Premessa
Alcuni tipi di moltiplicazioni tra
polinomi, in cui capita di imbattersi
frequentemente, si possono effettuare
in modo rapido, ricordando alcune
semplici regole, chiamate prodotti
notevoli.
Essi sono utili non solo per semplificare
i calcoli, ma anche per la scomposizione
in fattori di polinomi.
I prodotti notevoli vengono di solito
imparati a memoria e quindi, spesso, è
facile fare degli errori o incorrere in
dimenticanze.
E’ necessario perciò impostare lo studio
di essi in modo da presentare due
interpretazioni: quella algebrica e quella
geometrica.
La visualizzazione dei prodotti notevoli
attraverso l’uso della geometria aiuterà
gli studenti a capire meglio queste
formule e a ricordarle nel tempo.
Verranno esaminati i seguenti prodotti
notevoli:
Somma per differenza: (A+B)(A-B)=A2-B2
Quadrato di un binomio: (A+B)2=A2+2AB+B2
Quadrato di un trinomio: (A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC
Cubo di un binomio: (A+B)3=A3+B3+3A2B+3AB2
Somma per differenza
(interpretazione algebrica)
Eseguiamo la moltiplicazione tra A+B e A-B:
(A+B)(A-B) = A2-AB+BA-B2 = A2-B2
Se A e B sono due generici monomi, il prodotto della
somma di A e B per la loro differenza è uguale alla
differenza tra il quadrato di A e il quadrato di B:
(A+B)(A-B)=A2-B2
Somma per differenza
(interpretazione geometrica)
•
•
•
Ritagliamo da un angolo di un quadrato di lato A un quadrato di lato B (a
sinistra): si ottiene una figura di area A2-B2 che è l’unione del rettangolo
giallo e del rettangolo azzurro.
Ritagliamo ora il rettangolo azzurro e incolliamolo a quello giallo (a
destra): si ottiene un nuovo rettangolo di lati A+B e A-B avente area
(A+B)(A-B).
Dall’equivalenza delle due figure segue (A+B)(A-B)=A2-B2.
Esempi (differenza di quadrati)
• (3x+2y)(3x-2y)=(3x)2-(2y)2=9x2-4y2
• (½ab-5c)(½ab+5c)=(½ab)2-(5c)2=¼a2b2-25c2
• (-4xy+z2)(-4xy-z2)=(-4xy)2-(z2)2=16x2y2-z4
Quadrato di un binomio
(interpretazione algebrica)
Calcoliamo il quadrato di A+B:
(A+B)2 =(A+B)(A+B)=A2+AB+BA+B2= A2+2AB+B2
Se A e B sono due generici monomi, il quadrato di A+B
è uguale al quadrato di A più il doppio prodotto di A e
B più il quadrato di B:
(A+B)2=A2+2AB+B2
Quadrato di un binomio
(interpretazione geometrica)
•
Il quadrato di sinistra ha lato A+B e quindi la sua area è (A+B)2.
•
Il quadrato di destra è diviso in due quadrati di area A2 (verde) e B2
(azzurro) e in due rettangoli di colore arancione, ognuno di area AB.
•
Dall’equivalenza delle due figure segue (A+B)2=A2+2AB+B2.
Esempi (quadrato di un binomio)
• (2x+3y)2=(2x)2+2(2x)(3y)+(3y)2=4x2+12xy+9y2
• (4xy-z2)2=(4xy)2+2(4xy)(-z2)+(-z2)2=16x2y2-8xyz2+z4
• (½a+b)2=(½a)2+2(½a)(b)+(b)2=¼a2+ab+b2
Quadrato di un trinomio
(interpretazione algebrica)
Calcoliamo il quadrato di A+B+C:
(A+B+C)2 =
=(A+B+C)(A+B+C)=A2+AB+AC+BA+B2+BC+CA+CB+C2=
= A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC
Dati i monomi A, B e C il quadrato del trinomio è uguale alla
somma dei quadrati dei tre termini e dei doppi prodotti di
ciascuno di essi per tutti quelli che lo seguono:
(A+B+C)2 =A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC
Quadrato di un trinomio
(interpretazione geometrica)
•
•
•
Il quadrato di sinistra ha lato A+B+C e quindi la sua area è (A+B+C)2.
Il quadrato di destra è diviso in un quadrato giallo di area A2, uno rosa di
area B2 e uno azzurro di area C2, in due rettangoli arancione ognuno di
area AB, in due rettangoli verdi ognuno di area AC e in due rettangoli viola
ognuno di area BC.
Dall’equivalenza delle due figure segue (A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC.
Esempi (quadrato di un trinomio)
• (2x-y-z)2=(2x)2+(-y)2+(-z)2+2(2x)(-y)+2(2x)(-z)+2(-y)(-z)=
=4x2+y2+z2-4xy-4xz+2yz
• (2a2-ab+3b)2=(2a2)2+(-ab)2+(3b)2+2(2a2)(-ab)+2(2a2)(3b)+2(-ab)(3b)=
=4a4+a2b2+9b2-4a3b+12a2b-6ab2
Cubo di un binomio
(interpretazione algebrica)
Calcoliamo il cubo di A+B:
(A+B)3 =(A+B)2(A+B)=(A2+2AB+B2)(A+B)=
=A3+A2B+2A2B+2AB2+AB2+B3=
= A3+B3+3A2B+3AB2
Dati i monomi A e B il cubo di A+B è uguale alla somma
dei cubi di A e B più il triplo prodotto del quadrato di
A per B più il triplo prodotto di A per il quadrato di B:
(A+B)3=A3+B3+3A2B+3AB2
Cubo di un binomio
(interpretazione geometrica)
•
•
•
•
L’interpretazione geometrica della formula del cubo di un binomio si può
effettuare nello spazio.
Il cubo di sinistra ha spigolo A+B e quindi il suo volume sarà (A+B)3.
Il cubo di destra risulta essere suddiviso in due cubi e in sei
parallelepipedi.
Dall’equivalenza dei due cubi segue (A+B)3=A3+B3+3A2B+3AB2.
Esempi (cubo di un binomio)
• (x+2y)3=(x)3+(2y)3+3(x)2(2y)+3(x)(2y)2=
=x3+8y3+6x2y+12xy2
• (a2b-c)3=(a2b)3+(-c)3+3(a2b)2(-c)+3(a2b)(-c)2=
=a6b3-c3-3a4b2c+3a2bc2