ANOVA BETWEEN
l’ANOVA BETWEEN è un’estensione del test T per il confronto tra
medie di due campioni indipendenti
disegni
fattoriali
Variabile indipendente
due
più di due
Anova
univariata a
una via
Anova
univariata a
due vie
Anova
univariata a
più vie
una
Anova
bivariata a
una via
Anova
bivariata a
due vie
Anova
bivariata a
più vie
due
Anova
multivariata
a una via
Anova
multivariata
a due vie
Anova
multivariata
a più vie
più di
due
Variabile dipendente
una
Between subjects: c’è un diverso gruppo di soggetti per ogni livello della
variabile indipendente
ANOVA BETWEEN – Introduzione
ANOVA BETWEEN
FATTORE/I: variabile/i indipendente/i
LIVELLI DEI FATTORI: numero di modalità di ogni variabile indipendente. Il numero
di fattori determina il numero di gruppi k.
ESEMPIO
ANOVA A 1 VIA: variabile indipendente “sesso”  2 livelli (“maschio” e “femmina”)
ANOVA A 2 VIE: variabili indipendenti “sesso” e “età”  3 livelli (“giovane”, “adulto”,
“anziano”)
ESEMPIO
EFFETTI PRINCIPALI: medie della variabile dipendente per ogni livello (“maschio”,
“femmina”, giovane”, “adulto”, “anziano”)
INTERAZIONI: medie della variabile dipendente per ogni cella di incrocio dei livelli
(“maschio*giovane”, “maschio*adulto”, “maschio*anziano”, “femmina*giovane”,
“femmina*adulto”, “femmina*anziano”)
ANOVA BETWEEN – Terminologia
ANOVA BETWEEN
Variabile indipendente X
Gruppo A
Media Gruppo A
Gruppo B
Media Gruppo B
Gruppo C
Media Gruppo C
Variabile dipendente Y yij valore della variabile Y
per il soggetto i (i=1,…,nj) appartenente al gruppo j (j=1,..,k)
ANOVA BETWEEN – A UNA VIA
ANOVA BETWEEN
yij  y  ( y j  y )   ij
Gruppo A
Gruppo C
Gruppo B
Le differenze TRA gruppi si misurano confrontando le medie di gruppo
con la media generale
y
 VARIABILITA’ TRA GRUPPI
 Misura dell’effetto del trattamento
ANOVA BETWEEN – A UNA VIA
yj
ANOVA BETWEEN
yij  y  ( y j  y )   ij
Gruppo A
Gruppo B
Gruppo C
Le differenze NEI gruppi si misurano confrontando i valori dei singoli soggetti yij con la
media del gruppo y j a cui appartengono  VARIABILITA’ NEI GRUPPI.
ij rappresenta il fattore casuale (detto errore sperimentale): errore non è sinonimo di sbaglio,
ma indica l’effetto di uno o più fattori sconosciuti, comunque non valutati o non controllati
nell'esperimento.
ANOVA BETWEEN – A UNA VIA
ANOVA BETWEEN
Gli errori εij:
devono essere tra loro indipendenti (il punteggio di un soggetto non deve
essere correlato con quello di altri soggetti). L’assegnazione casuale dei
soggetti alle diverse condizioni sperimentali fa in modo che le osservazioni
non siano correlate – Coefficiente di correlazione interclasse per la valutazione
dell’indipendenza,
devono essere distribuiti normalmente,
le varianze dei vari gruppi devono essere omogenee (omoschedasticità) –
Test di Levene per la verifica dell’omoschedasticità,
gli effetti hanno una natura additiva
ANOVA BETWEEN – A UNA VIA
ANOVA BETWEEN
j=1,2,…,k indice di gruppo
k
nj
i=1,2,…,nj indice dell’individuo
nj
k
k
j 1
j 1 i 1
2
2
2
(
y

y
)

(
y

y
)

n

(
y

y
)
  ij
 j
 ij j
j
j 1 i 1
Devianza totale
(n-1) gdl
Devianza TRA gruppi
Devianza NEI gruppi
(BETWEEN)
(WITHIN)
(k-1) gdl
ANOVA BETWEEN – A UNA VIA
(n-k) gdl
ANOVA BETWEEN
H0: m1=m2=…=mk
(le popolazioni di provenienza dei campioni hanno medie uguali per la variabile dipendente Y)
H1: mi ≠ mj per almeno un i e un j (i≠j)
(almeno due campioni provengono da popolazioni con medie diverse)
Statistica Test F di Snedecor
Dev Between
(k  1)
 F[( k 1),( n  k )]
DevW ithin
(n  k )
F(1,2)
F(2,4)
F(5,10)
La zona di rifiuto dell’ipotesi nulla
è sempre nella coda di destra.
ANOVA BETWEEN – A UNA VIA
F(10,50)
ANOVA BETWEEN
Lo studio investiga l’effetto che il mascheramento di un testimone ha sulla memoria e
sulla percezione dei giurati rispetto alla testimonianza dello stesso testimone.
Fattore between: “Presentation condition” con 4 livelli “unmasked” (non mascherato),
“greyblob” (punto grigio), “pixelated” (diviso in pixel), “negated” (nero e bianco invertiti).
Variabile dipendente: percentuale di fatti raccontati dai testimoni e ricordati dai giurati
L’ipotesi è che ci potrebbe essere un effetto negativo del mascheramento sulla memoria.
H0: munmasked=mgreyblob=mpixelated=mnegated
H1: mi ≠ mj per almeno un i e un j (i≠j)
ANOVA BETWEEN – A UNA VIA
ANOVA BETWEEN
ANALYZE → COMPARE MEANS
→ ONE WAY ANOVA
In DEPENDENT LIST inserire la
variabile dipendente
In FACTOR inserire la variabile
indipendente
In OPTIONS selezionare Descriptive e
Homogeneity of variance test
Descriptives
MEMORY
N
unmasked
greyblob
pixelated
negated
Total
10
10
10
10
40
Mean
66.70
55.70
57.70
67.20
61.83
Std. Deviation
5.334
3.802
5.417
4.590
7.001
Std. Error
1.687
1.202
1.713
1.451
1.107
95% Confidence Interval for
Mean
Lower Bound Upper Bound
62.88
70.52
52.98
58.42
53.82
61.58
63.92
70.48
59.59
64.06
Medie di gruppo
Numerosità di gruppo
ANOVA BETWEEN – A UNA VIA
Minimum
58
48
51
58
48
Maximum
75
61
68
74
75
ANOVA BETWEEN
Test di Levene:
Test of Homogeneity of Variances
MEMORY
Levene
Statis tic
.490
H0: omoschedasticità
df1
df2
3
36
Sig.
.692
H1: eteroschedasticità
P-value>a  accetto ipotesi nulla
Valore sperimentale=
valore della statistica test
(F di Snedecor)
ANOVA
P-value
MEMORY
Between Groups
Within Groups
Total
Sum of
Squares
1071.875
839.900
1911.775
Devianze
df
3
36
39
Gradi di libertà
Mean Square
357.292
23.331
F
15.314
Sig.
.000
p-value < a →
rifiuto l’ipotesi
nulla
Il mascheramento ha un
effetto significativo sulla
memoria.
Varianze=Devianze/gdl
ANOVA BETWEEN – A UNA VIA
ANOVA BETWEEN
Se nel confronto tra le medie di k gruppi con il test F è stata rifiutata l’ipotesi nulla H0: m1=m2=…=mk si
pone il problema di verificare tra quali medie esista una differenza significativa.
I confronti multipli a posteriori (confronti non pianificati, post hoc comparisons) sono utili
quando non è possibile programmare i confronti a priori per mancanza di informazioni. Si effettuano,
quindi, tutti i possibili confronti tra le medie alla ricerca di quelle differenze che hanno determinato la
significatività totale (ogni media viene confrontata tra tutte le altre).
Per questi confronti sono stati proposti diversi metodi che, come impostazione logica, derivano dal test
T di Student per ipotesi bidirezionali. Il ricercatore tenderà a scegliere il test post hoc che garantisce la
potenza del test maggiore (1-b=p(rifiutare H0/H1 è vera)) senza tuttavia dimenticare il problema legato
all’errore di primo tipo a (vedi disuguaglianza di Bonferroni):
a TOT 
ai
p
p=numero di confronti tra medie
ai=significatività di ogni confronto post hoc
ANALYZE → COMPARE MEANS → ONE WAY ANOVA
In POST HOC selezionare TUKEY e BONFERRONI
ANOVA BETWEEN – A UNA VIA
ANOVA BETWEEN
Multiple Comparisons
Dependent Variable: MEMORY
Tukey HSD
(I) Presentation condition
unm asked
greyblob
pixelated
negated
Bonferroni
unm asked
greyblob
pixelated
negated
(J) Pres entation condition
greyblob
pixelated
negated
unm asked
pixelated
negated
unm asked
greyblob
negated
unm asked
greyblob
pixelated
greyblob
pixelated
negated
unm asked
pixelated
negated
unm asked
greyblob
negated
unm asked
greyblob
pixelated
Mean
Difference
(I-J)
11.00*
9.00*
-.50
-11.00*
-2.00
-11.50*
-9.00*
2.00
-9.50*
.50
11.50*
9.50*
11.00*
9.00*
-.50
-11.00*
-2.00
-11.50*
-9.00*
2.00
-9.50*
.50
11.50*
9.50*
Std. Error
2.160
2.160
2.160
2.160
2.160
2.160
2.160
2.160
2.160
2.160
2.160
2.160
2.160
2.160
2.160
2.160
2.160
2.160
2.160
2.160
2.160
2.160
2.160
2.160
Sig.
.000
.001
.996
.000
.791
.000
.001
.791
.001
.996
.000
.001
.000
.001
1.000
.000
1.000
.000
.001
1.000
.001
1.000
.000
.001
*. The m ean difference is significant at the .05 level.
H0: differenza medie nulla; H1: differenza medie non nulla
ANOVA BETWEEN – A UNA VIA
95% Confidence Interval
Lower Bound Upper Bound
5.18
16.82
3.18
14.82
-6.32
5.32
-16.82
-5.18
-7.82
3.82
-17.32
-5.68
-14.82
-3.18
-3.82
7.82
-15.32
-3.68
-5.32
6.32
5.68
17.32
3.68
15.32
4.97
17.03
2.97
15.03
-6.53
5.53
-17.03
-4.97
-8.03
4.03
-17.53
-5.47
-15.03
-2.97
-4.03
8.03
-15.53
-3.47
-5.53
6.53
5.47
17.53
3.47
15.53
ANOVA BETWEEN
PRINCIPALI (indipendentemente dai valori delle altre
variabili indipendenti)
EFFETTI
INTERAZIONI (l’effetto di una variabile
indipendente sulla variabile dipendente non è uguale per
tutti i livelli delle altre variabili indipendenti)
Un’ipotesi per ogni fattore principale (ipotesi sulle
medie)
IPOTESI
Un’ipotesi per le interazioni (ipotesi sulle differenze
di medie)
ANOVA BETWEEN – A DUE VIE
ANOVA BETWEEN
A con 4 livelli (a, b, c, d)
ANOVA A 2 VIE 
2 FATTORI
B con 5 livelli (1, 2, 3, 4, 5)
Per il fattore A H0: µa = µb = µc = µd
H1: almeno una coppia di medie diversa
IPOTESI
Per il fattore B H0: µ1 = µ2 = µ3 = µ4 = µ5
H1: almeno una coppia di medie diversa
Per l’interazione A*B H0: (µ1-µ2)a = (µ1-µ3)a = …=
(µ1-µ2)b =(µ1-µ3)b=…= (µ1-µ2)c= (µ1-µ3)c=…
ANOVA BETWEEN – A DUE VIE
ANOVA BETWEEN
y ij
Valore della variabile Y per il soggetto i (i=1,…,n) appartenente al livello j (j=1,…k)
y. j
Media della variabile Y per il livello j (j=1,…k) - media di colonna -
yi .
Media della variabile Y per il soggetto i (i=1,…n) - media di riga -
ANOVA BETWEEN – A DUE VIE
ANOVA BETWEEN
DEVIANZA TOTALE
DEVIANZA NEI GRUPPI
DEVIANZA TRA I GRUPPI
DEVIANZA
EFFETTO
PRINCIPALE
1°FATTORE
DEVIANZA
EFFETTO
PRINCIPALE
2°FATTORE
DEVIANZA
EFFETTO
INTERAZIONE
ANOVA BETWEEN – A DUE VIE
ANOVA BETWEEN
k1= livelli del 1°fattore
(n-1)
n-(k1*k2)
k2=livelli del 2°fattore
DEVIANZA TRA I GRUPPI
(k1-1)
(k2-1)
Si costruiscono 3 test F del tipo
DevTRA
gdl
Dev NEI
gdl
(k1-1)*(k2-1)
ANOVA BETWEEN – A DUE VIE
ANOVA BETWEEN
Lo studio considera l’effetto che il fascino e il genere dell’imputato possono esercitare sulla
giuria durante un processo. Nello studio in esame viene consegnata a 60 persone la
testimonianza (sotto forma di testo scritto) di un ipotetico imputato con la descrizione
dell’omicidio commesso. 20 persone ricevono solamente la testimonianza scritta, 20 persone
la testimonianza scritta e una fotografia di un imputato affascinante e, infine, 20 persone
ricevono la testimonianza scritta e una fotografia di un imputato non affascinante. (La
fotografia può essere indifferentemente di un uomo o di una donna). Ai partecipanti viene
chiesto di indicare quanti anni di prigione l’imputato dovrebbe scontare come punizione.
Fattore between 1: “Attractiveness” con 3 livelli “attractive”, “unattractive”, “no picture”.
Fattore between 2: “Sex differences” con 2 livelli “same sex as defendant” e “opposite sex
as defendent” (indicato nella testimonianza scritta o nella fotografia).
Variabile dipendente: sentenza data sotto forma di numero di anni da scontare in carcere
(minimo 3, massimo 25 anni).
L’ipotesi è che imputati non affascinanti ricevano pene più dure e che la durata delle pene
dipenda anche dal genere dell’imputato.
File: twowaybetweenANOVA.sav
ANOVA BETWEEN – A DUE VIE
ANOVA BETWEEN
ANALYZE → GENERAL LINEAR MODEL → UNIVARIATE
In DEPENDENT VARIABLE inserire la variabile dipendente
In FIXED FACTORS inserire le variabili indipendenti
In OPTIONS selezionare Descriptive Statistics
ANOVA BETWEEN – A DUE VIE
ANOVA BETWEEN
Between-Subjects Factors
Sex Differences
1
2
Attractivenes s
1
2
3
Value Label
Sam e s ex
as
defendant
Oppos ite
s ex as
defendant
Attractive
Unattractive
No picture
N
30
30
Nella prima tabella, SPSS riporta i fattori e i
corrispondenti livelli nonché il numero di
soggetti per ogni livello.
20
20
20
Sex Differences * Attractiveness
Descriptive Statistics
Dependent Variable: Sentence
Sex Differences
Same s ex as defendant
Opposite s ex as
defendant
Total
Attractivenes s
Attractive
Unattractive
No picture
Total
Attractive
Unattractive
No picture
Total
Attractive
Unattractive
No picture
Total
Mean
7.50
11.20
14.50
11.07
7.50
10.30
13.50
10.43
7.50
10.75
14.00
10.75
Std. Deviation
1.780
2.300
1.269
3.403
2.415
2.058
1.650
3.191
2.065
2.173
1.522
3.286
Sex Differences
N
10
10
10
30
10
10
10
30
20
20
20
60
ANOVA BETWEEN – A DUE VIE
Attractiveness
ANOVA BETWEEN
Effetti principali
Interazione
Tests of Between-Subjects Effects
Dependent Variable: Sentence
Source
Corrected Model
Intercept
SEX
ATTRACT
SEX * ATTRACT
Error
Total
Corrected Total
Type III Sum
of Squares
431.550 a
6933.750
6.017
422.500
3.033
205.700
7571.000
637.250
df
5
1
1
2
2
54
60
59
Mean Square
86.310
6933.750
6.017
211.250
1.517
3.809
F
22.658
1820.236
1.579
55.457
.398
Sig.
.000
.000
.214
.000
.674
a. R Squared = .677 (Adjusted R Squared = .647)
L’effetto principale della variabile genere (SEX) non è significativo (p-value 0.214).
C’è una significatività nell’effetto principale della variabile fascino (ATTRACT)
(p<0.0005). Non c’è interazione significativa tra i due fattori (p-value 0.674).
ANOVA BETWEEN – A DUE VIE
ANOVA BETWEEN
GRAPH → BAR → SIMPLE
In OTHER SUMMARY FUNCTION inserire la variabile dipendente
In CATEGORY AXIS inserire la variabile indipendente significativa
16
14
12
Mean Sentence
10
8
6
Attractive
Attractiveness
ANOVA BETWEEN – A DUE VIE
Unattractive
No picture