Appunti di Probabilità
Sara Pasquali
CNR-IMATI, Sezione di Milano
[email protected]
www.mi.imati.cnr.it/∼sara
Testi di riferimento:
• Dall’Aglio G., Calcolo delle Probabilità,
Zanichelli
• Scozzafava R., La probabilità soggettiva
e le sue applicazioni, editoriale Veschi
Lettura interessante:
• Isaac R., The pleasures of probability,
Springer-Verlag
1
Probabilità e statistica
Statistica descrittiva: sintesi di un gran numero di dati (media, SD, istogrammi). Non
richiede la conoscenza del CDP.
Es. altezza dei ragazzi in una scuola.
Statistica inferenziale: studia le caratteristiche di una popolazione a partire da informazioni rilevate su un campione. Richiede la
conoscenza del CDP.
Es. azienda che acquista 5000 guarnizioni.
Quanti pezzi difettosi?
CDP: dà delle regole di calcolo. Permette di
misurare l’incerto e di costruire modelli per
lo studio di fenomeni aleatori.
Es. probabilità di ottenere 2 nel lancio di 1
dado: 1
6 . Probabilità di ottenere somma 7
nel lancio di due dadi?
2
Cenni storici
Calcolo delle probabilità sconosciuto al mondo
antico per assenza metodo sperimentale
Rinascimento: Cardano (1526?) prima trattazione della probabilità: calcolo della probabilità della somma di tre dadi, problema ripreso poi da Galileo (1620)
Nascita del calcolo delle probabilità attribuita
alla corrispondenza (1654) tra Pascal e Fermat
Interesse di Pascal attivato da un giocatore
d’azzardo dell’epoca, de Méré, che lamentava discrepanza tra suoi calcoli e la frequenza
dei risultati (a lui sfavorevole)
Paternità di Pascal contestata, ma Pascal
compie primi studi sistematici.
3
Contrasto con impostazione di Cartesio, alla
base del determinismo, ormai abbandonato
dalla scienza moderna
Pascal: costruzione di modelli che descrivono
approssimativamente i fenomeni
Nato come teoria matematica dei giochi, il
Calcolo delle probabilità crebbe progressivamente di importanza
Laplace (1812): “E’ notevole il fatto che una
scienza che è iniziata con l’analisi dei giochi
d’azzardo dovesse essere elevata al rango dei
più importanti oggetti della conoscenza umana”
Applicazioni del Calcolo delle probabilità oggi
presenti in ogni ramo della scienza, nella tecnologia, nella finanza.
4
Prime estensioni (fine 17mo secolo) in campo
assicurativo per calcolare il valor medio di una
rendita vitalizia
Alla fine del 18mo secolo la probabilità entra
nell’astronomia e nella fisica. L’aleatorietà
entra non solo nelle osservazioni, ma nello
stesso processo fisico. Le leggi classiche sono
inadeguate a rappresentare i fenomeni studiati: si formulano modelli aleatori
Boltzmann: teoria cinetica basata sulla probabilità
Mendel: studio probabilistico della trasmissione ereditaria dei caratteri (inizio della genetica moderna)
5
Teoria dell’affidabilità: valuta quanto si può
contare sul corretto funzionamento di un apparecchio
Teoria delle code: arrivi ad uno sportello,
chiamate ad un centralino, arrivi di aerei ad
una pista, pazienti al pronto soccorso
Campo giuridico: nel secolo 19mo si sviluppò
una discussione sulla probabilità di errore nel
verdetto di una giuria. Vi parteciparano Laplace
e Poisson. Condorcet contribuı̀ a scegliere
la maggioranza richiesta per la validità del
verdetto nelle giurie popolari. Negli anni ’50
de Finetti e Pompilj sottolinearono l’utilità
del teorema di Bayes in campo giuridico. Solo
nel 1972 de Finetti e dall’Aglio effettuarono
una perizia statistico-probabilistica per il tribunale di Roma. L’episodio rimase isolato
per molti anni. Oggi l’utilizzo in campo giuridico è più diffuso grazie all’analisi del DNA
6
Nel secolo XX grande sviluppo della Statistica, “braccio operativo”, della probabilità:
studia sostanzialmente come combinare le probabilità che misurano l’incertezza relativa ad
un certo fenomeno con osservazioni sperimentali del fenomeno stesso
Oggi la probabilità si sente anche alla TV. In
particolare nel gioco del lotto dove si sottolinea l’impossibilità di una vincita certa con i
ritardi.
Dibattito sulla probabilità che rimangano i 2
premi più alti nei pacchi al termine del gioco
7
Gli ingredienti di base del CDP
“eventi” ⇔ insiemi
A, B, C, . . .
P (A) probabilità di A, numero reale
eventi incompatibili ⇔ insiemi disgiunti
unione di eventi = evento che consiste nel
verificarsi di almeno uno degli eventi considerati ⇔ A ∪ B ∪ C . . .
Ā evento che si verifica quando non si verifica A ⇔ negazione dell’evento ⇔ insieme
complementare.
Due impostazioni per definire la probabilità:
• assiomatica o di Kolmogorov: basta sulla
teoria della misura
• soggettiva:
erenza
basata sul concetto di co-
8
Valutazioni di probabilità in casi particolari
Valutazione classica (Pascal)
n. casi favorevoli ad A
P (A) = n. casi possibili,
purché equiprobabili
Definizione a carattere tautologico! Limitata
a numero finito di casi possibili, anche se estendibile con passaggi al limite
Regola utile per calcolare probabilità in certe
situazioni in cui ci sia un numero finito di
alternative, che possono essere considerate,
ad es. per motivi di simmetria, ugualmente
probabili
Definizione operativa che implica alcune regole per elaborazione matematica della probabilità:
9
1. 0 ≤ P (A) ≤ 1 ∀ evento A
2. se A certo ⇒ P (A) = 1
3. A, B incompatibili ⇒
P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
nA +nB
=
= P (A) + P (B) )
(P (A ∪ B) = nA∪B
n
n
Tipico campo di applicazione della valutazione
classica: giochi di dadi, carte, ecc. (se si può
assumere che non ci sia trucco!)
In genere richiesti calcoli di natura combinatoria
Es.: probabilità che il primo estratto sulla
ruota di Roma, sabato prossimo, sia un multiplo di 8: 11
90 (casi favorevoli: 8, 16, 24, 32,
40, 48, 56, 64, 72, 80, 88)
10
Valutazione frequentista
Sia Pascal sia de Méré si aspettavano che, a
lungo andare, la frequenza con cui un evento
si verifica si stabilizzi sul valore della probabilità.
Opinione comune, espressa nella cosiddetta
legge empirica del caso
“in una successione di prove fatte nelle stesse
condizioni, la frequenza di un evento si avvicina alla probabilità dell’evento stesso e l’approssimazione tende a migliorare con l’aumento del numero delle prove ”
L’insoddisfazione per la valutazione classica
portò a costruire la probabilità sulla frequenza:
“la probabilità di un evento è il limite della
frequenza (relativa) dei successi (cioè delle
prove in cui l’evento si verifica), quando il
numero delle prove tende all’infinito”
11
Cosa si intende per “limite” ?
E’ possibile ripetere all’infinito le prove nelle
stesse condizioni?
Come calcolare la probabilità di eventi del
tipo“domani pioverà”?
Anche la definizione frequentista è “operativa”, nel senso che fornisce una regola di
calcolo delle probabilità in determinate circostanze
Anche da questa definizione seguono le regole 1, 2, 3 viste per la probabilità classica
1. 0 ≤ P (A) ≤ 1 ∀ evento A
2. se A certo ⇒ P (A) = 1
3. A, B incompatibili ⇒
P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
12
Es.: si osservano 1000 nascite, 526 maschi e
474 femmine. Qual è la probabilità di nascita
526
di un maschio? 1000
Valutazione classica e frequentista non bastano.
Es.: popolazione di N individui. Un certo
r
carattere è presente nel rapporto θr = N
(con r incognito). Sia Hk = “k individui
possiedono quel carattere”.
Quanto vale P (Hk )?
Classica: le possibili composizioni della popolazione sono θ0, θ1, ..., θN , quindi
1
P (Hk ) = N +1
Frequentista: occorre esaminare m popolazioni
opportune e vedere in quante di queste il
carattere è presente esattamente in k individui. Supponiamo sia s il numero di tali
s
popolazioni. Allora P (Hk ) = m
Nessuna di queste due valutazioni è sensata.
Occorre osservare un campione di n < N individui e dall’esame di questo riportarsi alla
P (Hk ). Servono regole più generali.
13
Impostazione soggettiva
Già accennata in Pascal, si può fare risalire a
Daniele Bernoulli, ripresa nel ’900 da Bruno
de Finetti e Jimmy Savage
L’evento è un ente descritto da una proposizione non ambigua che può essere vera o
falsa
La probabilità è il grado di fiducia che una
persona ha nel verificarsi dell’evento
La probabilità di un evento nasce da una
scommessa: “La probabilità P (A) di un evento
A è il prezzo che un individuo ritiene equo
pagare per ricevere 1 se l’evento si verifica e
0 se l’evento non si verifica. Le probabilità
degli eventi devono essere attribuite in modo
che non sia possibile ottenere con un insieme
di scommesse una vincita certa o una perdita
certa (principio di coerenza o equità)”
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La coerenza implica le solite regole della probabilità:
proprietà 1: ∀A 0 ≤ P (A) ≤ 1
Poniamo p = P (A)
se A si verifica ⇒ G1 = 1 − p
se A non si verifica ⇒ G2 = −p
se fosse p < 0 ⇒ G1 > 0 e G2 > 0, vincita
certa
se fosse p > 1 ⇒ G1 < 0 e G2 < 0, perdita
certa
ne segue che 0 ≤ p ≤ 1
proprietà 2: se A evento certo ⇒ P (A) = 1
se A evento certo la scommessa è certamente
vinta e per la coerenza il guadagno deve essere nullo: 1 − p = 0 ⇒ p = 1
15
proprietà 3: A1, A2, . . . , An eventi incompatibili e necessari (se ne verifica 1 e solo 1); n
“scommesse”, 1 per ogni evento, ognuna di
Pn
quota pi. Guadagno totale G = i=1 Gi.
Una sola scommessa è vinta: Gj = 1 − pj ,
Pn
Gi = −pi ∀i 6= j; G = 1 − i=1 pi
Per la coerenza G = 0 altrimenti si avrebbe
Pn
una vincita certa, allora i=1 pi = 1
Sn
Sia A = i=1 Ai. Possiamo considerare una
scommessa su A di importo p. Poiché A si
verifica certamente G = 1−p. La scommessa
su A è equivalente alle n scommesse sugli Ai,
Pn
quindi 1 − i=1 pi = 1 − p da cui si ricava che
Sn
Pn
P ( i=1 Ai) = i=1 P (Ai)
Se gli Ai sono incompatibili ma non necesS
c
sari, consideriamo E = ( n
i=1 Ai) .
A1, A2, ...., An, E sono incompatibili e necesP
P (Ai)+P (E) = 1, ma anche
sari, allora n
i=1
S
P( n
i=1 Ai) + P (E) = 1 ⇒
P(
n
[
i=1
Ai) =
n
X
P (Ai)
i=1
(teorema probabilità totali)
16
Impostazione assiomatica
Ω “spazio”, spazio campionario;
eventi = sottinsiemi di Ω (Ω compreso) che
costuiscono una famiglia non vuota F chiusa
rispetto all’unione numerabile e alla negazione;
F si dice classe σ-additiva o σ-algebra.
F contiene ∅ = evento impossibile.
Dato un evento A ∈ F , P (A) è un numero
reale tale che
0 ≤ P (A) ≤ 1
P (Ω) = 1
S∞
P∞
P ( i=1 Ai) = i=1 P (Ai) Ai ∩ Aj = ∅; i 6= j
(Ω, F , P ) Spazio di probabilità
L’insieme delle parti P(Ω) è una σ-algebra,
ma può essere una famiglia troppo ricca
Se Ω finito, anche F finita.
17
Lancio del dado: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
F = P(Ω) 64 eventi
{1}, . . . , {6} eventi elementari
Necessario considerare F = P(Ω) ? Dipende
da quello a cui siamo interessati
Es.: eventi di interesse: {1, 3, 5} (dispari) e
{2, 4, 6} (pari)
{1, 3, 5}c = {2, 4, 6} e {1, 3, 5} ∪ {2, 4, 6} = Ω
F = {∅, {1, 3, 5}, {2, 4, 6}, Ω}
Es.: eventi di interesse {5, 6} (“numero alto”)
e {2, 4, 6} (“numero pari”)
con successive operazione di unione e negazione
possiamo ottenere
F = {{5, 6}, {2, 4, 6}, {2, 4, 5, 6}, {1, 2, 3, 4},
{1, 3, 5}, {1, 3}, {1, 2, 3, 4, 5}, {6},
{1, 2, 3, 4, 6}, {1, 3, 5, 6}, {1, 3, 6}, {5},
{2, 4}, {2, 4, 5}, {1, 2, 3, 4, 5, 6}, ∅}
16 eventi invece che 64; minima σ-algebra
che contiene i due eventi “base” {5, 6}, {2, 4, 6}
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Impostazione soggettiva e assiomatica
Nell’impostazione soggettiva si ottiene la finita
additività, nell’assiomatica si impone la σadditività
Critiche all’approccio soggettivo: fonda la
probabilità sull’opinione dei singoli. Non c’è
comunicazione tra persone con diverse valutazioni di probabilità.
In alcuni casi l’individuo è disposto a pagare
prezzi non equi (lotterie e giochi d’azzardo).
Questo rende poco chiaro il concetto di equità.
Vantaggi approccio soggettivo: è possibile
definire la probabilità per eventi qualsiasi, non
solo legati a esperimenti
Sia nell’approccio soggettivo che in quello assiomatico, quando possibile, si utilizza la valutazione classica della probabilità
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Proprietà che derivano dagli assiomi
1) P (A) + P (Ā) = 1;
2) P (∅) = 0;
(P (A ∪ Ā) = 1)
(P (∅ ∪ Ω) = 1)
3) A ⊂ B ⇒ P (A) ≤ P (B)
B = (A ∩ B) ∪ (Ā ∩ B) = A ∪ (B ∩ Ā) ⇒
P (B) = P (A) + P (B ∩ Ā) ≥ P (A)
4) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
A ∪ B = A ∪ (Ā ∩ B); B = (A ∩ B) ∪ (Ā ∩ B)
P (A ∪ B) = P (A) + P (Ā ∩ B);
P (B) = P (A ∩ B) + P (Ā ∩ B)
5) An → A ({An} crescente o decrescente)
⇒ P (An) → P (A)
Probabilità è funzione di insieme continua
Oss.: Ω evento certo, ∅ evento impossibile;
se P (A) = 1, A evento quasi certo (q.c.); se
P (A) = 0, A evento quasi impossibile
Contro intuizione? Non del tutto, se si pensa
ad Ω = IR e al fatto che i punti di IR possono
essere tutti quasi impossibili ma non possono
essere tutti impossibili !
20
Richiami di calcolo combinatorio
Es.: probabilità di fare 13 al totocalcio.
Casi favorevoli:1
Casi possibili: tutte le sequenze di 13 simboli
estratti dall’insieme {1, X, 2}.
3 possibilità per il primo risultato
3 per il secondo
.
.
.
Per ogni partita ci sono 3 possibilità, quindi
313 possibili sequenze.
Allora P (f are 13) = 1/313
Disposizioni con ripetizione di n oggetti
di classe k
Sono k-uple ordinate estratte da un insieme
di n elementi (con possibili ripetizioni)
k anche ≥ n
∗ = nk
Dn,k
21
Disposizioni semplici di n oggetti di classe
k(k ≤ n)
Sono k-uple ordinate estratte da un insieme
di n elementi (senza ripetizioni)
Dn,k = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1)
Es.: quante sequenze di 3 lettere distinte si
possono fare con le vocali ‘a, e, i , o, u’ ?
5 possibilità per la prima posizione
4 possibilità per la seconda posizione
3 possibilità per la terza posizione
Quindi 5 · 4 · 3 possibili sequenze di 3 lettere
Permutazioni di n oggetti
Caso particolare di disposizioni semplici con
k=n
Pn = numero di permutazioni ⇒
Pn = n!
Es.: in quanti modi si possono disporre 7
persone in fila indiana? P7 = 7!
22
Permutazioni con ripetizione
es. a a a b b c c ⇒
7!/(3!2!2!)
n oggetti di cui k1 uguali tra loro, k2 uguali
tra loro e distinti dai precedenti, . . . , kr uguali
tra loro e distinti dai precedenti
n
n!
∗
Pk ,k ,...,kr = k !k !···kr ! = k ,k ,...,kr
1 2
1 2
1 2
coefficiente polinomiale o multinomiale
9!
Es.: n. di anagrammi di ANAGRAMMA? 4!2!
Es.: anagrammi di ‘ORI’ ⇒
ORI ; OIR ; RIO
ROI ; IOR ; IRO
Es.: anagrammi di ‘ORO’ ⇒
ORO ; OOR ; ROO
ORO ; OOR ; ROO
3!=6
3
23
Combinazioni semplici di n oggetti
di classe k
Sono k-uple non ordinate estratte da un insieme di n elementi
n oggetti distinti, sottinsiemi di k elementi
Cn,k = numero di sottinsiemi di cardinalità k
⇒
n(n−1)·...·(n−k+1)
n
n!
=
=
k
k!
k!(n−k)!
Es.: in quanti modi si possono
scegliere 5
carte da un mazzo di 52? : 52
5
Es.: se un insieme X ha cardinalità n, cardinalità di P(X) ?
Insieme vuoto ∪ sottinsiemi di 1 elemento ∪
. . . ∪X
n
n
1 + 1 + . . . + n−1 + 1 = (1 + 1)n = 2n
tenendo conto dello sviluppo del binomio
Pn n i n−i
n
(a + b) = i=0 i a b
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Spazio finito: esempio illustrativo
Lancio simultaneo di due dadi di diverso colore
esiti o eventi elementari: coppie ordinate di
interi da 1 a 6 (36 coppie) ⇒ spazio campionario insieme delle 36 coppie
evento “somma 7 ”:
E = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}
Spazio campionario ed eventi = costruzione
matematica non necessariamente unica, dipende da ciò che pensiamo importante.
6 = 1
P (somma 7) = 36
6
Poiché lo spazio campionario è costituito da
tutte le 36 coppie ogni coppia ha probabilità
1/36:
1
p(1,1) = p(1,2) = ... = p(6,6) =
36
distribuzione uniforme discreta
25
Esempi
1) Calcolare la probabilità che lanciando 6
volte 1 dado si ottengano numeri tutti diversi.
∗
Casi possibili: 66 = D6,6
Casi favorevoli: 6! = P6
Da cui segue la probabilità cercata: 66!6 .
2) Un ufficio ha 10 sportelli che forniscono
servizi diversi. Arrivano contemporaneamente
7 clienti che si distribuiscono tra i vari sportelli.
Supponendo equiprobabili le distribuzioni dei
clienti, qual è la probabilità che non si formino
code? (coda = 2 o più persone allo stesso
sportello)
D10,7
10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4
= ∗
P (no code) =
107
D10,7
= 0.06048
26
3) Si lanciano 3 dadi.
Qual è la probabilità di ottenere 3 numeri
diversi?
P (3 numeri diversi) =
D6,3
6·5·4
=
∗
63
D6,3
Qual è la probabilità di ottenere 3 numeri
uguali?
6
P (3 numeri uguali) = 3
6
Qual è la probabilità di ottenere 2 numeri
uguali e uno diverso? 6·5·3
63
4) Calcolare la probabilità di vincere 1 ed 1
solo terno giocando 5 numeri al lotto su una
data ruota in una data estrazione.
5 85
3
2
P (1 solo terno) = 90 ≃ 0.0008
5
27
5) E’ più probabile ottenere almeno un 6 lanciando 4 volte 1 dado oppure ottenere almeno una volta la coppia (6, 6) lanciando 24
volte 2 dadi?
54
P (no 6) = 4 ⇒
6
P (ottenere 6) = 1 −
4
5
6
≃ 0.518
3524
P (no (6, 6)) =
⇒
24
36
35 24
≃ 0.491
P (almeno un (6, 6)) = 1 −
36
Paradosso di de Méré: egli riteneva che i 2
risultati avessero la stessa probabilità (forse
ragionando cosı̀: 4 eventi, ciascuno di probabilità 1/6 equivalogono a 24 eventi ciascuno
di probabilità 1/36). Scrisse a Pascal per
lamentare la discrepanza tra i suoi calcoli e
la frequenza dei risultati.
28
6) 52 carte distribuite tra 4 giocatori N, E,
S, O (13 a testa).
Qual è la probabilità che ogni giocatore abbia
le stesse carte della partita precedente?
(13!)4
P (stesse carte) = 523926 =
52!
1
13
13
13
Qual è la probabilità che N abbia 7 carte di
picche?
P (7 picche per N ) =
13 39
7 6
52
13
29
7) Il problema dei compleanni
n persone in una sala; calcolare la probabilità
p che almeno due persone compiano gli anni
lo stesso giorno
supponiamo n ≤ 365
numeriamo persone da 1 a n ⇒
giorni
liste di n
365n liste possibili (spazio campionario): assumiamole equiprobabili
In quante liste non 2 volte lo stesso giorno?
D365,n = 365 · 364 · . . . · (365 − n + 1)
p = 1 − D365,n/365n
n = 23 ⇒
n = 30 ⇒
n = 50 ⇒
p ≈ 0.507
p ≈ 0.706
p ≈ 0.97
Bastano 23 persone affinché la probabilità
che due persone abbiano lo stesso compleanno
sia 1/2.
30
Spazio numerabile
Lancio ripetuto di una moneta
Successioni finite di lanci {T, C}
Se pensiamo che ogni successione finita di
lunghezza n sia equiprobabile ⇒ probabilità
2−n per il verificarsi di ciascuna successione
(ci sono 2n possibili successioni)
Successioni infinite, passando al limite
⇒ probabilità nulla di ogni successione
Ogni successione è quasi impossibile ma non
impossibile!
Esempio di schema di Bernoulli o delle prove
ripetute
Quanti lanci per ottenere T la prima volta?
Ω
N
la
N
ha la potenza del continuo
numero del lancio al quale si verifica T per
prima volta;
= 0 per “non osservo mai T ”
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Considerando che N assume valori interi non
negativi, possiamo lavorare su spazio campionario numerabile dove gli eventi elementari
sono N = n, n = 0, . . . , ∞
⇒
P (N = n) = 2−n, n ≥ 1
Probabilità di A = “N pari”?
P (A) = P ({N = 2} ∪ {N = 4} ∪ . . .)
=
∞
X
P (N = 2k) =
k=1
∞
X
2−2k =
k=1
1
−1 =
1
1−4
1
3
Probabilità di B = “N dispari”?
P (B) =
∞
X
P (N = 2k − 1)
k=1
=
∞
X
k=1
2−(2k−1) = 2
∞
X
2−2k = 2/3
k=1
⇒ P (N = 0) = 0, una uscita di T si verifica
quasi certamente
32
Spazio continuo (distribuzione uniforme)
Ω = [0, 1], F σ-algebra di Borel
come costruire “distribuzione uniforme”?
idea: dividiamo Ω in n intervalli disgiunti di
ampiezza 1/n; per ciascuno probabilità 1/n
Se un intervallo è composto da r intervalli
tra gli n, probabilità r/n
⇒ per ogni intervallo I di ampiezza razionale,
L(I) probabilità P (I) = L(I)
Se L(I) numero reale, esiste successione Ik ,
L(Ik ) razionale, tale che Ik → I ⇒ L(Ik ) →
L(I) ⇒ P (I) = lim P (Ik ) = lim L(Ik ) = L(I)
la probabilità cosı̀ costruita si estende in modo
unico dagli intervalli agli insiemi di Borel; per
ogni A ∈ F , P (A) = L(A) dove L è la misura
di Lebesgue
33