Assiomatica
tra Matematica e Filosofia
Logica nell’Ottocento
Quadro storico
L. classica
L. intuizionista
L. minimalista
Assiomatica
To home page
Logica nell'Ottocento


algebrico-logico-->la logica intesa
come un ramo della matematicaLeibniz-Boole-Bourbaki->Strutture
algebriche
insiemistico-logico-->fondamento
logico della matematica-Cantor-FregeRussell

costruttivistico-->la mat. come
risultato di costruzioni mentali>Poincaré

assiomatico-formalistico-->la teoria
matem. giustificata dalla correttezza
formale-> Hilbert
Storicamente sono state
individuate almeno tre logiche
fondamentali:
 Classica
 Intuizionista
 Minimale
Logica classica
Rappresenta un atteggiamento
deterministico e descrittivo.
Se affermo la proposizione p
intendo che p vale
oggettivamente.
Logica intuizionistica
Atteggiamento
epistemologico:
se affermo p, intendo che
“conosco p”, e ogni
contraddizione è fatale.
Logica minimalista
Atteggiamento
epistemologico:
se affermo p, intendo che
“conosco p”, ma ammetto la
possibilità di contraddizioni
locali.
ASSIOMATICA
Euclide
elementi
postulati
teoremi
Hilbert
Frege
Peano
definizioni implicite riduzione alla logica teoria dei numeri
postulati
teoremi
Russell
antinomie
Figure storiche dell’assiomatica
 Euclide
 Peano
 Russell
 Gödel
Euclide - sistema logico
Definizioni




Punto è ciò che non ha parti
Linea è una lunghezza senza larghezza
Estremi di una linea sono punti
Linea retta è quella che giace
ugualmente rispetto ai suoi punti
estremi
Euclide - sistema logico
Postulati



una linea retta può essere tracciata da
un punto qualsiasi a un altro
un segmento rettilineo può essere
prolungato in linea retta fino a una
lunghezza qualsiasi
con centro in un punto qualsiasi si può
tracciare una circonferenza avente
raggio arbitrario

tutti gli angoli retti sono uguali fra di loro

se una retta, incontrandone altre due,
forma dallo stesso lato due angoli
interni che sommati sono minori di due
retti, allora le due rette all’infinito si
incontreranno dal lato in cui gli angoli
sono minori di due retti
Peano

1 è un numero naturale

per ogni numero naturale x esiste un
unico num. nat. che è il successivo di x

non vi è alcun num. nat. Il cui
successivo sia 1

se due num. nat. x e y sono tali che i
loro successivi x’ e y’ sono uguali, allora
sono uguali

principio di induzione: sia M un
sottoinsieme di num. nat. con le
seguenti proprietà:
a)1 appartiene ad M
b)x appartiene a M implica che x’
...appartiene ad M
Allora M è l’insieme di tutti i num. nat.
Antinomie
sono legate a situazioni di
autoriferimento



Il mentitore :” io mento”(scuola di Mileto)
Il barbiere :”…….rade quelli che non
radono sé stessi”
Gli insiemi e l’insieme delle sue parti
(Russell
Antinomia di Russell
l p
a b
c d e …………..
m n ……….z
f...
 insieme A, (A)
o... r ... t
A
insieme delle parti di A:
(A)={,a,b,..,{a,b},…{d,e,f},………….A}
contiene come elementi tutti i sottoinsiemi di A, propri
e impropri (quindi anche l’insieme vuoto e A stesso).
Quindi A(A)
Quindi:
Se indichiamo con S l’insieme di
tutti gli insiemi sarà:
A :
AS e (A) S
e quindi anche (S)S
contraddizione!!!!!!!!!!!!!!!!
perché S(S)
Gödel
un sistema T di postulati può avere queste
caratteristiche:


Non contradditorietà o coerenza:
non può essere che
pT e
non pT
Indipendenza: un postulato p è
indipendente dagli altri , che formano T,
se né p né non p sono deducibili da T

Completezza: p T->( p
aut non p)

ossia per ogni p, T è capace di
dimostrare p o
non p

ossia è impossibile formulare un nuovo
postulato indipendente da quelli
assegnati

ossia è in grado di decidere il valore di
verità di una sua proposizione

Decidibilità: T è decidibile se è possibile
per ogni p decidere se si tratta di un
teorema di T
I teoremi di Gödel

Ogni insieme contraddittorio è
completo

Un sistema T di postulati non può
essere completo e non
contraddittorio
Definizione:
dato un sistema T di postulati, se
due modelli che soddisfino tutti i
postulati sono isomorfi allora si
dice che il sistema è categorico
 Teorema
: un sistema T può
essere completo e
categorico
Nel secolo attuale la scoperta più importante è
certamente da attribuire a Kurt Gödel (19061978), un matematico austriaco emigrato negli
Stati Uniti e membro dell'Institute for Advanced
Studies di Princeton, dove gli fu assegnato il
Premio Einstein nel 1951. Gödel è poco
conosciuto: il suo carattere modesto e l'altissimo
grado di astrattezza delle sue ricerche non l'hanno
certo portato alla ribalta della popolarità; tuttavia
qualcuno non esita a definirlo l'Einstein della
matematica.
La matematica abbonda di proposizioni generali, alle
quali non si è mai trovata un'eccezione, che hanno
resistito a tutti i tentativi di dimostrazione. Un esempio
classico è noto come teorema di Goldbach, e afferma
che ogni numero pari è somma di due numeri primi.
Non si è mai trovato un numero pari che non fosse la
somma di due numeri primi, ma nessuno è riuscito a
dimostrare questa congettura. Ciò detto, supponiamo che
modificando gli assiomi dell'aritmetica o aggiungendone
altri il teorema di Goldbach giunga ad essere dimostrato;
i risultati di Gödel provano che questo non porterebbe
alcun rimedio sostanziale, perché vi sarebbero sempre
altre verità aritmetiche non deducibili dagli assiomi di
partenza.
………..due difficoltà.
Una di natura sostanziale, enunciata da Gödel nel
suo celebre teorema: all'interno di un corpo di
assiomi, cioè di un certo linguaggio formale, noi
possiamo enunciare correttamente dei teoremi dei
quali però non riusciamo a dimostrare né la verità
né la falsità. Prima o poi ci dobbiamo scontrare
con una indecidibilità radicale: l'unico modo per
evitarla sarebbe aumentare continuamente il
numero di assiomi ma questo porterebbe ad una
regressione all'infinito.
C'è però anche una difficoltà di tipo pratico. Se il
modello teorico che adottiamo non è quello adeguato al
mondo reale, la nostra descrizione del mondo può
richiedere tempi più lunghi di quello che sta accadendo
nella realtà; a questo punto il problema diventa
intrattabile.
"Teorema di incompletezza" :
Tutte le assiomatizzazioni coerenti dell’aritmetica
contengono proposizioni indecidibili.
….basi sono….mobili e relative ad altri presupposti ; ciò
richiama alla mente i risultati di Einstein, per cui un
sistema di coordinate è sempre relativo ad un altro
sistema di coordinate .
….logica fino a Gödel usata, che fondavano anche la
razionalità scientifica, e cioè il dualismo vero/falso. I
fisici devono dunque scegliere quale matematica usare,
oltre a scegliere, come abbiamo visto in precedenza,
quale geometria usare.
……. La limitazione imposta da Gödel obbliga ad
accettare la contraddizione o a superarla passando ad un
sistema più ampio.
Mostra i limiti della visione dualistica della
matematica e della scienza : il dualismo
verificabilità/falsificabilità, il dualismo
soggetto/oggetto e osservatore/osservato…..
Gödel aveva evidenziato che la nozione di
‘dimostrabilità’ è più debole di quella di ‘verità’
(poiché vi sono enunciati veri non dimostrabili)
Il teorema di indecidibilità
Questo teorema si può enunciare, con qualche
semplificazione, come segue:
Se un sistema formale S è consistente, allora
esiste un enunciato V vero ma non dimostrabile
in S
cioè la consistenza di S implica l'esistenza di
(almeno un) enunciato V vero ma non
dimostrabile in S.