“Temperatura empirica”
Definizione operativa della grandezza fisica “temperatura”: è definita quando è dato
un sistema termodinamico (“termometro”: ad es. un fluido, un conduttore,
una giunzione tra due metalli…) che abbia una caratteristica fisica misurabile X
(“grandezza termometrica”: ad es. lunghezza,volume,pressione, resistenza, f.e.m., ….)
che vari con quella che chiameremo
“temperatura empirica” q, definita convenzionalmente dalla relazione:
q ( X )  q0
valore (arbitrario)
della temperatura
nello stato di
riferimento
X
X0
valore assunto dalla
grandezza termometrica
in uno stato generico
valore assunto dalla grandezza
termometrica in uno ” stato di
riferimento” del sistema
( facilmente riproducibile)
Convenzionalmente, si prende come stato di riferimento lo stato di equilibrio termico
con l’acqua nel suo “punto triplo” (stato di H2O di coesistenza in equilibrio della fase
liquida, solida e di vapore), assegnando alla “temperatura del punto triplo” il valore:
U.Gasparini, Fisica I
q0  273,16 K
K  “grado Kelvin”
1
Esempi di termometri:
sistema fisico
fenomeno osservato
randezza termometrica
liquido
gas a volume cost.
gas a pressione cost.
termocoppia
conduttore metallico
dilatazione termica
variazione della pressione
dilatazione termica
comparsa di una f.e.m.
variazione della resistenza
l unghezza
pressione
volume
f.e.m.
resistenza
Le scale termometriche empiriche così definite non sono uguali :
Temperature empiriche
q ( X )  q0
qp.triplo
term. a idrogeno
a volume costante
termometro a
resistenza di platino
U.Gasparini, Fisica I
273

273
X
X0
misurate da termometri diversi:
qeboll
N2
73
55
O2
86

70
qfusione qsublim
H2 O
374

380
Sn
510
CO2
193
516
185
2
Termometro a gas ideale a volume costante:
Schematicamente:
p0 (pressione atmosferica)
p0
h
p
Bulbo
contenente gas
Rarefatto
serbatoio di Hg
la pressione esercitata
sul gas è:
p  p0   Hg gh
menisco mantenuto a livello costante
(in contatto
variando la pressione su di esso (variando l’altezza h)
termico col sistema di cui si
vuol misurare la temperatura)
Caratteristica termometrica: X p
temperatura empirica: q ( p)  273,16
U.Gasparini, Fisica I
pressione quando il bulbo è
in equilibrio termico con
un serbatoio d’acqua alla
temperatura del punto triplo
p
ptr
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Temperatura del termometro a gas ideale
Si verifica sperimentalmente che il coefficiente di variazione della pressione con la
temperatura non è lo stesso per tutti i gas, e per uno stesso gas dipende da quanto il gas
è rarefatto (e quindi dalla pressione del gas ad una data temperatura di riferimento,
ad es. la pressione p tr alla temperatura del punto triplo dell’ acqua).
Ad esempio, la temperatura empirica dell’acqua in ebollizione alla pressione p0=1 atm
risulta dipendere dalla pressione ptr del gas considerato come qui sotto illustrato:
q(p)
O2
q ( p)  273,16
373,6
Aria
N2
373,4
373,2
373,15
p
ptr
He
H2
373,0
20.
40.
60.
80.
100.
p tr (cm Hg)
1 atm
Si definisce allora la “temperatura del termometro a gas ideale”
(a volume costante):
U.Gasparini, Fisica I
 p 

T ( p)  273,16 lim 
ptr  0 ptr 
4
Temperatura del termometro a gas ideale a pressione costante
Analogamente, il coefficiente di dilatazione termica (che misura la variazione di
volume con la temperatura) non è lo stesso per tutti i gas, ma tende allo stesso valore
al tendere a zero della pressione.
 Temperatura del termometro a gas ideale a pressione costante:
 V 

T (V )  273,16 lim 
ptr  0 Vtr 
Risulta sperimentalmente che le due scale di temperatura (del termometro a gas a pressione
e a volume costante) coincidono. Storicamente, è stata introdotta la scala (empirica) Celsius
(o “centigrada”), per la quale è data la temperatura dei due “punti fissi”:
q 0  0C
temperatura di fusione dell’acqua a p=1atm
q eb  100C temperatura di ebollizione dell’acqua a p=1atm
T ( K )  q ( C )  273,15
qtr  0,01C  Ttr  273,15 
In tale scala:
Nella scala Celsius, il comportamento isobaro di un gas ideale è dato
dalla legge isobara di Gay-Lussac:
V (q )  V (1  q )
0
1 dV
1
dove:  

C 1
V0 dq
273,15
volume a qq0
“coefficiente di dilatazione a
pressione costante del gas ideale”
( a q100 C il volume aumenta di un fattore 100 / 273,15 @ 37% )
5
Legge isobara di Gay-Lussac :
V (q )  V0 (1  q )  V0 (
V (T ) 
1

q) 
V0
(273,15  q )
273,15
V0
V
T  0 T
273,15
T0
T
 273,15  q 0  T0
V
V (T )
 0
T
T0
Pertanto:
ossia:
=0
e in particolare:
Vtr
V (T ) 
T
Ttr
T  Ttr
V
V
 273,16
Vtr
Vtr
( temperatura Kelvin del
punto di fusione dell’acqua
a p=1 atm)
V ( Ttr )
Vtr
V0


Ttr
Ttr
T0
temperatura del
punto triplo
che coincide con la
definizione di temperatura
Kelvin del termometro a
gas ideale
La temperatura T = 0 K è la temperatura alla quale, estrapolando il comportamento
isobaro di un gas ideale descritto dalla legge di Gay-Lussac, il gas annullerebbe il
proprio volume (trascurando il “volume proprio delle molecole”, e considerando
per il gas un comportamento “classico”, ossia non quantistico, per le sue molecole a qualsiasi
temperatura (in contrasto quindi col principio di indeterminazione) ).
U.Gasparini, Fisica I
6
Equazione di stato del gas ideale:
legge di Boyle:
(per trasformazioni isoterme)
legge di Gay-Lussac:
(per trasformazioni isobare)
pV  p0V0 = costante
V 
V0
T
T0
La relazione tra le coordinate termodinamiche dello stato ( p0 ,V0 , T0) e lo
stato generico ( p,V,T ) si ricava
quindi come segue dalle
T = costante
p
due leggi sopra citate:
( p0,V0 , T0 )
0
p = costante
1 ( p1,V1 , T0 )
2
p0V0  p1V1  pV1
V 
V1
V
T  1 T
T1
T0
U.Gasparini, Fisica I
V1 
( p,V , T )
p0V0  p
V
T0
T
V
T0
T
p0V0
pV

T
T0
V
= costante
7
Costante universale del gas ideale
Il volume di una mole di gas in “condizioni standard” di temperatura e pressione
p0  1atm  1,01 105 Pa
T0  273,15K
( STP :
)
è:
V0  22,4lt  22,4  103 m3
La costante:
p0V0
1,01 105 N / m2  22,4  10 3 m3 / mole
R 

T0
273,15K
R  8,31J / K  mole  0,0823lt  atm / K  mole
è detta “costante universale del gas ideale”:
3 3
5
2
( 1lt  atm  10 m  1,01 10 N / m  101N  m  101J )
Equazione di stato per una mole di gas ideale:
Per un gas ideale contenente n moli:
Introducendo la “costante di Boltzmann”:
numero totale di molecole del gas
pV  nRT 
U.Gasparini, Fisica I
N
RT
NA
k 
pV  RT
pV  nRT
R
 1,38  10  23 J / K
NA
n.di Avogadro
pV  NkT
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Quantità di calore scambiato
Operativamente, viene definita come misura della quantità di calore scambiato
da un sistema termodinamico la variazione di temperatura prodotta da tale scambio di
calore su un sistema termodinamico di riferimento (che non riceva altri apporti
energetici, sotto una qualche forma di lavoro)
Per convenzione, si definisce uguale ad 1 “unità di misura di calore” ( “Caloria” ) ,
la quantità di calore necessaria ad innalzare di 1 K la temperatura di una massa
d’acqua di 1 Kg da 14,5C a 15,5C
(come vedremo, essa corrisponde ad un energia pari a 4186 J; il Joule è l’unità
di misura del S.I. adottata per la misura del calore, come di ogni altra forma di
energia ).
Q

Termometro (misura una variazione DT
della temperatura dell’acqua)
Q M D T
Sistema termodinamico
che scambia il calore Q
U.Gasparini, Fisica I
massa d’acqua M
parete “diatermica”: permette scambi di energia sotto
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forma di calore
Capacità termica e calore specifico
Si definisce “capacità termica” C( T ) di un corpo (in generale, dipendente dalla
temperatura), la quantità di calore necessaria a cambiarne di 1 grado Kelvin la
temperatura:
 per una variazione di temperatura dT del corpo:
Q  C(T )dT
Unità di misura: [C ] = Cal / K
Per una variazione finita di temperatura, il calore necessario è:
Tf
Q
Ti
Il “calore specifico” c(T) è la capacità termica dell’unità di massa:
Q  mc(T )dT
 C(T )dT
[c ] = Cal / (K  Kg)
La definizione adottata per l’unità di misura del calore (caloria) equivale a definire
uguale a 1 Cal/(K  Kg) il calore specifico dell’acqua alla temperatura di 14,5 C
c(T) (Cal/K Kg)
Variazione con la
1.008
temperatura del calore
1.004
1.
specifico dell’acqua:
0.996
U.Gasparini, Fisica I
25.
50.
75.
100. T(0C)
Calori specifici molari
In generale, il calore specifico di una sostanza dipende dal tipo di trasformazione
considerata; per i solidi e i liquidi, data la loro elevata incomprimibilità
( grandi variazioni di pressione determinano piccolissime variazioni di volume)
i calori specifici considerati sono essenzialmente a volume costante.
Per i gas la situazione è completamente diversa; si definiscono in particolare due
“calori specifici molari” ( capacità termica per mole di sostanza) per trasformazioni
isobare (“a pressione costante”) ed isocore (“a volume costante”):
quantità di calore necessario a variare di dT
la temperatura del gas in una trasf.isobara
cp 
1  Q 



n dT 
p  cos t .
numero di moli del gas
cV 
1  Q 


n  dT  V  cos t .
U.Gasparini, Fisica I
“calore specifico molare
a pressione costante”
calore necessario a variare di dT la temp.
del gas in una trasf. isocora
“calore specifico molare
a volume costante”
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