Rosetta Zan
Dipartimento di Matematica, Università di Pisa
[email protected]
DIDATTICA DELLA
MATEMATICA
TFA A059
Incontro
10 aprile 2013
I QUESTIONARI PRIMA /
DOPO
Il questionario prima / dopo...
non è un test d’ingresso
ma uno strumento di lavoro:
• per lo studente
 prima della lezione,
conosce le convinzioni
• per l’insegnante
 prende consapevolezza delle
proprie conoscenze
 dirige in modo consapevole
l’attenzione durante lo studio
o la lezione
 riconosce i (piccoli) progressi
 dopo aver studiato, ha il
senso del lavoro fatto




degli studenti
dopo la lezione, ne
controlla gli effetti
può correggere il tiro
riconosce i (piccoli)
progressi
ha il senso del lavoro
fatto
Un’osservazione sui modelli
primitivi
L’apprendimento come attività costruttiva
• Misconcetti e modelli primitivi
• Linguaggio matematico e linguaggio
quotidiano
• Razionalità matematica e altre forme di
razionalità
• Convinzioni, atteggiamenti, emozioni
importanza per l’insegnante di avere un
repertorio di interpretazioni possibili
LINGUAGGIO
MATEMATICO
LINGUAGGIO
QUOTIDIANO
Comprensione di un testo
• Produzione di un testo
LINGUAGGIO
MATEMATICO
LINGUAGGIO
QUOTIDIANO
Comprensione di un testo
LINGUAGGIO
MATEMATICO
Linguaggio
criptico…
…di cui non si coglie il senso
LINGUAGGIO
MATEMATICO
LINGUAGGIO
QUOTIDIANO
LINGUAGGIO
MATEMATICO
LINGUAGGIO
QUOTIDIANO
A volte le difficoltà nascono da una
sovrapposizione dei due linguaggi…
Wagner (1981, 1983)
Un insegnante sta cercando di preparare gli
studenti alle scritture: x, x+1,…
L’insegnante parte quindi con un esempio
numerico:
I: Qual è l’intero successivo di 17?
S: 18.
I: Cosa bisogna fare per ottenere 18 da 17?
S: Aggiungere 1.
I: Bene. Ora supponiamo di chiamare x un intero
che non conosciamo. Come possiamo scrivere
l’intero successivo di x? Cioè, come possiamo
rappresentare il numero che si ottiene da x
aggiungendo 1?
S: y.
LINGUAGGIO
MATEMATICO
LINGUAGGIO
QUOTIDIANO
A volte le difficoltà nascono dall’uso
diverso degli stessi termini:
• ipotesi / tesi
• angolo, spigolo…
• altezza
O dall’uso diverso dei connettivi e
dell’implicazione
Connettivi
• 6 è un numero pari e divisibile per 3
• 6 è un numero divisibile per 3 e pari
…commutativo
• L’ho visto e ho cambiato strada.
• Ho cambiato strada e l’ho visto.
…non commutativo
Implicazione
• Se un numero è divisibile per 4 allora è
divisibile per 2
• Se un numero non è divisibile per 4 allora
non è divisibile per 2
• Se passi ti compro il motorino.
• Se non passi non ti compro il motorino.
Ma ci sono differenze più globali
Il ruolo del contesto:
• Altri linguaggi di accompagnamento
del messaggio: il tono della voce,
l’espressione del viso, la postura,
• La possibilità di utilizzare deissi
Da Bloedy-Vinner (1996)
Si chiede a studenti di corsi di
preparazione all'università di scrivere
un’equazione che traduca problema,
senza risolverlo:
Prima della partita Tal aveva il triplo delle bilie di
Gadi.
Durante la partita, Tal ha perso metà delle sue bilie
a favore di Gadi, e alla fine il numero delle bilie
di Gadi supera di 12 il numero delle bilie di Tal.
Errori frequenti:
 Utilizzare una lettera o un'espressione per denotare
il numero di bilie di un bambino, pensandole come se
cambiassero con l'evoluzione della storia
errori ‘analgebrici’
Prima della partita Tal aveva il triplo delle bilie di
Gadi.
Durante la partita, Tal ha perso metà delle sue bilie
a favore di Gadi, e alla fine il numero delle bilie
di Gadi supera di 12 il numero delle bilie di Tal.
Errori frequenti:
 Utilizzare una lettera o un'espressione per denotare
il numero di bilie di un bambino, pensandole come se
cambiassero con l'evoluzione della storia
errori ‘analgebrici’
(Ferrari): mentre il linguaggio quotidiano gode dell’aggiornamento
automatico degli indicali (se dico "questo è bello, questo no" chi è
presente capisce benissimo che ‘questo’ assume significati diversi
nella stessa frase, con l’aiuto di gesti, ecc), le variabili
matematiche, che spesso sono usate per rappresentare quantità
determinate in un preciso contesto spazio-temporale, non si
aggiornano automaticamente ma bisogna aggiornarle ‘a mano’, sia
usando variabili diverse quando è necessario ("x è bello, y no"),
sia modificando le espressioni (se adesso ‘la mia età’ è n anni, fra
dieci anni ‘la mia età’ è n+10 anni).
Ma ci sono differenze più globali
Il ruolo del contesto:
• Altri linguaggi di accompagnamento
del messaggio: il tono della voce,
l’espressione del viso, la postura,
• La possibilità di utilizzare deissi
• Le regole di comunicazione: il principio di
cooperazione di Grice
Ho buttato un uovo contro il muro e non si è rotto.
…cosa non si è rotto?
Ho buttato un sasso contro il vetro e non si è
rotto.
…cosa non si è rotto?
?
Principio di cooperazione
Esempio:
A: Dov’è Carlo?
B: C’è una Volkswagen gialla davanti a
casa di Anna.
In casi come questi l’ascoltatore per
mantenere l’assunto di cooperazione fa
delle inferenze:
implicature conversazionali
Collega con un tratto di penna la frase di sinistra con la frase
o le frasi di destra che hanno significato equivalente:
Tutti gli operai della fabbrica
sono stranieri
Non tutti gli operai
Alcuni operai della fabbrica
sono italiani
della fabbrica sono italiani
Tutti gli operai della fabbrica
sono italiani
Annalisa…
Alcuni operai della fabbrica
sono stranieri
Le definizioni
Il quadrato è un quadrilatero con 4
lati uguali e 4 angoli uguali.
Le caratteristiche del linguaggio
vanno collegate a degli scopi significativi
Il quadrato è un quadrilatero con 4
lati uguali, paralleli 2 a 2, con 4
angoli uguali retti, le diagonali
uguali, perpendicolari, che si
dividono a metà!!!
Annalisa
[Domanda in un test d’ingresso al 1° anno di
università]
Riconosci quale/i fra le affermazioni scritte
sotto sono equivalenti all’affermazione:
Non tutti gli operai della fabbrica sono italiani
(a) Tutti gli operai della fabbrica sono stranieri
(b) Alcuni operai della fabbrica sono italiani
(c) Alcuni operai della fabbrica sono stranieri
Ma anche:
72
7>2
22
2=2
Le definizioni
Il quadrato è un quadrilatero con 4
lati uguali e 4 angoli uguali.
Il quadrato è un quadrilatero con 4
lati uguali, paralleli 2 a 2, con 4
angoli uguali retti, le diagonali
uguali, perpendicolari, che si
dividono a metà!!!
La comprensione del testo di
un problema
PROBLEMA
CONTESTO
DOMANDA
 La comprensione del testo:
• Dizionario
Vacanze al campeggio (4a)
Tommaso ha deciso di passare una decina di
giorni in campeggio con i suoi amici Alessio,
Marco e Giovanni.
Se prenderanno una tenda con 4 posti letto, allora
prevedono di spendere 15 euro al giorno per
l'affitto della piazzola, 18 euro a testa per i pasti
e 8 euro al giorno per l'ombrellone.
Quanto spendono i 4 ragazzi per stare al mare?
OCSE-PISA: Popolarità del Presidente
In Zedlandia sono stati effettuati alcuni sondaggi di
35,6%
di risposte
opinione per determinare il livello
di popolarità
delcorrette
Presidente in vista delle prossime
elezioni.
29,2%
di risposte omesse
Quattro
di giornali
hanno svolto sondaggi
Cosa
vuoleditori
dire che
una persona
indipendenti su scala nazionale. I risultati dei quattro
è popolare?
sondaggi dei giornali sono i seguenti:
• Giornale 1: 36,5% (sondaggio effettuato il 6 gennaio su un
500popolo’
cittadini con diritto di voto, scelti a caso),
‘Checampione
fa partedidel
• Giornale 2: 41,0% (sondaggio effettuato il 20 gennaio su un
campione di 500 cittadini con diritto di voto, scelti a caso),
Cosa vuol dire che un giornale è
• Giornale 3: 39,0% (sondaggio effettuato il 20 gennaio su un
campione di 1000 cittadini conattendibile?
diritto di voto, scelti a caso),
• Giornale 4: 44,5% (sondaggio effettuato il 20 gennaio su un
‘Chetelefonato
esce regolarmente’
campione di 1000 lettori che hanno
alla redazione per
votare).
Quale giornale è più attendibile per prevedere il livello di
popolarità del Presidente, se le elezioni si svolgono il 25
gennaio?
Scrivi due motivi che giustifichino la tua risposta.
Osservazione
• Se utilizziamo un problema per
valutare, dobbiamo preoccuparci di
evitare la presenza di parole di cui
l’allievo non conosce il significato
• Ma se ci liberiamo dai vincoli della
valutazione, presentare parole non
conosciute in un problema può
essere un’occasione per ampliare il
dizionario degli allievi
 La comprensione del testo:
• Dizionario
• Legami fra le varie parti del
testo
La scala (2a)
La strega Pasticcia ordina ai suoi gattini
Buffetto e Sandogatt di lucidare tutta la
lunga scala che porta alla torre più alta del
castello.
Buffetto lucida 20 scalini.
ANAFORA
Sandogatt ne lucida solo 3.
La strega ne lucida 7 più di lui.
Quanti scalini ha quella scala?
Spiega il tuo ragionamento.
Vacanze al campeggio (4a)
Tommaso ha deciso di passare una decina di
giorni in campeggio con i suoi amici Alessio,
Marco e Giovanni.
Se prenderanno una tenda con 4 posti letto, allora
prevedono di spendere 15 euro al giorno per
l'affitto della piazzola, 18 euro a testa per i pasti
e 8 euro al giorno per l'ombrellone.
Quanto spendono i 4 ragazzi per stare al mare?
 La comprensione del testo:
• Dizionario
• Legami fra le varie parti del
testo
• Enciclopedia
Levinson (1983)
"Giovanni voleva comprare un regalo a
Carlo per il suo compleanno, perciò andò
a prendere il suo maialino; lo agitò ma non
udì nessun rumore; avrebbe dovuto fare
un regalo a Carlo con le sue mani".
Importanza della conoscenza
enciclopedica
• Leggi attentamente il testo del seguente
problema e, senza risolverlo, individua i dati
mancanti o superflui:
• Un allevatore possiede 47 mucche e 10 cavalli.
Una mucca produce in media 15 litri di latte al
giorno. Quanto latte viene prodotto ogni giorno
nell’allevamento?
• Nel problema c’è un dato:
 superfluo
 mancante
• Quale?………………………………………………
……………
V elementare
• Leggi attentamente il testo del seguente
problema e, senza risolverlo, individua i dati
mancanti o superflui:
• Un allevatore possiede 47 mucche e 10 cavalli.
Una mucca produce in media 15 litri di latte al
giorno. Quanto latte viene prodotto ogni giorno
nell’allevamento?
• Nel problema c’è un dato:
 superfluo
 mancante
• Quale?………………………………………………
Non sappiamo quanto latte
…………… producono i cavalli ogni giorno
 La comprensione del testo:
• Dizionario
• Legami fra le varie parti del
testo
• Enciclopedia
• Impliciti
Umberto Eco
Un testo è una macchina
pigra che si attende dal
lettore molta collaborazione.
Un testo (…) è intessuto di nondetto.
(Da De Corte et al., 1985)
Ann e Tom insieme hanno 8 libri. Ann ha 5
libri. Quanti libri ha Tom?
aumentano le risposte corrette!
implicito
I 5 libri di Ann sono parte degli 8
che Ann e Tom hanno insieme
Ann e Tom insieme hanno 8 libri. 5 di questi
libri sono di Ann. Quanti libri ha Tom?
Marco
l’automobile edel
si precipitò
 Laprese
comprensione
testo:
all’aereoporto.
• Dizionario
Non dice:
• I legami fra le varie parti del
- che nell’automobile c’era il motore
testo
- di che colore era l’automobile
• Enciclopedia
Implicito  non detto
(Da De Corte et al., 1985)
Ann e Tom insieme hanno 8 libri. Ann ha 5
libri. Quanti libri ha Tom?
implicito NON DETTO
I 5 libri di Ann sono parte degli 8
che Ann e Tom hanno insieme
Uno scenario possibile: Ann e Tom sono fratelli. Ognuno di loro
ha una piccola collezione di libri: Ann ne ha 5, Tom ne ha 7.
Poi insieme hanno 8 libri, che sono stati regalati a entrambi, e che
tengono nella libreria in sala.
(Da De Corte et al., 1985)
Ann e Tom insieme hanno 8 libri. Ann ha 5
libri. Quanti libri ha Tom?
Non ci sono informazioni sufficienti per risolvere il
problema
Il problema è risolubile
I 5 libri di Ann sono parte degli 8
che Ann e Tom hanno insieme
Uno scenario possibile: Ann e Tom sono fratelli. Ognuno di loro
ha una piccola collezione di libri: Ann ne ha 5, Tom ne ha 7.
Poi insieme hanno 8 libri, che sono stati regalati a entrambi, e che
tengono nella libreria in sala.
Non viene detto:
La
scala
(2a)
- che sono stati lucidati TUTTI gli scalini
Ma se non fosse così…
La strega
Pasticcia
ordina
ai suoi
gattini
…il problema
non si
potrebbe
risolvere
Buffetto e Sandogatt di lucidare tutta la
lunga scala che porta alla torre più alta del
castello.
Buffetto lucida 20 scalini.
Sandogatt ne lucida solo 3.
La strega ne lucida 7 più di lui.
Quanti scalini ha quella scala?
Spiega il tuo ragionamento.
Non viene detto:
- che sono stati lucidati TUTTI gli scalini
Ma se non fosse così…
…il problema non si potrebbe risolvere
E’ un’interpretazione che deriva:
- non direttamente dal testo
- ma dalla situazione di comunicazione
(contratto didattico)
- dall’accettare le ‘regole del gioco’ dei
problemi (stereotipi)
IMPLICATURA
V elementare
• Leggi attentamente il testo del seguente
problema e, senza risolverlo, individua i dati
mancanti o superflui:
• Un allevatore possiede 47 mucche e 10 cavalli.
Una mucca produce in media 15 litri di latte al
giorno. Quanto latte viene prodotto ogni giorno
nell’allevamento?
• Nel problema c’è un dato:
 superfluo
 mancante
• Quale?………………………………………………
Non sappiamo il numero esatto di litri
……………
che produce ogni mucca ogni giorno.
 Laspesso
comprensione
delnascono
testo:
…ma
le difficoltà
dal
fatto
che
l’allievo
non
legge
• Dizionario
accuratamente il problema
• Legami fra le varie parti del
testo
• Enciclopedia
• Impliciti
 Laspesso
comprensione
delnascono
testo:
…ma
le difficoltà
dal
fatto
che
l’allievo
non
legge
• Dizionario
accuratamente il problema
LETTURA SELETTIVA DEL TESTO
• Dati numerici
• Parole chiave
Quale sarà la temperatura dell’acqua
in un recipiente se metti insieme una
caraffa d’acqua a 10° e una a 40°?
10° + 40° = 50°
La sottrazione: prima primaria
PAROLA CHIAVE
DATI
OPERAZIONE
Questa strategia…
• …sembra ‘funzionare’ nel caso di
problemi stereotipati
• ’funzionare’ nel senso che favorisce
la produzione di una risposta corretta
• Ma nel caso di problemi non
stereotipati mostra tutta la sua
inconsistenza
La sottrazione: prima primaria
PROBLEMA
Cecilia aiuta ad apparecchiare: tutte le sere
prende i 5 piatti per la famiglia.
Oggi mamma le dice: ‘Stasera restano anche
nonno e nonna’.
Quanti piatti deve prendere Cecilia stasera?
PAROLA CHIAVE
Passi
(INVALSI 2008, 5a primaria)
Maria, Renato e Fabio misurano a passi la
lunghezza della loro aula.
Maria conta 26 passi, Renata ne conta 30 e
Fabio 28.
Chi ha il passo più lungo?
DATI?
OPERAZIONE?
LINGUAGGIO
MATEMATICO
LINGUAGGIO
QUOTIDIANO
Comprensione di un testo
• Produzione di un testo
LINGUAGGIO
MATEMATICO
LINGUAGGIO
QUOTIDIANO
• Produzione di un testo
Dev’essere finalizzata ad uno scopo
 Le caratteristiche del testo sono funzionali
a quello scopo
LINGUAGGIO
QUOTIDIANO
• Produzione di un testo
Marianella Sclavi
Arte di ascoltare e mondi possibili.
Come si esce dalle cornici di cui siamo
parte.
SCENARIO 1
Contesto: Scuola elementare. L’insegnante chiede a Ernesto
(bambino che proviene da un contesto socio-culturale deprivato)
di raccontare la storia rappresentata in una vignetta.
Ernesto: Stanno giocando a pallone e lui gli dà un calcio…
Insegnante (lo interrompe): Chi è che gioca a pallone? Qual è il
soggetto che compie l'azione?
Ernesto (stupito e imbarazzato che l'insegnante gli chieda una cosa
così evidente): Loro!
Insegnante: Chi ‘loro’?
Ernesto: I ragazzi!
Insegnante: Bravo, e allora dillo. Bisogna sempre precisare il soggetto
altrimenti chi ti ascolta non capisce. E quanti sono i ragazzi?
Ernesto (un po' sfottente, un po' umiliato): Tre!
Insegnante: Bravo. Allora come dovevi dire?
Ernesto (tace, chiuso in se stesso)
Insegnante: Tre ragazzi stanno giocando a pallone. Adesso continua il
racconto.
(…)
SCENARIO 2
Ernesto: Stanno giocando a pallone e lui gli dà un calcio e va a
finire lì e rompe la finestra. Loro la guardano e lui si affaccia e
li sgrida perché l'hanno rotto. Poi loro scappano e lei guarda
fuori e li sgrida.
(L'insegnante lo lascia finire e intanto l'osserva. Com’è che a
Ernesto questa descrizione appare appropriata? Qual è il suo
punto di vista? Cosa sta comunicando? Ernesto man mano
che parla si infervora, si immedesima, la dinamica della storia
lo diverte. Le manda dei segnali di ammiccamento, di
complicità. Come ha inteso il compito che gli è stato
assegnato? Cosa è importante per lui?)
Insegnante (con atteggiamento di complicità): Sei un bravo
narratore. Hai impostato in modo efficace il racconto della
storia e io, guardando la vignetta, ho capito sempre cosa ti
riferivi. Ma adesso ti vorrei porre un problema più difficile:
come racconteresti la stessa storia a una persona che non la
sa già e che non ha questa vignetta sotto gli occhi?
(Ernesto è gratificato dall'accoglienza alla sua performance, ma
non capisce bene cosa gli sta proponendo l'insegnante, gli
sembra un po' confusa.)
SCENARIO 2
Insegnante: Per esempio facciamo finta che sul banco tu abbia
un telefono e tu chiami la tua amichetta che è a casa
ammalata. Per tenerle su il morale, le racconti quel che
abbiamo fatto in classe e vuoi descriverle la vignetta. Lei non
può vederla e quindi tu in questo caso devi dirle proprio tutto,
devi essere un po' pignolo in modo che lei possa immaginarsi
tutti i vari personaggi e quel che succede. Vediamo se sei un
bravo narratore anche in questo caso…
(Ernesto è chiaramente disponibile a collaborare con
l'insegnante in queste sue proposte fantasiose. Ma a recitare
una parte c’è la difficoltà dell'inizio. Esita.)
Insegnante (fingendo di fare un numero in un immaginario
telefono): Ciao Giovanna, come stai? Quando torni a scuola?
C'è qui Ernesto che ti vuole raccontare una storia sulla quale
abbiamo lavorato oggi.
Passa la cornetta ad Ernesto.
Ernesto (imbarazzato, ma divertito): Ciao Giovanna ecc. ecc.
Dev’essere finalizzata ad uno scopo
 Le caratteristiche del testo sono funzionali
a quello scopo
LINGUAGGIO
MATEMATICO
• Produzione di un testo
Dev’essere finalizzata ad uno scopo
 Le caratteristiche del testo sono funzionali
a quello scopo
• Affrontare e risolvere un problema
• Comunicare
• Argomentare / dimostrare
• Definire
• Generalizzare
Pierluigi Ferrari
Matematica e
linguaggio.
Quadro teorico e
idee per la didattica.
Pitagora 2005
Descrizione dell’attività
• 2 classi di II media (A1 e A2), in due località
D
diverse del comune di Alessandria
C
• FASE 1 (classe A1):
– L’insegnante di Matematica haA propostoB di
calcolare l’area del piano terra della scuola
– Gli alunni hanno riprodotto alla lavagna la
pianta in scala, si sono procurati le misure
necessarie e hanno calcolato l’area.
• FASE 2 (classi A1 e A2):
Si chiede alla classe A1 di proporre il problema
alla classe A2 soltanto attraverso un testo,
senza usare figure.
Testo prodotto dalla classe A1
(1) La nostra scuola assomiglia molto a
una culla vista di profilo
(2) Il nostro edificio si compone di 3
rettangoli, 2 dei quali posti
D
verticalmente e uno orizzontalmente
che li unisce nella parte superiore.
C
(3) Chiamiamo i 2 rettangoli posti
A
B
verticalmente A e B e quello
orizzontalmente C.
(4) Il trapezio D (che è la nostra palestra) è rettangolo ed è posto
sul rettangolo A e parte del rettangolo C, con il lato obliquo
adiacente all’altezza del rettangolo A. I due rettangoli A e B
sono uguali.
(5) Adesso vi diamo le misure: la base del rett. A (quindi anche di
B) misura 11 cm e l’altezza è 21 cm
(6) La base del rett. C misura 22 cm e l’altezza equivale
all’altezza del rettangolo A meno una rientranza di 10 cm
(7) Nel trapezio D la base maggiore appoggiata ai 2 rett. A e C
misura 18 cm e quella minore 16 cm. L’altezza misura 19 cm.
ALCUNI DISEGNI PRODOTTI DA A2
D
C
A
B
disegno originario
disegno riprodotto
(3) Chiamiamo i 2 rettangoli posti verticalmente A
e B e quello orizzontalmente C.
viene riformulato
(3’) Chiamiamo A il rettangolo verticale sulla destra, B
quello sulla sinistra e C quello orizzontale.
D
C
A
B
disegno originario
disegno riprodotto
(4) Il trapezio D (che è la nostra palestra) è rettangolo
ed è posto sul rettangolo A e parte del rettangolo
C, con il lato obliquo adiacente all’altezza del
rettangolo A.
viene riformulato
(4’) Il trapezio D (che è la nostra palestra) è rettangolo
ed è appoggiato sul rettangolo A e in parte sul
rettangolo C, con il lato obliquo consecutivo
all’altezza del rettangolo A.
L’apprendimento come attività costruttiva
• Misconcetti e modelli primitivi
• Linguaggio matematico e linguaggio
quotidiano
• Razionalità matematica e altre forme di
razionalità
• Convinzioni, atteggiamenti, emozioni
importanza per l’insegnante di avere un
repertorio di interpretazioni possibili