ISTITUTO PROFESSIONALE DI STATO PER I SERVIZI
COMMERCIALI TURISTICO ALBERGHIERI E DELLA
RISTORAZIONE “B. STRINGHER”- UDINE
CALCOLO LETTERALE
I PRODOTTI NOTEVOLI
a cura dei prof. Roberto Orsaria e
Monica Secco
Cosa sono i prodotti notevoli?
Sono particolari prodotti o potenze di
polinomi, che si sviluppano secondo
formule facilmente memorizzabili. I più
comuni sono: il quadrato di un binomio, la
differenza di due quadrati, il quadrato di un
trinomio, il cubo di un binomio
Quadrato di un binomio
Si può presentare nelle due forme:
(a+b)2
e
(a-b)2
Sviluppo del quadrato di un
binomio
Applichiamo la regola della moltiplicazione
di polinomi:
(a+b)2= (a+b)· (a+b)= a2+ab+ba+b2=
sommando i monomi simili, otteniamo
=a2+2ab+b2
Formula del quadrato di un
binomio
Senza effettuare ogni volta tutti i passaggi si
può memorizzare la formula finale del
quadrato di un binomio:
(a+b)2= a2+2ab+b2
Quindi:
Il quadrato di un binomio è uguale alla
somma del quadrato del primo termine (a2)
più il quadrato del secondo (b2) termine più
il doppio prodotto dei due termini (+2ab).
(a+b)2= a2+2ab+b2
Della formula del quadrato di un binomio si
può dare anche una interpretazione
geometrica:
costruiamo un quadrato di lato a+b: la sua
area vale A= (a+b)·(a+b)=(a+b)2
a
b
il quadrato è scomponibile nelle figure seguenti:
un quadrato di area a2
due rettangoli di area ab
e un quadrato di area b2
a2
b2
ab
a2
ab
b2
Anche dall’interpretazione geometrica si
può quindi vedere che lo sviluppo di (a+b)2
non è dato solo dalla somma dei due termini
a2 e b2, ma anche dal doppio prodotto 2ab
a2
b2
ab
ab
Cosa cambia per
2
(a-b)
?
Nel caso di (a-b)2 cambia solo il segno del
doppio prodotto (-2ab), per cui otteniamo:
(a-b)2= a2 –2ab+b2
Quadrato di un trinomio
Un altro prodotto notevole è il quadrato di
un trinomio:
(a+b+c)2
Per ottenere la formula del quadrato di un
trinomio si applica la regola del prodotto di
polinomi:
(a+b+c)2= (a+b+c)(a+b+c)=
= a2+ab+ac+ba+b2+bc+ca+cb+c2=
semplificando i monomi simili si ottiene:
= a2+b2+c2 +2ab+2ac+2bc
Anche per la formula del quadrato del
trinomio si può dare una giustificazione
geometrica:
costruiamo un quadrato di lato a+b+c e
scomponiamolo come in figura:
a
b
c
a2
ab ac
ab
ac
b2 bc
bc c2
L’area del quadrato di lato a+b+c è pari a (a+b+c)2 ma, come
si vede dalla figura, è anche uguale alla somma delle aree dei
quadrati e dei rettangoli in cui è stato scomposto e cioè a:
(a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
che è la formula del quadrato di un trinomio
a2
b2
+
+
ac
ac
+
c2
+
bc
+ bc
ab
ab
Differenza di quadrati
Consideriamo il prodotto
(a+b)(a-b)
e applichiamo la regola del prodotto di
polinomi:
(a+b)(a-b)= a2-ab+ba-b2 =
semplifichiamo i due monomi simili:
= a2-b2
quindi la formula finale è:
(a+b) (a-b) = a2-b2
questa è la formula della differenza di
due quadrati
Esempi:
(2x+3y)(2x-3y)= 4x2-9y2
(a3+5b2)(a3-5b2)=a6-25b4
(x2y3+3)(x2y3-3)=x4y6-9
Cubo del binomio
Un altro prodotto notevole che si incontra è
il cubo del binomio:
(a+b)3
ovvero
(a-b)3
Consideriamo il cubo del binomio come prodotto
del quadrato del binomio per il binomio stesso:
(a+b)3= (a+b)2(a+b)
applichiamo la formula del quadrato del binomio:
(a+b)2(a+b)= (a2+2ab+b2)(a+b)
applichiamo ora la regola del prodotto di
polinomi:
(a2+2ab+b2)(a+b)=a3+a2b+2a2b+2ab2+b2a+b3=
e sommando i monomi simili (dello stesso colore)
otteniamo:
=a3+3a2b+3ab2+b3
Formula del cubo di un binomio
Quindi lo sviluppo del cubo di un binomio
è:
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
e analogamente:
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3