Una particella e’ collocata in una buca di potenziale infinita di larghezza a.
• Calcolare quale sia la probabilita’ di trovare la particella nel primo terzo della buca.
• Determinare la dipendenza della probabilita’ dalle dimensioni della buca di potenziale.
• Per una particella nello stato fondamentale valutare il risultato in funzione delle
aspettative delle fisica classica
2
n x
sen
a
a
2
2
2 n x
 n ( x)  sen
a
a
La soluzione della equazione di Schrodinger indipendente dal tempo e’
La probabilita’ e’ il modulo quadro della funzione d’onda :
1)
 n ( x) 
Calcoliamo quale sia la probabilita’ che la particella sia trovata nel primo terzo della buca di
potenziale di larghezza a.
a
2 a3
2
2 n x
Prob( 0  x  )    n ( x) dx   sen
dx
0
3
a
a
sfruttando la relazione trigonometrica :
Prob( 0  x 
sin 2  
a
3
1 1
 cos 2
2 2
a
21
a
2nx
2 1
a
)
x
sin(
)  ( a
sin(
3
a 2
4n
a 0 a 6
4n
a
2n
2 1
a
3 ))  1  1 sin( 2n )
 ( a
sin(
a 6
4n
a
3 2n
3
2n
a
a
3 )) 
in conclusione:
2)
a
1
1
2n
Prob( 0  x  )  
sin(
)
3
3 2 n
3
La probabilta’ risulta indipendente da a quindi la risposta alla terza domanda e’ che :
la probabilita’ non dipende dalla largezza della buca di potenziale
3)
Se la particella e’ nello stato fondamentale n = 1
a
1 1
2
1
Prob( 0  x  )  
sin(
)   0.137  0.196  20%
3
3 2
3
3
Classicamente non ci si sono vincoli alla posizione della particella nella buca di potenziale. Ogni
posizione e’ equivalente alle altre, ci si aspetta una distribuzione uniforme e quindi una
probabilita’ pari ad un terzo di trovare la particella nel primo terzo della buca.
viceversa la probabilita’ quantistica e’ minore. Quantisticamente la particella ha maggior probabilita’
di trovarsi intorno al centro della buca che non ai lati.