Rosetta Zan
Dipartimento di Matematica, Università di Pisa
[email protected]
L’apprendimento come attività
costruttiva e implicazioni
IL LINGUAGGIO
PAS A059
Incontro
29 aprile 2014
L’apprendimento come attività costruttiva
• Misconcetti e modelli primitivi
• Linguaggio matematico e linguaggio
quotidiano
importanza per l’insegnante di avere un
repertorio di interpretazioni possibili
Cosa vuol dire la parola…
AGO
?
Attività
• Quali sono a vostro parere le
caratteristiche del linguaggio matematico,
in particolare quelle che più lo
differenziano da quello quotidiano?
LINGUAGGIO
MATEMATICO
LINGUAGGIO
QUOTIDIANO
A volte le difficoltà nascono dall’uso
diverso degli stessi termini:
• ipotesi / tesi
• angolo, spigolo…
• altezza
O dall’uso diverso dei connettivi e
dell’implicazione
Connettivi
• 6 è un numero pari e divisibile per 3
• 6 è un numero divisibile per 3 e pari
…commutativo
• L’ho visto e ho cambiato strada.
• Ho cambiato strada e l’ho visto.
…non commutativo
Implicazione
• Se un numero è divisibile per 4 allora è
divisibile per 2
• Se un numero non è divisibile per 4 allora
non è divisibile per 2
• Se passi ti compro il motorino.
• Se non passi non ti compro il motorino.
Ma ci sono differenze più globali
Il ruolo del contesto:
• Altri linguaggi di accompagnamento
del messaggio: il tono della voce,
l’espressione del viso, la postura,
• La possibilità di utilizzare deissi
Da Bloedy-Vinner (1996)
Si chiede a studenti di corsi di
preparazione all'università di scrivere
un’equazione che traduca problema,
senza risolverlo:
Prima della partita Tal aveva il triplo delle bilie di
Gadi.
Durante la partita, Tal ha perso metà delle sue bilie
a favore di Gadi, e alla fine il numero delle bilie
di Gadi supera di 12 il numero delle bilie di Tal.
Errori frequenti:
 Utilizzare una lettera o un'espressione per denotare
il numero di bilie di un bambino, pensandole come se
cambiassero con l'evoluzione della storia
errori ‘analgebrici’
Prima della partita Tal aveva il triplo delle bilie di
Gadi.
Durante la partita, Tal ha perso metà delle sue bilie
a favore di Gadi, e alla fine il numero delle bilie
di Gadi supera di 12 il numero delle bilie di Tal.
Errori frequenti:
 Utilizzare una lettera o un'espressione per denotare
il numero di bilie di un bambino, pensandole come se
cambiassero con l'evoluzione della storia
errori ‘analgebrici’
(Ferrari): mentre il linguaggio quotidiano gode dell’aggiornamento
automatico degli indicali (se dico "questo è bello, questo no" chi è
presente capisce benissimo che ‘questo’ assume significati
diversi nella stessa frase, con l’aiuto di gesti, ecc), le variabili
matematiche, che spesso sono usate per rappresentare quantità
determinate in un preciso contesto spazio-temporale, non si
aggiornano automaticamente ma bisogna aggiornarle ‘a mano’,
sia usando variabili diverse quando è necessario ("x è bello, y no"),
sia modificando le espressioni (se adesso ‘la mia età’ è n anni,
fra dieci anni ‘la mia età’ è n+10 anni).
Ma ci sono differenze più globali
Il ruolo del contesto:
• Altri linguaggi di accompagnamento
del messaggio: il tono della voce,
l’espressione del viso, la postura,
• La possibilità di utilizzare deissi
• Le regole di comunicazione: il principio di
cooperazione di Grice
Principio di cooperazione
Esempio:
A: Dov’è Carlo?
B: C’è una Volkswagen gialla davanti a
casa di Anna.
In casi come questi l’ascoltatore per
mantenere l’assunto di cooperazione fa
delle inferenze:
implicature conversazionali
Annalisa
[Domanda in un test d’ingresso al 1° anno di
università]
Riconosci quale/i fra le affermazioni scritte
sotto sono equivalenti all’affermazione:
Non tutti gli operai della fabbrica sono italiani
(a) Tutti gli operai della fabbrica sono stranieri
(b) Alcuni operai della fabbrica sono italiani
(c) Alcuni operai della fabbrica sono stranieri
Ma anche:
72
7>2
22
2=2
LE DEFINIZIONI
Le definizioni
Il quadrato è un quadrilatero con 4
lati uguali e 4 angoli uguali.
Il quadrato è un quadrilatero con 4
lati uguali, paralleli 2 a 2, con 4
angoli uguali retti, le diagonali
uguali, perpendicolari, che si
dividono a metà!!!
ALTRI ESEMPI DI DIFFICOLTÀ
NELL’USO DEL LINGUAGGIO
MATEMATICO
L’uso delle lettere
Clement et al. (1981)
Scrivi un’equazione, usando le variabili S e
P per rappresentare il seguente enunciato:
‘In questa università gli studenti sono 6
volte i professori’. Usa S per il numero
degli studenti, e P per il numero dei
professori.
• 150 matricole di Ingegneria…
6S
=
P
37% sbaglia
• Se il rapporto professori/studenti è 4:5 invece
che 1:6 la percentuale di errore cresce al 73%
Rosnick, 1981
DOMANDA
b) i professori.
In questa università gli studenti
sono 6 volte
Più
22% degli studenti
scelse come
risposta
Questo fatto
è del
rappresentato
dall’equazione:
S=6P.
alla domanda
b: sta ad indicare la lettera P?
a) In questa equazione,
cosa
i) Professori ‘S sta per professore.’
ii) Professore
iii) Numero dei professori
iv) Nessuna delle risposte precedenti
v) Più di una fra le risposte precedenti (se sì, indica quali)
vi) Non so
b) Cosa sta ad indicare la lettera S?
DOMANDA a)
i)Professore
Più del 40% degli studenti non riconobbe
ii) Studente
nella risposta ‘Il numero dei professori’
iii)Studenti
risposta corretta alla domanda a.
iv) Numero degli la
studenti
v) Nessuna delle risposte precedenti
vi) Più di una fra le risposte precedenti (se sì, indica quali)
vii) Non so
Wagner (1981, 1983)
Un insegnante sta cercando di preparare gli
studenti alle scritture: x, x+1,…
L’insegnante parte quindi con un esempio
numerico:
I: Qual è l’intero successivo di 17?
S: 18.
I: Cosa bisogna fare per ottenere 18 da 17?
S: Aggiungere 1.
I: Bene. Ora supponiamo di chiamare x un intero
che non conosciamo. Come possiamo scrivere
l’intero successivo di x? Cioè, come possiamo
rappresentare il numero che si ottiene da x
aggiungendo 1?
S: y.
Ferrari
...per alcuni studenti lettere diverse
necessariamente indicano numeri diversi.
m,n sono numeri interi.
Si sa che m divide 7, e che n divide 7.
E’ vero che il prodotto mn divide 7?
...sì, perché i divisori di 7 sono solo 7 e 1, e quindi
m=7, n=1 o viceversa.
LINGUAGGIO
MATEMATICO
LINGUAGGIO
QUOTIDIANO
Comprensione di un testo
• Produzione di un testo
LINGUAGGIO
MATEMATICO
LINGUAGGIO
QUOTIDIANO
• Produzione di un testo
Dev’essere finalizzata ad uno scopo
 Le caratteristiche del testo sono funzionali
a quello scopo
LINGUAGGIO
QUOTIDIANO
• Produzione di un testo
Marianella Sclavi
Arte di ascoltare e mondi possibili.
Come si esce dalle cornici di cui siamo
parte.
SCENARIO 1
Contesto: Scuola elementare. L’insegnante chiede a Ernesto
(bambino che proviene da un contesto socio-culturale deprivato)
di raccontare la storia rappresentata in una vignetta.
Ernesto: Stanno giocando a pallone e lui gli dà un calcio…
Insegnante (lo interrompe): Chi è che gioca a pallone? Qual è il
soggetto che compie l'azione?
Ernesto (stupito e imbarazzato che l'insegnante gli chieda una cosa
così evidente): Loro!
Insegnante: Chi ‘loro’?
Ernesto: I ragazzi!
Insegnante: Bravo, e allora dillo. Bisogna sempre precisare il soggetto
altrimenti chi ti ascolta non capisce. E quanti sono i ragazzi?
Ernesto (un po' sfottente, un po' umiliato): Tre!
Insegnante: Bravo. Allora come dovevi dire?
Ernesto (tace, chiuso in se stesso)
Insegnante: Tre ragazzi stanno giocando a pallone. Adesso continua il
racconto.
(…)
SCENARIO 2
Ernesto: Stanno giocando a pallone e lui gli dà un calcio e va a
finire lì e rompe la finestra. Loro la guardano e lui si affaccia e
li sgrida perché l'hanno rotto. Poi loro scappano e lei guarda
fuori e li sgrida.
(L'insegnante lo lascia finire e intanto l'osserva. Com’è che a
Ernesto questa descrizione appare appropriata? Qual è il suo
punto di vista? Cosa sta comunicando? Ernesto man mano
che parla si infervora, si immedesima, la dinamica della storia
lo diverte. Le manda dei segnali di ammiccamento, di
complicità. Come ha inteso il compito che gli è stato
assegnato? Cosa è importante per lui?)
Insegnante (con atteggiamento di complicità): Sei un bravo
narratore. Hai impostato in modo efficace il racconto della
storia e io, guardando la vignetta, ho capito sempre cosa ti
riferivi. Ma adesso ti vorrei porre un problema più difficile:
come racconteresti la stessa storia a una persona che non la
sa già e che non ha questa vignetta sotto gli occhi?
(Ernesto è gratificato dall'accoglienza alla sua performance, ma
non capisce bene cosa gli sta proponendo l'insegnante, gli
sembra un po' confusa.)
SCENARIO 2
Insegnante: Per esempio facciamo finta che sul banco tu abbia
un telefono e tu chiami la tua amichetta che è a casa
ammalata. Per tenerle su il morale, le racconti quel che
abbiamo fatto in classe e vuoi descriverle la vignetta. Lei non
può vederla e quindi tu in questo caso devi dirle proprio tutto,
devi essere un po' pignolo in modo che lei possa immaginarsi
tutti i vari personaggi e quel che succede. Vediamo se sei un
bravo narratore anche in questo caso…
(Ernesto è chiaramente disponibile a collaborare con
l'insegnante in queste sue proposte fantasiose. Ma a recitare
una parte c’è la difficoltà dell'inizio. Esita.)
Insegnante (fingendo di fare un numero in un immaginario
telefono): Ciao Giovanna, come stai? Quando torni a scuola?
C'è qui Ernesto che ti vuole raccontare una storia sulla quale
abbiamo lavorato oggi.
Passa la cornetta ad Ernesto.
Ernesto (imbarazzato, ma divertito): Ciao Giovanna ecc. ecc.
Dev’essere finalizzata ad uno scopo
 Le caratteristiche del testo sono funzionali
a quello scopo
LINGUAGGIO
MATEMATICO
• Produzione di un testo
Dev’essere finalizzata ad uno scopo
 Le caratteristiche del testo sono funzionali
a quello scopo
• Affrontare e risolvere un problema
• Comunicare
• Argomentare / dimostrare
• Definire
• Generalizzare
Alcune proposte didattiche
• Scuola primaria
• Scuola secondaria di primo grado
• Scuola secondaria di secondo grado
Pierluigi Ferrari
Matematica e
linguaggio.
Quadro teorico e
idee per la didattica.
Pitagora 2005
Scuola primaria
• L’esempio illustrato è tratto da una sequenza di
attività finalizzate fra l’altro:
– alla rappresentazione delle strategie risolutive dei
problemi
– alla costruzione a tale scopo di espressioni con
lettere.
• Tali attività si sono sviluppate a partire della
seconda, e alla fine di tale anno scolastico si è
verificato l’episodio in esame.
• Il problema presentato è stato scelto per mettere
in luce l’atteggiamento che i bambini avevano
già raggiunto nei confronti del linguaggio.
Consegna: calcolare il numero delle palline delle prime 20
figure della sequenza.
Classe: 2a primaria (fine anno scolastico)
A proposito della figura n.10
• Anna (a proposito della figura n°10): “Allora, fa
diciannove … perché … considerando che la figura
cinque è nove … cinque più cinque fa dieci … dunque mi
ha portato a diciannove”
• Adriano: “Allora, … … se tu, se il numero in alto fosse
uguale alla base sarebbe un numero pari … però se noi
togliamo un numero in verticale viene un numero
dispari”
• L. parafrasa l’intervento di Adriano.
• Gianluca: “Io ho fatto … ehm … ho aggiunto nella base
tre pallini e poi in su sei”
• Eugenio: “Andiamo avanti di due fino a arrivare a
diciannove”
Fig.1
Fig.2
Fig.3
Fig.4
Fig.5
A proposito della figura n.10
L.: “Quindi nella figura numero sei quanti ne avremo?”
E.: “Undici”
L.: “Nella figura sette?”
E.: “Tredici”
L.: “Nella figura otto?”
E.: “Quindici”
L.: “Nella figura nove?”
E.: “Diciassette”
L.: “Nella figura dieci?”
E.: “Diciannove”
L.: “Eugenio praticamente vi ha detto che ogni volta
aggiungiamo due”
• Diversi alunni: “Due, due”
•
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•
•
•
• L.: “Se la figura che vogliamo prendere in
considerazione fosse la figura cento, o la figura
cinquanta, o la figura settanta …cioè sarebbe facile
continuare ad aggiungere due due due due?”
• Francesco: “No”
• L.: “Perché non sarebbe facile? Perché bisognerebbe
…”
• F.: “Bisognerebbe aggiungere tante volte tante volte e
poi diventerebbe noioso e lungo lungo lungo lungo
lungo”
• L.: “Diventerebbe noioso e lungo lungo lungo lungo, dice
Francesco. Allora dobbiamo trovare una regola o un
modo o un sistema che ci faccia arrivare a trovare la
soluzione senza stare lì a contare”
• E.: “Nella figura cinque, nella figura quattro nella figura
tre nella figura due i pallini della base sono uguali alla
figura”
• L.: “Alla figura o al numero indicato nella figura?”
• E.: “Eee … al numero indicato nella figura”
L’attività prosegue con la scoperta che la strategia
proposta da Biagio (sommare il numero della figura con
lo stesso numero diminuito di 1) equivale a raddoppiare
il numero della figura e sottrarre 1.
Dopo questa scoperta (basata sulle prove numeriche
effettuate) la classe si mette alla ricerca di un sistema
per abbreviare la notazione.
Tale esigenza è motivata dalla scelta, di tipo generale, di
rappresentare le strategie in forma esplicita.
La rappresentazione (per adesso verbale) della strategia
trovata evidentemente era troppo lunga rispetto al foglio
in cui doveva essere riportata.
La discussione continua come segue.
Anna: “Abbreviamo numero in modo che ci stia base”
Viene così proposta la scrittura
n.base per due meno uno = n. delle palline
L. suggerisce la parentesi dopo ‘per due’ e di eliminare
‘delle’. La classe concorda e si arriva così alla scrittura
(n.base x 2) – uno = n.palline
L.: “Vediamo se si può fare ancora qualcosa”
Giulia propone di scrivere ‘uno’ in cifra:
(n.base x 2) – 1 = n.palline
B.: “Mettere simboli per abbreviarlo ancora e quindi farlo
stringere di più. In un … palline … facciamo un cerchio e
diventa una pallina oppure ne facciamo due per il
plurale”
Biagio propone quindi la scrittura
(n.base x 2) – 1 = n.OO
Lo stesso Biagio propone un’ulteriore
abbreviazione.
B.: “Maestra, me n’è venuta un’altra … se
mettiamo per la base invece che base una str …
riga orizzontale, per verticale una verticale.”
La proposta (finale) di Biagio è quindi:
(n- x 2) – 1 = n OO
Nota: Nel corso dell’attività, il punto che seguiva
ogni occorrenza di n [n.] è poco a poco sparito.
Alcune proposte didattiche
• Scuola primaria
• Scuola secondaria di primo grado
• Scuola secondaria di secondo grado
Descrizione dell’attività
• 2 classi di II media (A1 e A2), in due località
D
diverse del comune di Alessandria
C
• FASE 1 (classe A1):
A
B
– L’insegnante di Matematica ha
proposto
di
calcolare l’area del piano terra della scuola
– Gli alunni hanno riprodotto alla lavagna la
pianta in scala, si sono procurati le misure
necessarie e hanno calcolato l’area.
• FASE 2 (classi A1 e A2):
Si chiede alla classe A1 di proporre il problema
alla classe A2 soltanto attraverso un testo,
senza usare figure.
Testo prodotto dalla classe A1
(1) La nostra scuola assomiglia molto a
una culla vista di profilo
(2) Il nostro edificio si compone di 3
rettangoli, 2 dei quali posti
D
verticalmente e uno orizzontalmente
che li unisce nella parte superiore.
C
(3) Chiamiamo i 2 rettangoli posti
A
B
verticalmente A e B e quello
orizzontalmente C.
(4) Il trapezio D (che è la nostra palestra) è rettangolo ed è posto
sul rettangolo A e parte del rettangolo C, con il lato obliquo
adiacente all’altezza del rettangolo A. I due rettangoli A e B
sono uguali.
(5) Adesso vi diamo le misure: la base del rett. A (quindi anche di
B) misura 11 cm e l’altezza è 21 cm
(6) La base del rett. C misura 22 cm e l’altezza equivale
all’altezza del rettangolo A meno una rientranza di 10 cm
(7) Nel trapezio D la base maggiore appoggiata ai 2 rett. A e C
misura 18 cm e quella minore 16 cm. L’altezza misura 19 cm.
ALCUNI DISEGNI PRODOTTI DA A2
D
C
A
B
disegno originario
disegno riprodotto
(3) Chiamiamo i 2 rettangoli posti verticalmente A
e B e quello orizzontalmente C.
viene riformulato
(3’) Chiamiamo A il rettangolo verticale sulla destra, B
quello sulla sinistra e C quello orizzontale.
D
C
A
B
disegno originario
disegno riprodotto
(4) Il trapezio D (che è la nostra palestra) è rettangolo
ed è posto sul rettangolo A e parte del rettangolo
C, con il lato obliquo adiacente all’altezza del
rettangolo A.
viene riformulato
(4’) Il trapezio D (che è la nostra palestra) è
rettangolo ed è appoggiato sul rettangolo A e in
parte sul rettangolo C, con il lato obliquo
consecutivo all’altezza del rettangolo A.
Alcune proposte didattiche
• Scuola primaria
• Scuola secondaria di primo grado
• Scuola secondaria di secondo grado
Agli studenti vengono presentati pattern diversi a seconda del
livello scolare.
Lavorando in piccoli gruppi agli studenti viene chiesto di:
1. Fare una investigazione di tipo aritmetico (spesso chiedendo di continuare i
disegni con possibili pattern, o di rispondere a specifiche figure “dopo generici
n passi”, dove n può essere ad esempio 10, come 25, come 100);
2. Esprimere in linguaggio naturale la generalizzazione del pattern (NOTA: qui
potrebbe essere interessante, passare ad altri questa produzione di un
gruppo, in stile lavoro precedente sulla descrizione della scuola)
3. Usare il simbolismo algebrico per descrivere il pattern.
Grade 8
3a media
Grade 10 – 2a superiore