vitamedia
 t    0 e t /
2
2
1
e, per ~ E  
vedere cosa
2
definiamo l’energia
complessa
E  E0  i 2
2
2




0
1
2
~E  
2
E  E0 2   2 4
probaibilità di
trovare lo stato
 con la
energia E
 t    0e iEt / 
la sua funzione
d’onda dovrebbe
avere la forma
uno stato
che decade
ha una
distribuzione
di energia
vuol dire,
facciamone
la
trasformata
di Fourier




dopo una
vitamedia,
la
probabilità
che la
particella
non sia
decaduta è
1/e
iEt / 
dt
e
 t 



1

 0 dte i  E  E0 t /  t / 
2
0
i 0
1

2 E  E0   i  2
vita media
ee  Z 0  X
scattering attraverso una risonanza
  p   1236    p
la particella incidente è
descritta da un’onda
piana
(formalismo dell’ottica
ondulatoria)
A B  R C  D
scattering amplitude di particelle senza spin
1
f   
2ik
 2l  1e
2i l

 1 Pl cos 
l
k = numero d’onda = il momento nel cms)
l’onda piana è la
sovrapposizione di
onde di diversi
momenti angolari l
solita espansione in onde
parziali dell’ampiezza di
scattering
l = variazione di fase della onda parziale l
l


1  d
  sin 2 
Pl cos   l 
2 l!  d cos   


l



in problemi di diffusione (scattering
problems ) si comincia con una onda
incidente piana eikz e si assume che l’onda
uscente sia
 r , ,    eikz   r 
cioè la somma dell’onda incidente e
dell’onda scatterata  r
con una
dipendenza angolare
f ( ,  )

 r , ,    e  r f ( ,  )e
ikz
1
ikr
per semplicità, in molti problemi si
assume una simmetria azimutale,
per cui
f ( ,  )  f ( )
inoltre si suppone di poter
applicare il metodo perturbativo.
la sezione d’urto differenziale è
    f ( )
1
f   
2ik
   
1
k2
2i



2
l

1
e

l
2

 1 Pl cos 
l
 2l  1e  sin  P cos 
i
l
l l
l

4


     sin d  2  2l  1sin 2  l
0
k
RICHIAMI
1
f   
2ik
quadrando,e integrando
sugli angoli  sezione
d’urto totale
l =/2
l
d cot  l
dE
k
2i l

E  ER
2

2
E R  E  i / 2
4
2 2
 2 2l  1
k
ER  E 2  i 2 / 2
l

 1 Pl cos 
l
4
1  2
k
2
2


2
l

1
sin
l

l
la sezione d’urto è grande  RISONANZA
2i sin  l
2i
definiamo

cos  l  i sin  l cot  l  i
2l  1Pl cos 
f   
 EL
k
2l  1 e
2 
in un singola onda parziale, 
e 2i l  1  2ie i l sin  l 
definiamo
 EL 

2i



2
l

1
e

E energia risonanza
E  ER , se  l   2
sviluppiamo in serie di Taylor
d cot  l
cot  l  cot  l ER   E  ER 
dE
E  ER
alla risonanza cotl=0
cotl decresce attraverso la risonanza.
BREIT WIGNET RESONANCE
BREIT
WIGNER
= larghezza a
mezza altezza
della risonanza

2l  1Pl cos 
f   
k
 EL
2
E R  E  i / 2
4
2 2
 2 2l  1
2
k
 E R  E   i 2 / 2
 misura la
velocità della
variazione di
l vicino alla
risonanza
  p   1236    p
questa sezione
d’urto ci dice che
dopo aver
integrato sugli
angoli ,tutte le l+1
componenti lz
contribuiscono
nello stesso modo
per quanto
riguarda gli stati
inziali bisogna
mediare sugli
spin iniziali, e
cioè sommare
sulle proiezioni,
ma dividere per
(2SA+1)(2SB+1)
 EL
4
2 2
 2 2l  1
k
ER  E 2  i 2 / 2
gli spin degli stati finali contribuiscono nella stessa maniera:
un fattore (2s+1) per ogni particella dello stato finale gluoni e
fotoni, che hanno solo polarizzazione trasversa contribuiscono
con un fattore 2
A  B  R  C  D  E....
s A , c A s B , cB s R , cR
2

2sR  1cR
 2
k 2s A  1c A 2sB  1cB ER  E 2  iR 2 / 2

R
AB
f
R
AB è la larhezza parziale per RAB
il colore da
fattori simili
Rf è la larghezza parziale dello stato finale
cinematica e variabili Lorentz invarianti
A  B  R  C  D  E....
2

2sR  1cR
 2
k 2s A  1c A 2sB  1cB ER  E 2  iR 2 / 2
R
AB
f

s  PA2  PB2  E 2
sR  ER2  m 2
k
s  m
A
 mB
  s  m
2
A
 mB
R

2
4s
2

4s
2sR  1cR
 2
k 2s A  1c A 2sB  1cB s  mR2 2  mR R 2 / 2

R
AB
f

R
THE W

PC d
C
d  2
M
2
E A 32
quali sono i
decadimenti
permessi?
tutte queste
particelle
hanno
spin=1/2
bisogna calcolare l’elemento di
matrice sommato e mediato sugli
spin e valutare l’integrale sugli
spinori
angoli
di e ,
W  e  e , ud


W      , cs
W      ,
tutte hanno lo
stesso
fattore di
vertice
g2
2
2
sommare sugli spin finali
e mediare sugli spin
iniziali
WIDTH
g2
M
  e   PL
2
W
polarization
wave function
PL permette solo ai leptoni sinistrorsi di interagire
con W
contiamo solo uno stato per e+,   fattore=1
W ha tre stati di polarizzazione, ma mediamo, per
la W iniziale  fattore=1.
Il fattore e ha le dimensioni di una massa ed
l’elemento di matrice al quadrato,M2, deve avere le
dimensioni di una massa-2.Le masse di e e  sono
molto piccole. Contiamo solo MW. Quindi poniamo

  e  PL  MW
g2
2
M 
MW
2
2
2
e quindi
il conto non è
esatto è sbagliato
per un fattore
2/3
2
g
2
2
2
M 
MW
3
introduciamo
g2 2 2
M 
MW
3
2

PC d
C
d  2
M
2
E A 32
Pe d e g 2 2 2
d  2
MW
2
M W 32 3
2
nel sistema di riposo della W
integriamo su

trascurare le
masse di e , 
W
 d  4
e
MW
Pe  P  P0e 
2
e 
2MW
12
2
 2  g 2 4
;
e
1
le coppie
diquark
possono
essere in
ognuno dei
3 colori
3

W   e e , W   ud
W      , W   cs

W      , W  tb ?
3 

TOT
W
9

12
i branching-ratio dei
decadimenti in quark
devono essere tre volte
più grandi dei
branching- ratio in
leptoni se è vera
l’ipotesi della carica di
colore. Le larghezze
parziali stanno nelle
stesse proporzioni
 12  e   2 M W
questo è un conto sbagliato, perchè la massa del top,168,297,,64 GeV
è troppo alta, e quindi il decadimento W   tb ? è proibito.
permette comunque di avere un valore della larghezza della W
entro ~ 25%. Le misure precise di questa larghezza hanno
permesso di fissare un limite inferiore alla massa del top
W+: alcuni valori numerici dal Particle Data Book
M W  80,4  0,05GeV
tot  2,12  0,05GeV
W
dal Kane:

TOT
W
e
W

 2.7GeV
 0.23GeV
Wud  0.68GeV
i tot
decay modes
e 
10.66  0.20%
 
10.49  0.29%
 
10.4  0.4%
cs
l 
32 %
13
11
10.56  0.14%
Z0 width
Z0  ee
Z 0   e e
la Z0 ha solo “interazioni di
flavor” diagonali
Z 0  uu
Z 0  dd
la prima famiglia
lo stesso accade per le altre famiglie, a parte il
decadimento  tt . I canali con i quark hanno la
larghezza parziale 3 volte più larga di quella a leptoni.
Basta quindi calcolare uno di questi decadimenti: per
esempio il primo
Z0 width
Z
LSU ( 2 )
g2

cos  w
  f  f T

f  e e ,u , d
L
L
3
f



 Q f sin 2  w  f R  f R 0  Q f sin 2  w Z 
Consideriamo il decadimento in e+e- e calcoliamo l’elemento di
matrice M (e+e- ). Questo è fatto in analogia alla matrice di
decadimento della Wee
M ee
g 2       1

   
2
2

eL  eL    sin  w   eR eR 0  sin  w 

cos  w 
 2


dato che eL  eL  eL  PL eL tutti i termini hanno la stessa
forma di quelli dei decadimenti della W. Tutti i conti che
seguono sono fatti in analogia a quelli già visti per la W, con
le opportune sostituzioni.
Z0 width
Faremo questa valutazione trascurando le masse dei
fermioni. Se trascuriamo le masse, cioè le consideriamo
uguali a 0, un eR non può trasformarsi in un eL. Non può
esserci spin flip: i due termini non interferiscono. Con
questa approssimazione ci aspettiamo per ogni fermione
correzioni dell’ordine m f M W .
Per calcolare la Z ee procederemo quindi prendendo la
W e e sostituendo l’accoppiamento
 g2 
 g2 
 

e e :
  
 2
 cos  w 
2

e
e
uu :
 


2
Z0 width
2
 1

2
2
   sin  w   0  sin  w

 2


2



2
2
2
 2   1  2 2

4

g:2 
g
1
2
2



2 w
2
2  sin  w  2 sin 

 cos
  4    sin  w    0  sin  w  

w
cos 
3
2 
2 3
 

2g

w  


2
2
 1 1 2  2  1 2  2 


g2
 g2 
   sin  w    0  sin  w  
dd : 
  
3
 
 
 2 2
 cos  w 2  2 3 2

 g 2   1
 g2 

2
   0   0  0 
 :
  

 2

 cos  w   2
2
 g2   1
 
   sin 2  w  2 sin 4  w 
e e : 

 cos  w   4
 g 
u u :  2 
 cos  w 
2
8 4 
1 2 2

sin


sin  w 

w
9
4 3

 g2 

 : 
 2 cos  w 
2
2
 g2   1 1 2
2
   sin  w  sin 4  w 
d d : 
9

 cos  w   4 3
Z0 width
calcoliamo ora il decadimento parziale
 g2 

 : 
 2 cos  w 

Z
2
ricordando la larghezza parziale del decadimento
e 
2MW
12
 2  g 22 4
sostituiamo  2 con

;
 2 / 2 cos  w
2
e
W
2M z
Z 
24 cos 2  w

Z0 width
calcoliamo ora il decadimento parziale

ee
Z
 g2   1
 g 2 2 

1
 
2
4
2
4
   sin  w  2 sin  w   
e e : 

1

4
sin


8
sin
w
w
2


 2  2 cos  w 
 cos  w   4
2


e procediamo come prima:
ee
Z

2M z
2
4


1

4
sin


8
sin
w 
w
2
24 cos  w
e
W


 2MW
12
 2  g 22 4
;
Z0 width
Quanti stati abbiamo? Per ogni famiglia
2
decadimenti leptonici
23 decadimenti in quark
quindi in totale 38=24 decadimenti tutti uguali
Z0 width
ee
Z


Z
2M z
2
4


1

4
sin


8
sin
w 
w
2
24 cos  w
2M z

2
24 cos  w
3 2 M z  8 2
32 4 
 
1  sin  w  sin  w 
2
24 cos  w  3
9

uu
Z

dd
Z
3 2 M z  4 2
8 4 

1  sin  w  sin  w 
2
24 cos  w  3
9

Z0 :alcuni valori numerici dal Particle Data Book
M Z  91.18  0,0022GeV
tot  2,49  0,0026GeV
Z
0
decay modes
i tot
dal Kane:
l l 
3,367  0.0026%

3.367  0.005%
TOT
Z
 2.64GeV
ee
ee
W
 0.36GeV
  

3.367  0.008%
Zu u  0.28GeV
  
Zd d  0.36GeV
cc
11.68  0.34%
hadrons
69.89  0.07 
W   0.16GeV
3.367  0.009%
la larghezza della Z0
• Una delle cose più importanti
a proposito del full width della
Z0 è che ogni nuova particella
che ha spin isotopico debole
diverso da 0, e quindi si
accoppia con la Z0 apparirà
nei decadimenti della Z0
• quindi se esiste una nuova
famiglia, con dei nuovi
neutrini, che abbiano
massa<MZ/2, ci aspettiamo un
decadimento in neutrino
antineutrino
• ogni neutrino contribuisce
con un fattore di 160Mev alla
larghezza totale
ee  Z 0  X
la lagrangiana per fermioni e bosoni di gauge
LU (1) 
Z
LSU ( 2 )
W
L SU ( 2 )

è la somma di tutti questi termini, scritti
esplicitamente



eQ
f

f
A
 f
f  e ,u , d
g2

cos  w
  f  f T

f  e e ,u , d
L

L
f
3



g2

u L  d L  eL  eL W   ...
2
Lgluoni
SU ( 3) 
 a
a
q


q
G
    
f u , d


 Q f sin 2  w  f R  f R  Q f sin 2  w Z 
ee  Z 0  X
M Z  91GeV ,   2.5GeV
LEP
la seconda regola d’oro di Fermi
probabilità di transizione da uno stato iniziale i ad uno stato finale f per l’unità di tempo

reaction rate
22
2
W
M ifif  f


elemento di matrice
tra gli stati finali ed
iniziali

dN
f 
dE

densità
degli stati
finali

 
2
 2 
W     M if  f
  
t   Et  E 2 E 1
  



La transizione avviene da uno stato iniziale i ben
definito, cioè con momenti, momenti orbitali e spin
ben definiti a stati finali f che devono conservare
energia totale, impulso totale,momento angolare
totale.
Queste conservazioni non individuano generalmente
un unico stato finale.
La densità degli stati finali f ci da il numero di stati
finali possibili N per intervallo unitario di
energia,diversi ma che soddisfano le varie
conservazioni
N non è infinito, come potrebbe sembrare, perchè
una particella quantistica va considerata racchiusa in
una celletta di dimensioni finite, perchè solo così il
suo impulso è quantizzato, e non varia con continuità
Lo spazio della fasi è suddiviso in cellette, in ognuna
delle quali può cadere solo un punto, quindi la
densità degli stati finali è finita
Il meccanismo dell’interazione che provoca una data
transizione è nascosto in Mif, o meglio nel potenziale
V.
Nei casi in cui l’elemento di matrice è costante e può
essere considerato circa 1, allora la probabilità di
transizione dipende solo dalla densità degli stai
p
n
W W
W
u
d
e
e