Densita’ degli stati di una particella in una buca di potenziale tridimensionale a pareti rigide
l’energia di una particella confinata in una buca di potenziale tridimensionale cubica, ossia in una scatola
cubica a pareti rigide di lato a, e’ data dalla relazione :
E
 2 2
2ma
2
(k12  k 22  k32 )
dove i ki sono numeri interi positivi
L’energia della particella e’ quantizzata in livelli energetici che dipendono dalla terna di numeri interi positivi
k1 k2 e k 3 .
ad una fissata generica energia E corrispondono molti stati diversi, cioe’ molte diverse terne di numeri interi
k1 k2 e k3 portano ad uno stesso stato energetico .
ma quanti sono esattamente ?  problema della degenerazione degli stati energetici
per stimarlo immaginiamo uno spazio in cui ad ogni punto di coordinate k1 k2 e k3 sia associato un
volumetto unitario
posto k  k  k  k
2
2
1
2
2
2
3
π 2 2 2
E
k
2
2ma
2ma2 E
k  2 2
 
2
il numero di stati diversi che hanno energia E e’ dato da quegli interi la cui somma dei quadrati
vale k2 . Il luogo dei punti e’ la superficie di una sfera di raggio k2.
Fissata una generica energia E per determinare il numero di stati che possiedono energia compresa tra 0
ed E bastera’ stimare il volume di una sfera di raggio k2
1 4 3  2ma 2 E 2  3 2mE 2
N ( E )  (# stati con energia  E )  ( k )  ( 2 2 )  a ( 2 2 )
8 3
6  
6
 
3

3
2mE

4  2mE 2  3 1
 a ( 2 2 ) 2  a3 (
)  a 3 (8m) 2 E 2
2
6
 
6
h
6 h
3
3
3
3
3

dato che  
h
2
1

8
8
 a 3 3 (2 2  2m) 2 E 2  a 3 3 (2m) 2 E 2  3 a 3  2 2  m 2  E 2
6 h
6 h
6h
3
3
3
3
3
3
3
8
8
 3 a 3  (23 ) 2  (m3 ) 2  E 2  3 a 3  (2 2  2) 2  (m3 ) 2  E 2
6h
6h
1
1
3
8 3
 3 a  ( 2m 3 ) 2  E 2
3h
in conclusione :
1
3
1
1
3
8 3
N ( E )  3 a  ( 2m 3 ) 2  E 2
3h
1
3
N(E) da’ il numero di stati con energia compresa tra zero ed E, per trovare il numero di stati con energia
tra E ed E+ dE bisogna differenziare l’espressione precedente
attenzione: gli stati energetici sono quantizzati e a rigore non sarebbe corretto trattarli usare il calcolo
differenziale. Tuttavia la densita’ dei livelli e’ di solito molto alta e la discretizzazione della energia puo’
essere in questi casi tralasciata trattando il problema come nel continuo.
1
3 2
8 3
3
4a 3  (2m ) 12
dN ( E )  3 a  (2m )  E dE 
E dE
3
3h
2
h
1
3 2
1
2
da notare :
1) al denominatore compare la costante di Planck h e non la costante ridotta
2) a3 e’ il volume della buca di potenziale. Posto a3 = V si ha:
1
3 2
4V  (2m )
dN ( E ) 
E 2 dE
3
h
1
ovvero :
1
3 2
dN ( E ) 4V  (2m )
g (E) 

E2
3
dE
h
1
g(E) e’ la densita’ degli stati ossia il numero di stati per
intervallo unitario di energia, all’energia E.

Backup Slides
k1
1
1
1
1
1
k2
1
1
1
1
1
k3
1
2
3
4
5
k2
3
6
11
18
27
k1
2
2
2
2
2
k2
1
1
1
1
1
k3
1
2
3
4
5
k2
6
9
14
21
30
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
1
2
3
4
5
6
9
14
21
30
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
3
4
5
9
12
17
24
33
1
1
1
1
1
3
3
3
3
3
1
2
3
4
5
11
14
19
26
35
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
1
2
3
4
5
14
17
22
29
38
1
1
1
1
1
4
4
4
4
4
1
2
3
4
5
18
21
26
33
42
2
2
2
2
2
4
4
4
4
4
1
2
3
4
5
21
24
29
36
45