Corso di Laurea in
Scienze e tecniche psicologiche
Esame di
Psicometria
L’anova fattoriale between
A cura di
Matteo Forgiarini
[email protected]
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Il test anova
Esercitazione N° 5 – L’anova
between
Spesso per scopi di ricerca siamo interessati a stabilire se due popolazioni indipendenti in media
mostrano valori statisticamente diversi per la stessa variabile osservata – misurata su scala
ordinale.
Nelle precedenti analisi abbiamo affrontato e risolto questo problema mediante il t-test:
abbiamo confrontato le due medie osservate sui due differenti campioni e analizzando la
significatività del valore t sperimentale, abbiamo potuto decidere se accettare o rifiutare
l’ipotesi nulla di uguaglianza delle due medie.
Ma...
Se si volessero confrontare contemporaneamente i valori medi di più di due campioni?
Ad esempio, in riferimento al file “competenze.sav”, è possibile domandarsi se i soggetti nati
prima del 1948, tra il 1948 e il 1954 e i dopo il 1954, abbiano in media la stessa pressione
massima.
È un tipo di domanda frequente in molte ricerche: di fatto stiamo cercando di capire se il fattore
“età” influisce sulla variabile “pressione massima”; ovvero se nelle 3 differenti fasce di età i
soggetti hanno in media la stessa pressione o se le medie differiscono significativamente.
In questo caso non è possibile utilizzare i modelli di regressione perché la V.I. non è
quantitativa.
Per rispondere a questo tipo di domande occorre utilizzare il test anova.
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Il test anova
Esercitazione N° 5 – L’anova
between
Occorre utilizzare l’anova ogni volta che:
•Si vuole sapere se una V.D. (misurata su scala a rapporto o a intervallo) presenta valori medi
uguali nei diversi livelli di un a V.I. (misurata su scala qualsiasi).
Cioè:
•Si vuole sapere se una variabile categoriale influisce su una variabile quantitativa.
•Ogni livello della V.I. forma un gruppo di soggetti: dunque ogni livello della V.I. ha un proprio
valore medio della V.D.
•La V.I. ha più di due livelli: dunque occorre confrontare contemporaneamente più di due medie.
•Se la V.I. ha 2 livelli, è indifferente utilizzare l’anova o il t-test (cfr. diapositive successive).
Indicando con µ1, µ2, … µk le medie della V.D. nei k livelli della V.I., l’ipotesi nulla del test anova
risulta:
H0: µ1= µ2=…= µk
H1: µ i≠ µj per almeno una coppia di livelli della V.I. (i e j indicano 2 generici livelli della V.I.)
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L’anova between fattoriale
Esercitazione N° 5 – L’anova
between
Oltre alle applicazioni fino ad ora affrontate, l’anova permette di rispondere a domande più
complesse: infatti è possibile inserire contemporaneamente più di un avariabile indipendente.
Ovvero...
È possibile eseguire l’anova su disegni fattoriali tramite i quali viene testata, oltre agli effetti
principali dei singoli fattori sulla variabile dipendente, anche l’interazione tra i fattori stessi.
Infatti se sulla variabile dipendente agiscono 2 fattori contemporaneamente è possibile che essi
interagiscano tra loro e che l’effetto di un fattore sulla variabile dipendente sia “modulato”
dall’altro fattore, ovvero è possibile che l’effetto del fattore 1 assuma valori differenti nei
diversi livelli del fattore 2.
Ipotizziamo di testare l’ipotesi che la pressione sanguigna sia influenzata contemporaneamente
dal sesso dei soggetti (livello1=femmina;livello2=maschio) e dall’essere fumatori o no dei
soggetti stessi.
Stiamo testando un anova between fattoriale 2X2.
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L’anova between fattoriale
Esercitazione N° 5 – L’anova
between
Per testare i modelli anova fattoriali, occorre scegliere il modello lineare generalizzato univariato; nei
fattori fissi, inseriamo il “genere” e la variabile “fuma”; inoltre l’analisi dei grafici risulta interessante
e utile alla comprensione: selezioniamo “plots” e inseriamo i due fattori per ottenere due diverse linee;
infine “aggiungiamo” il grafico desiderato.
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L’anova between fattoriale
Esercitazione N° 5 – L’anova
between
Tests of Between-Subjects Effects
Dependent Variable: pres sione mas sima
Effetti
principali
Interazione
Type III Sum
Source
of Squares
Corrected Model
10596,207 a
Intercept
1729967,459
genere
616,785
fuma
8907,754
genere * fuma
59,637
Error
9847,069
Total
1836589,000
Corrected Total
20443,276
df
3
1
1
1
1
94
98
97
Mean Square
F
3532,069
33,717
1729967,459 16514,249
616,785
5,888
8907,754
85,033
59,637
,569
104,756
Sig.
,000
,000
,017
,000
,452
a. R Squared = ,518 (Adjusted R Squared = ,503)
Testando un modello fattoriale con due variabili indipendenti verranno eseguiti 3 test f: un test
per l’effetto principale del fattore 1, un test per l’effetto principale del fattore 2 e un test
sull’interazione tra i due fattori.
Dall’analisi degli output, possiamo notare che gli effetti principali dei due fattori risultano
significativi (p-value<0,05): la media della pressione sanguigna dei maschi risulta statisticamente
diversa da quella delle femmine; similmente i non fumatori hanno una pressione media differente
dai fumatori.
Risulta interessante notare che l’interazione tra i fattori risulta non significativa: i due fattori
in modo indipendente hanno influenza sulla V.D., ma l’effetto di ogni fattore non varia nei
diversi livelli dell’altro fattore: il fattore “genere” influisce in ugual misura per i fumatori e per i
non fumatori; similmente è possibile concludere che il fattore “fuma” influisce sulla V.D. con la
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stessa forza in modo indipendente dal genere dei soggetti.
L’anova between fattoriale
Estimated Marginal Means of pressione massima
genere del soggetto
150
maschio
femmina
Estimated Marginal Means
145
140
Esercitazione N° 5 – L’anova
between
È possibile notare la mancanza di
interferenza tra i fattori anche
osservando il grafico che spss ha
prodotto: le linee sono quasi
parallele: infatti la riduzione di
pressione nei soggetti non
fumatori ha quasi la stessa entità
per i maschi e per le femmine.
Dicendo che le linee sono
“quasi” parallele, considerando
che l ’ interazione non risulta
significativa, affermiamo che il
“quasi” identifica una differenza
tanto piccola da non rendere
significativo l ’ effetto di
interazione.
135
130
125
120
fumatore
non fumatore
fuma
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L’anova between fattoriale
Tests of Between-Subjects Effects
Dependent Variable: pres sione mas sima
Type III Sum
Source
of Squares
Corrected Model
3945,062a
Intercept
1777436,257
genere
1404,369
città
627,491
genere * città
1690,121
Error
16915,298
Total
1881902,000
Corrected Total
20860,360
df
7
1
1
3
3
92
100
99
Mean Square
563,580
1777436,257
1404,369
209,164
563,374
183,862
a. R Squared = ,189 (Adjusted R Squared = ,127)
F
3,065
9667,234
7,638
1,138
3,064
Sig.
,006
,000
,007
,338
,032
Esercitazione N° 5 – L’anova
between
Analizziamo ora un modello
anova fattoriale che permetta di
capire se la pressione sanguigna
(V.D.) è influenzata dal genere dei
soggetti
(fattore
1)
e
contemporaneamente
dalla
residenza
in
diverse
città
lombarde (Bergamo, Milano,
Cremona e Varese) (fattore 2).
Dall’analisi degli output, notiamo che il fattore genere risulta significativo (p-value<0,05); il
fattore “città” risulta invece non significativo (p-value>0,05): possiamo quindi concludere che la
pressione sanguigna dei soggetti non è influenzata in modo significativo dai differenti stili di vita
delle 4 città lombarde.. Contemporaneamente la pressione dei soggetti maschi risulta
statisticamente diversa da quella dei soggetti femmine.
Ma...
Notiamo che l’interazione tra i due fattori risulta significativa (p-value<0,05): possiamo quindi
concludere che il fattore “genere” influenza la pressione sanguigna in modo differente nelle 4
città.
Esaminiamo il grafico...
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L’anova between fattoriale
Esercitazione N° 5 – L’anova
between
Estimated Marginal Means of pressione massima
città di provenienza
bergamo
cremona
145
varese
Estimated Marginal Means
milano
140
135
Le quattro rette non risultano
parallele: la riduzione media della
pressione sanguigna delle femmine
rispetto ai maschi non è omogenea
nelle 4 città lombarde considerate. In
particolare a Milano si può notare
che le femmine hanno in media una
pressione maggiore dei soggetti
maschi.
130
maschio
femmina
genere del soggetto
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Alcuni pattern di risultati possibili
MAINprincipali
EFFECTS
Effetti
B1
B2
B1
B2
A1
A2
A1
A2
Nessun
effetto
NO EFFECTS
B1
B2
B1
B2
A1
A2
A1
A2
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Alcuni pattern di risultati possibili
INTERACTIONS
Interazione
B1
B2
B1
B2
A1
A2
A2
A1
B2
B2
B1
B1
A1
A2
A1
A2
A3
A4
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