p0  p1
p2
p
(tre giunti rotativi)
Nota: lo Jacobiano è
funzione dello stato del
sistema, ovvero della
postura
M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion
Esempio – Manipolatore Antropomorfo
}
Dello Jacobiano trovato, solo 3 righe possono essere linearmente indipendenti
Consideriamo (ad esempio) le
prime tre che esprimono la
relazione che esiste tra le
velocità dei giunti e le velocità
lineari dell’organo terminale
Si hanno solo 3 gradi di mobilità
La velocità angolare dell’organo
terminale non potrà essere
specificata in maniera
indipendente
M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion
Esempio – Manipolatore Antropomorfo
Lo Jacobiano, che consente di definire la trasformazione lineare tra velocità ai giunti
e velocità dell’organo terminale, è in generale funzione della configurazione
(postura) q
Quelle configurazioni per cui J diminuisce di rango, vengono definite singolarità
cinematiche
La caratterizzazione delle singolarità cinematiche è di fondamentale interesse:
• le singolarità rappresentano configurazioni in corrispondenza delle quali si ha
una perdita di mobilità della struttura
• quando la struttura è in una configurazione singolare, possono esistere
infinite soluzioni al problema cinematico inverso
• nell’intorno di una singolarità, velocità ridotte nello spazio operativo, possono
indurre velocità molto elevate (e quindi non realizzabili) nello spazio dei giunti
M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion
Singolarità Cinematiche
Le singolarità si classificano nelle seguenti due tipologie:
• ai confini dello spazio di lavoro raggiungibile: si presentano quando il
manipolatore è tutto steso o tutto ripiegato su se stesso. In generale non
rappresentano un inconveniente in quanto è in generale possibile evitare che il
manipolatore lavori in prossimità dei confini dello spazio di lavoro
• all’interno dello spazio di lavoro raggiungibile: si generano tipicamente
con l’allineamento di due o più assi di moto od in corrispondenza di particolari
posture. Queste rappresentano un problema oggettivo in quanto, essendo
all’interno dello spazio di lavoro, possono essere incontrate nelle tipiche
traiettorie pianificate senza volerlo!
M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion
Singolarità Cinematiche
Manipolatore planare a due bracci:
Considerando solo le componenti di
velocità nel piano lo Jacobiano è pari a:
In cui il determinante è pari a:
det J   a1  a2  sin 2 
2  0
det J   0  
2  
Singolarità di confine dello spazio
operativo
Singolarità interna allo spazio
operativo
M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion
Esempio - Singolarità Cinematiche
Manipolatore planare a due bracci:
e1
e2
In corrispondenza della singolarità di confine lo jacobiano diviene:
 a1  a2   sin 1   a2  sin 1 
2  0  J  
   e1   e1 

 a1  a2   cos1  a2  cos1  
Che vuol dire che sia azionando il motore del primo che del secondo braccio, il
manipolatore ha la possibilità di muoversi solamente lungo e1 e non lungo e2, e
quindi non è in grado di seguire una generica traiettoria
M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion
Esempio - Singolarità Cinematiche
TARGET
Quale delle due traiettorie è
percorribile ???
e1
e2
Traiettoria percorribile
Traiettoria NON percorribile
Esempio qualitativo di traiettorie percorribili e NON percorribili
M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion
Esempio - Singolarità Cinematiche
Per strutture complesse ed a molti gradi di libertà, l’individuazione delle singolarità
cinematiche basata sull’annullamento del determinante dello Jacobiano può
risultare complessa (soluzioni multiple, non in forma chiusa, etc.)
Una maniera di disaccoppiare le singolarità è quella di impiegare un polso
sferico montato su di un robot antropomorfo, cartesiano, etc.
In tale maniera infatti la struttura (i primi tre bracci) si occupano di portare il polso
in posizione, il polso si occupa di orientare l’organo finale
In una configurazione del genere è possibile articolare il problema nei due
sottoproblemi indipendenti:
• calcolo delle singolarità della struttura portante (moto dei primi 3 bracci)
• calcolo delle singolarità del polso (moto dei giunti di polso)
Manipolatore antropomorfo con Polso
Sferico
M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion
Disaccoppiamento delle Singolarità Cinematiche
Partizioniamo lo Jacobiano in blocchi 3x3:
 J11
J 
 J 21
J12 
J 22 
p = p3 = p4 = p5 origine delle
terne di polso
Nota: così lo Jacobiano non rappresenta le velocità
dell’organo terminale ma del centro del polso
p’ = origine della terna organo terminale
(convenzione usuale)
Essendo il polso sferico costituito da tre giunti rotativi, i due blocchi a destra dello
jacobiano ovvero quelli relativi agli ultimi 3 assi risultano:
p-pi = 0
In cui, scegliendo l’origine della terna che esprime posizione ed orientamento
dell’organo terminale in corrispondenza dell’intersezione degli assi di polso, quindi
p e non p’, si ha:
J12 = 0
NOTA: ci mettiamo nel centro del giunto sferico che può solo ruotare e non traslare
M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion
Disaccoppiamento delle Singolarità Cinematiche
In tale caso la matrice diviene triangolare inferiore a blocchi (blocco in alto a destra
nullo), ed il determinante si semplifica in:
 J11
J 
 J 21
0 
J 22 
det J   det J11   det J 22 
det J11   0
Singolarità di struttura portante
det J 22   0
Singolarità di polso
M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion
Disaccoppiamento delle Singolarità Cinematiche
Dunque si hanno singolarità di polso quando due tra z3 z4 z5 risultano allineati:
5  0, 
5  0
In questo caso non si possono
avere rotazioni attorno a zx
zx
Poiché tale singolarità può incontrarsi ovunque all’interno dello spazio
raggiungibile dal manipolatore, particolare cura va posta all’atto della
pianificazione del moto
M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion
Singolarità di Polso
11
det J11   a2  a3  sin 3   a2  cos2   a3  cos2  3 
Nota: lo Jacobiano non dipende dall’angolo del giunto di base il quale
semplicemente determina rispetto a z0 l’orientazione del robot, ma non ne cambia
la postura relativa dei bracci
M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion
Singolarità di Struttura portante - Antropomorfo
3  0
sin 3   0  
3  
sin 3   0

det J11   0  
a2  cos2   a3  cos2  3   0
Si verifica quando il gomito è tutto steso o ripiegato su se stesso. Vengono definite
singolarità di gomito ed è concettualmente analoga a quella del manipolatore
planare a due bracci
M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion
Singolarità di gomito – Manip. Antropomorfo
sin 3   0

det J11   0  
a2  cos2   a3  cos2  3   0
L’asse z0
rappresenta
infiniti punti di
singolarità
px = p y = 0
11
11
0
0
0
0
Per la seconda si ha che un movimento della
spalla (q2) non produce un moto lungo z0
M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion
Per la prima colonna si
ha che un movimento
del giunto di base q1 non
muove l’organo
terminale
q3 permette un
movimento nel piano
ortogonale agli assi
z1 e z2 e passante
per z0
Singolarità di spalla – Manip. Antropomorfo
11
0
0
0
0
Per la seconda si ha che un movimento della
spalla (q2) non produce un moto lungo z0
M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion
Per la prima colonna si
ha che un movimento
del giunto di base q1 non
muove l’organo
terminale (il polso)
q3 permette un
movimento nel piano
ortogonale agli assi
z1 e z2 e passante
per z0
Singolarità di spalla – Manip. Antropomorfo
z0
L’asse z0
rappresenta
infiniti punti di
singolarità
z1
S1
 sin 1  
z1   cos1 


0


S0
Per convenzione z1 si trova
allineato con –y0
(con variabile di giunto q1 nulla)
M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion
Singolarità di spalla – Manip. Antropomorfo
 sin 1  
z1   cos1 


0


z1  J 11  sin 1   cos1  0 J 11  0 0 0
T
z0
z1’
z1
L’asse z0
rappresenta
infiniti punti di
singolarità
In singolarità di spalla il manipolatore
Antropomorfo non ha possibilità di muoversi
lungo z1
M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion
Singolarità di spalla – Manip. Antropomorfo
n: gradi di mobilità (lunghezza vettore q)
m: numero di variabili necessarie a caratterizzare lo spazio operativo
r: numero di variabili necessarie a specificare il compito
Lo Jacobiano determina il legame tra le n componenti del vettore velocità ai giunti
(dq/dt) con le r  m componenti del vettore velocità generalizzata v necessarie a
specificare il compito
I gradi di mobilità ridondanti si definiscono R = n - r
Il manipolatore è ridondante se R > 0
Ad esempio nel caso del manipolatore planare a tre bracci, esso non è
intrinsecamente ridondante (m = n = 3) e lo Jacobiano ha rango 3
Ma, se il compito non impone vincoli sull’assetto, r = 2 e quindi n > r il manipolatore
risulta funzionalmente ridondante
M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion
Analisi della Ridondanza
R(J) immagine di J (Jacobiano) è il
sottospazio in Rr che individua le
velocità dell’organo terminale che
possono venire generate dalle velocità
di giunto
Spazio delle
variabili di giunto
Spazio operativo
N(J) nullo di J è il sottospazio di Rn a
cui appartengono le velocità di giunto
che non producono alcuna velocità
all’organo terminale:
q' N J   J  q'  0
Se lo Jacobiano ha rango pieno:
• dim(R(J)) = r
• dim(N(J)) = n-r = R (gradi di mobilità ridondanti)
dim(R(J)) + dim(N(J)) = n (indipendentemente dal rango della matrice J)
M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion
Analisi della Ridondanza
L’esistenza per i manipolatori ridondanti di un sottospazio N(J) ≠ 0 consente di
individuare procedure sistematiche per la gestione dei gradi di ridondanza
Se con q si indica un vettore soluzione della cinematica differenziale (che
consente di raggiungere le velocità desiderate nello spazio operativo), e se P è una
*
matrice tale che:
RP   N J  (R: ‘range’) ovvero che P · q0 appartiene al nullo
di J per ogni q0
Anche il vettore
E risulta:
q  q *  P  q0
q0
è soluzione della cinematica differenziale
J  q  J  q *  J  P  q0  J  q * q0
M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion
Analisi della Ridondanza
La possibilità di aggiungere al moto dei giunti q un moto dei giunti sovrapposto
P  q0 che non ha influenza sul moto nello spazio operativo (ovvero genera dei
moti interni alla struttura), è di fondamentale importanza per i seguenti motivi:
*
• consente di aggirare ostacoli
• minimizzare l’energia
• far assumere posture destre al manipolatore
•…
M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion
Analisi della Ridondanza
M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion
Impiego della Ridondanza – Aggiramento ostacoli
Supponiamo che il compito sia lo
spostamento degli ingranaggi dalla
posizione iniziale a quella mostrata
in figura
Si potrebbero muovere tutti i giunti in maniera coordinata, oppure …
M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion
Impiego della Ridondanza – Minimizzazione Energia
… assumere una postura tale da avere la possibilità di raggiungere la posizione
desiderata con il solo moto dell’ultimo braccio (e quindi con minima coppia
applicata)
M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion
Impiego della Ridondanza – Minimizzazione Energia
M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion
Impiego della Ridondanza – Minimizzazione Energia
Quale delle due posture consente
maggiore destrezza ???
M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion
Impiego della Ridondanza – Posture Destre
M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion
Impiego della Ridondanza – Posture Destre