I Sistemi Lineari
• Molti, problemi per poter essere risolti,
hanno bisogno dell’introduzione di uno o
più elementi incogniti.
• Ad esempio consideriamo il problema di
“trovare due numeri data la loro somma
uguale ad 8 e la loro differenza uguale a 2”.
• Risolviamo il semplice problema con una equazione di
primo grado in una incognita.
• Indicando con x il numero maggiore, quello minore sarà
8-x.
• Sapendo che la loro differenza deve essere uguale a 2,
si ha l’equazione
x-(8-x)=2
2x-8=2
2x=10
X=5
che rappresenta il numero maggiore. Il minore sarà di
conseguenza 8-x = 8-5 = 3
Pertanto la coppia di numeri richiesta è (5,3).
• Consideriamo, ora, un altro problema:
1
“trovare due numeri tali che del primo
7
2
è uguale ai 9 del secondo e che la
5
differenza tra i del secondo e i 3 del
6
8
primo sia uguale a 9
• Gli alunni non riescono a risolverlo con
un’equazione ad una incognita e
saranno essi stessi a suggerire di
introdurre due incognite .
• Indicando con x e y, rispettivamente il primo ed il
secondo numero, traduciamo in forma algebrica
le due condizioni cui i due numeri devono
soddisfare cioè
1
2
x
y
7
9
5
3
y x9
6
8
• Gli alunni si rendono conto della difficoltà di
pervenire alla soluzione del problema posto,
l’insegnate li tranquillizza annunciando che
esistono procedimenti semplici che conducono
alla soluzione del problema.
• Consideriamo un’equazione lineare in due
incognite del tipo ax+by = c e facciamo vedere
che esistono infinite coppie di numeri x e y che
verificano l’equazione data.
• Per esempio, data l’equazione
2y = x+8
x8
y
2
• Attribuendo valori diversi alla x si ottengono i
corrispondenti valori di y. Si ha la seguente
tabella
x
0
1
2
3
4
……
y
4
9/2
5
11/2
6
……
dalla quale si deduce che le coppie ordinate
(0,4) (1, 9/2) (2, 5), (3, 11/2), (4, 6), etc.sono
soluzioni dell’equazione data e se ne possono
trovare quante se ne vogliano
• Allo stesso modo una qualunque altra
equazione in due incognite ad esempio
y=x+3
ammette infinite soluzioni
x
0
1
2
3
4
……
y
3
4
5
6
7
……
• Se tra le infinite soluzioni della prima equazione
e le infinite della seconda ne esiste una
comune,allora si dirà che tale coppia è la
soluzione del sistema formato dalle due
equazioni date, le quali si associano con una
parentesi graffa
y  x  3

2 y  x  8
• Dalle tabelle precedenti si ricava che la coppia
(2,5) è soluzione di entrambe le equazioni del
sistema e, quindi, è soluzione del sistema
Si dice SISTEMA di due equazioni in due incognite
un insieme formato da due equazioni
che devono essere verificate contemporaneamente
e avere dunque soluzioni comuni.
Ogni soluzione comune a tutte le equazioni di un
sistema, si chiama
soluzione del sistema.
Risolvere un sistema,
significa trovarne tutte le eventuali soluzioni.
Un sistema di due equazioni di primo grado in due
incognite x, y, a coefficienti numerici, si dice ridotto a
forma normale, se è del tipo:
ax  by  c

a ' x  b ' y  c '
Dove a, b, c, a ' , b' , c' indicano numeri noti.
I numeri a, b, a' , b' si chiamano
coefficienti delle incognite,
mentre c, c ' si chiamano termini noti.
Un sistema costituito solo da equazioni di primo grado
si dice
SISTEMA LINEARE
Vediamo un esempio di sistema
che risolviamo con il metodo di Cramer:
3(7 x  y )  93

3x  4 y  0
Per ridurre a forma normale il sistema
3(7 x  y )  93

3x  4 y  0
dividiamo ambo i membri della prima equazione per 3
ottenendo il sistema equivalente:
7 x  y  31

3x  4 y  0
dove:
a
b
c
a'
b'
c'
7
1
31
3
-4
0
Un metodo per risolvere un sistema lineare
di due equazioni in due incognite:
METODO DI CRAMER …
a b 
il simbolo 

a
'
b
'


si chiama
MATRICE DEI COEFFICIENTI.
Dato il sistema
ax  by  c

a ' x  b ' y  c '
a b
il simbolo
a ' b'
si chiama
DETERMINANTE DELLA MATRICE
a b
a ' b'
diagonale secondaria
diagonale principale
Il DETERMINANTE DEL SISTEMA
lo indicheremo con  ed esso è dato da:

=
a b
a ' b'
=
a b ' - b a'
x =
Adesso
indichiamo
c b
c ' b'
=
c b' - b c'
abbiamo sostituito nel

a, a’ con c, c’
con
y =
a c
a' c'
=
abbiamo sostituito nel
a c ' - c a'

b, b’ con c, c’
VALE LA SEGUENTE REGOLA:
SE

0
la soluzione del sistema è
x

x





y  y


NEL NOSTRO CASO, DOVE
a
7
a'
3
1
-4
b
b'
c
31
c'
0
SI HA:



=
X
Y
=
=
7
1
3 4
31 1
0 4
7 31
3 0
7  ( 4 )  3  1
=
-31
= 31 (4)  0 1
=
-124
=
-93
=
=
7  0  3  31
PERTANTO …
… LA SOLUZIONE DEL NOSTRO SISTEMA E’:
x

x





y  y


;
x  4

y

3

 124

 x   31

 y   93

 31
•
Risolviamo lo stesso sistema con il metodo di
sostituzione che si applica seguendo la seguente
regola:
1)Si risolve una delle equazioni rispetto ad una
incognita, per es. la y
2)Si sostituisce l’espressione così trovata al posto della
y nell’altra equazione.
3)Si risolve questa equazione rispetto all’incognita y e si
viene così ad determinare il valore di questa incognita.
4)Il valore della y si ottiene sostituendo il valore della x
nella rispettiva espressione prima trovata
7 x  y  31

3x  4 y  0
Esplicitiamo la y dalla prima
equazione e si ha
 y  7 x  31

3x  4 y  0
Sostituiamo il valore trovato
nell’altra equazione
 y  7 x  31

3x  4(7 x  31)  0
 y  7 x  31

3x  28 x  124  0
 y  7 x  31

31x  124  0
Si risolve la seconda equazione
 y  7 x  31


124
x
4

31

E sostituendo il vaolre nell’altra equazione
x  4

 y  7  4  31
x  4

 y  28  31
x  4

y  3
La soluzione è (4;3)