Lancio dadi
• Analisi probabilità esito somme varie
La probabilità che un evento possa verificarsi, nella ipotesi che
siano tutti equiprobabili (senza trucchi..) si calcola con il rapporto
tra il numero dei casi favorevoli a un evento e il numero totale degli
eventi possibili
Px = nx / ntotali
Esempio : un dado a sei facce con numeri 1, 2 ,3, 4, 5, 6
eventi totali possibili = 6
eventi favorevole all’uscita di uno specifico numero :uno per numero
P1 = 1/6
P2= 1/6
P3 = 1/6
P4 = 1/6
P5 = 1/6
P6 = 1/6
Numero successi (frequenza assoluta):
numero di esiti positivi su totale prove :x
Es.dado lanciato 60 volte : uscita 4 = 15 volte : x = 15
Frequenza relativa = numero successi / numero prove
f=x/n
Lanciando un dado 10000 volte, numero di volte prevedibile che esca 4 ?
F = x / n = 15 / 60 = ¼ = 0.25
4
Lancio singolo:
eventi possibili = 6
evento favorevole a 4 = 1
P3 = 1 / 6 = 0.1666
0.1666/ 1 = x /10000
x = 1666
È prevedibile che aumentando il numero delle prove aumenti in proporzione
anche il numero degli esiti positivi in funzione della probabilità dell’evento
Simulazione lancio di un dado (1,2,3,4,5,6)
Visualizzazione esiti per 400 lanci,
ripetuti per 6 volte: totale 2400 lanci
Per ogni 400 lanci si visualizzano esiti per 1,2,3,4,5,6
Per 2400 lanci si visualizzano esiti per 1,2,3,4,5,6
Per 2400 lanci si visualizzano percentuali per 1,2,3,4,5,6 :somma = 1
Probabilità per uscita 1,2,3,4,5,6 = 1 / 6 = 0.166
Probabilità risultanti da esperimento (2400 lanci), si approssimano a teoriche
0.164 – 0.171 - 0.161 - 0.164 – 0.172 – 0.165
0.166
Primi 400 lanci del dado
Eseguiti 1200 lanci ( 3 volte 400)
Eseguiti 2400 lanci : 6 volte 400: tabella globale esperimento
Lancio contemporaneo di due dadi
E1 = d1 = d2 numeri uguali (11,22,33,44,55,66) = 6
E2 = d1 + d2 = 6 (15,24,33,24,15) = 5
E3 = (E1 ∩ E2 ) = (33) = 1
p(E1) = 6/36
p(E2) = 5 / 36 = 5/36
P(E3) = 1/36
E12=escono due numeri uguali (E1) oppure la somma = 6 (E2)
p(E12) = p(E1) + pE2) – p(E3) = 6/36 + 5/36 -1 /36 = 10 /36 = 5 / 18
Lancio contemporaneo di due dadi
E1 = non esce numero 1 (25)
p(E1) = 25/36
E2 = somma facce = 5 (4)
p(E2) = 4/36
E12 = non esce numero 1 (E1) oppure somma due numeri = 5 (E2)
E3 = coppie comuni,intersezione (2)
p(E3) = 2/36
p(E12) = p(E1) + p(E2) – p(E3) = 25/36 + 4/36 – 2/36 = 3/4
Lancio di un dado: (1,2,3,4,5,6)
E1 = esce pari (2,,4,6) =3………………………p(e1) = 3/6
E2 = esce < 5 (1,2,3,4)= 4…………………….p(e2) = 4/6
E3 = in comune , intersezione (2,4) = 2……..p(E3) = 2/6
E12 = esce E1 o E2
P(E12) = p(E1) + p(E2) – p(E3) = 3 / 6 + 4/6 – 2/6 = 5/6
E1
1 3
24
E2
E3
6
Lancio di due dadi: probabilità di ottenere determinate somme
con 36 lanci
200 prove
Osservare andamento diagrammi
36 prove
Lancio di un dado S = 6 (1,2,3,4,5,6)
Calcola probabilità uscita numero diverso da 2, non minore di 6,
non maggiore di 3, non primo
E1 = ≠ 2 (1,3,4,5,6) p(E1) = 5 / 6
E2 = non < 6 ( 6 ) p(E2) = 1 /6
E3 = non > 3 (1,2,3) p(E3) = 3 / 6 = 1 / 2
E4 = non primo (2,4,6) p(E4) = 3/6 = 1/2
Esercizi con soluzione
uso di probabilità semplice
teoremi su probabilità
calcolo combinatorio
descrizione mediante immagini
per didattica medio-elementare
Lancio consecutivo di un dado per due volte = lancio contemporaneo 2 dadi
S = (1,2,3,4,5,6)
E1 = non esce il 6 ( 1,2,3,4,5)
Eventi possibili = disposizioni con ripetizione Dn,k = D6,2 = 6^2 = 36
Eventi favorevoli = disposizioni con ripetizione Dn,k = D5,2 = 5^2 = 25
Calcola probabilità E1 (esce 1,2,3,4,5) = Pf / Pp = 25 /36
1
2
3
4
5
1
1 2 3 4 5 >> 1 ….5 (4)
1 2 3 4 5 >> 2 …5 (3)
1 2 3 4 5 >> 3…..5 (2)
1-1
1-2
1-3
1-4
1-5
2-1
2-2
2-3
2-4
2-5
3-1
3-2
3-3
3-4
3-5
4-1
4-2
4-3
4-4
4-5
5-1
5-2
5-3
5-4
5-5
1 2 3 4 5 >> 1 …5 (1)
1 2 3 4 5 >> 1…5 ( 0)
Doppiette valide = 10
Escludere doppiette con stessi numeri o diverse solo per ordine
486/38
Lancio di un dado (1,2,3,4,5,6)
E1 = uscita numero maggiore di 2 (3,4,5,6)
E2 = uscita numero pari (2,4,6)
E12 = uscita numero pari o > 2 (2,4,6…3,4,5,6) ..(4,6)
2
4 6
3
5
P(E12) = p(E1) + p(E2) – p(E1 ∩ E2) = 4/6 + 3/6 – 2/6 = 5/6
n
P(E1) = 4/6
P(E2)= 3/6
P(E12) = 2/6
486/38
Lancio di un dado (1,2,3,4,5,6)
E1 = uscita numero maggiore di 3 (4,5,6)
E2 = uscita numero <6 (1,2,3,4,5)
E12 = uscita numero >3 o < 6 ((4,5,6)..(1,2,3,4,5))..4,5
1,2,3
4 5
n
P(E1) = 3/6
P(E2)= 5/6
P(E12) = 2/6
6
P(E12) = p(E1) + p(E2) – p(E1 ∩ E2) = 3/6 + 5/6 – 2/6 = 6/6 = 1
Legge dei grandi numeri (casuale):la frequenza con la quale si presenta
un evento si avvicina al valore della sua probabilità in funzione del
numero di prove: tali valori sono tanto più simili quanto maggiore è il
numero delle prove eseguite Fx = Px * n
Il rapporto tra il
numero dei successi
e il numero di prove
va aumentando con
il numero delle prove
e il rapporto tra
successi e prove
si avvicina al valore
della probabilità
Esemplificazione lancio di un dado, con excel e numeri casuali tra 1 e 6
Per un lancio la probabilità che esca un numero tra 1 e 6 risulta 1/6 = 0.166
Simulazione con 499 lanci: ricerca esiti e frequenza sul totale
Ricerca su totale 499 e parziale 399
Osservare come la frequenza si approssima alla probabilià (0.166)
con l’aumentare delle prove eseguite 1, 99, 199, 299, 399, 499
Ricerca su parziale 299 e 199
Osservare come la frequenza si approssima alla probabilià (0.166)
con l’aumentare delle prove eseguite 1, 99, 199, 299, 399, 499
Ricerca su parziale 99 e 1
Osservare come la frequenza si approssima alla probabilià (0.166)
con l’aumentare delle prove eseguite 1, 99, 199, 299, 399, 499
Simulazione lanci successivi , sempre 499
ricerca su totale
Osservare come in ogni prova (499 lanci) cambiano le frequenze
pur rimanendo sempre abbastanza simili alla probabilità (0.166)
Simulazione lanci successivi , sempre 499
ricerca su totale
Osservare come in ogni prova (499 lanci) cambiano le frequenze
pur rimanendo sempre abbastanza simili alla probabilità (0.166)
Simulazione lanci successivi , sempre 499
ricerca su totale
Osservare come in ogni prova (499 lanci) cambiano le frequenze
pur rimanendo sempre abbastanza simili alla probabilità (0.166)
Simulazione lanci successivi , sempre 499
ricerca su totale
Osservare come in ogni prova (499 lanci) cambiano le frequenze
pur rimanendo sempre abbastanza simili alla probabilità (0.166)
Osservare rapporto tra numero di prove , frequenza e probabilità
D = evento differenza tra insieme E1 e E2: D = E1 – E2
si verifica quando si presenta E1 ma non E2:
formato da elementi di E1 e non di E2
D si verifica se esce un numero divisore di 6 ,minore di 3
D={ 1, 2 }
E1 = esce numero divisore di 6 (1,2,3,6
E2 = esce numero non inferiore a 3 (3, 4, 5, 6)
E1
1 2
3 6
4 5
E2
D
B
E1
1
2
A
3
6
D
E2
4
5
Insieme differenza D : A - B
Comprende gli elementi di A che non appartengono a B
A = evento contrario di A
formato dagli elementi di X che non appartengono ad A
A complementare di A rispetto a X
Due eventi sono contrari se uno si verifica quando non si verifica l’altro
A
A=
{ 1,2,3 }
A = esce numero minore di 4
B=
{ 4, 5,6 }
Non esce A
4
123
5
6
X=
{ 1,2, 3 ,4, 5,6 }
Due ( o più) eventi , appartenenti allo stesso insieme di eventi, X,
sono incompatibili
se il verificarsi di uno esclude la possibilità che si verifichi l’altro
Ed = esce numero dispari (1 3 5)
X
2 4 6
135
Ep = esce numero pari (2 4 6)
Ep
∩
Ed =
Ø
C = evento totale o somma logica o unione di E1, E2
se si verifica almeno uno degli eventi E1, E2 :comprende
elementi che appartengono ad almeno uno dei due eventi
C si verifica se esce un numero dispari o multiplo di 3
C={ 1, 3, 5, 6 }
E1 = esce numero dispari (1 3 5)
1 5
3
6
4
E2 = esce numero multiplodi 3 (3 6 )
2
C=
X=
{ 1,2,3,4,5,6 }
E1
U
E2 = { 3 }
D = evento composto,prodotto logico,intersezione di E1, E2
se si verificano entrambi gli eventi E1, E2 :comprende elementi
che appartengono ad entrambi gli eventi
D si verifica se esce un numero dispari e divisore di 6
D={ 1, 3 }
E1 = esce numero dispari (1 3 5)
5
1 32
2 6
4
E2 = esce numero divisore di 6 (1,2,3,6
D=
X=
{ 1,2,3,4,5,6 }
E1
∩ E2 = { 1,3 }
Lancio di un dado :probabilità che esca numero dispari o 2
pEd = 3/6
Ed = 1,3,5
pEp = 3/6
Ep = 2,4,6
pE2 = 1/6
Ed U Ep = (1,3,5,2)
1,3,5
2
Unione di due eventi
P (Ed U Ep) = 4/6
U
Ed
Ep
=
0
P (Ed U Ep ) = pEd + pEp = 3/6 + 1/6 = 4/6
Intersezione Ed e Ep = insieme vuoto
Ed , Ep incompatibili
La probabilità della unione di eventi incompatibili (totale) è uguale alla
somma delle probabilità dei singoli eventi
Eventi correlati
Lancio di due dadi :S = 36 coppie di esiti
evento condizionante B = somma dei due numeri dei due dadi sia 5
evento condizionato A = uno dei due dadi fornisce 2
Calcolare la probabilità di (A | B)
X
2
B = [(1,4), (2,3),(3,2),(4,1)] eventi che forniscono come somma 5: 4
A =[(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)]:
11 eventi che forniscono almeno un 2
(A ∩ B) = [(2,3),(3,2)]: 2 eventi che forniscono insieme 5 e 2
P(A | B) = ( A ∩ B) / B = 2 / 4 = 1/2
P(A) = A / S = 11/36 = 0.305 < 0.5 : p(A | B) > p(A)
Evento A correlato positivamente a evento B: aumenta probabilità
Eventi correlati
Lancio di due dadi :S = 36 coppie di esiti
evento condizionato B = somma dei due numeri dei due dadi sia 5
evento condizionante A = uno dei due dadi fornisce 2
Calcolare la probabilità di (B | A)
X
2
B = [(1,4), (2,3),(3,2),(4,1)] eventi che forniscono come somma 5: 4
A =[(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)]:
11 eventi che forniscono almeno un 2 e somma 5
(A ∩ B) = [(2,3),(3,2)]: 2 eventi che forniscono insieme 5 e 2
p(B | A) = (A ∩ B) / A = 2 /11 = 0.18
P(B)= 4/36 = 1 /9 = 0.11 )
p(B | A) > p(B) : 0.18 > 0.11
Evento B correlato positivamente a evento A: aumenta probabilità
Se risulta
p(A | B ) > p(A) si ha correlazione positiva di A rispetto a B
p(A | B ) < p(A) si ha correlazione negativa di A rispetto a B
P(A | B ) = p(A) non esiste correlazione: sono indipendenti
Terminologia essenziale: es. lancio di una moneta, dado
spazio campionario Sm = (T,C) con 2 campioni :T, C
spazio campionario Sd = (1,2,3,4,5,6) con 6 campioni: 1,2,3,4,5,6
Lancio di una moneta tre volte :
spazio campionario S = Sm * Sm * Sm
=(TTT,TTC,TCT,TCC,CTT,CTC,CCT,CCC): 8 campioni
Eventi correlati
Lancio di due dadi :S = 36 coppie di esiti
evento condizionante B = somma dei due numeri dei due dadi sia 5
evento condizionato A = uno dei due dadi fornisce 2
Calcolare la probabilità di (A | B)
X
2
B = [(1,4), (2,3),(3,2),(4,1)] eventi che forniscono come somma 5: 4
A =[(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)]:
11 eventi che forniscono almeno un 2
(A ∩ B) = [(2,3),(3,2)]: 2 eventi che forniscono insieme 5 e 2
P(A | B) = ( A ∩ B) / B = 2 / 4 = 1/2
P(A) = A / S = 11/36 = 0.305 < 0.5 : p(A | B) > p(A)
Evento A correlato positivamente a evento B: aumenta probabilità
Eventi correlati
Lancio di due dadi :S = 36 coppie di esiti
evento condizionato B = somma dei due numeri dei due dadi sia 5
evento condizionante A = uno dei due dadi fornisce 2
Calcolare la probabilità di (B | A)
X
2
B = [(1,4), (2,3),(3,2),(4,1)] eventi che forniscono come somma 5: 4
A =[(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)]:
11 eventi che forniscono almeno un 2 e somma 5
(A ∩ B) = [(2,3),(3,2)]: 2 eventi che forniscono insieme 5 e 2
p(B | A) = (A ∩ B) / A = 2 /11 = 0.18
P(B)= 4/36 = 1 /9 = 0.11 )
p(B | A) > p(B) : 0.18 > 0.11
Evento B correlato positivamente a evento A: aumenta probabilità
Terminologia essenziale: es. lancio di una moneta, dado
spazio campionario Sm = (T,C) con 2 campioni :T, C
spazio campionario Sd = (1,2,3,4,5,6) con 6 campioni: 1,2,3,4,5,6
Lancio di una moneta tre volte :
spazio campionario S = Sm * Sm * Sm
=(TTT,TTC,TCT,TCC,CTT,CTC,CCT,CCC): 8 campioni
Calcolare la probabilità che lanciando un dado esca un numero pari
Numero oggetti n = 6 (1,2,3,4,5,6)
evento x numero pari (2,4,6) = 3
Px = x / n = 3 /6 = 1/2
Dato un mazzo con 40 carte (10 quadri, 10 cuori, 10 fiori, 10 picche)
n = 40
calcolare probabilità di estrarre una figura (12 su 40): Pf
calcola probabilità di estrarre un asso (4 su 40) :Pa
calcola probabilità di estrarre asso rosso (2 su 4):Pr
Pf = 12/40 = 3/10
Pa = 4 / 40 = 1 / 10
Pr = 2 / 40 = 1 /20
Lancio di due dadi : eventi possibili = 36:
1-1
2-2
3-3
4-4
5-5
6-6
1-2
1-3
1-4
1-5
1-6
2-1
2-3
2-4
2-5
2-6
3-1
3-2
3-4
3-5
3-6
4-1
4-2
4-3
4-5
4-6
5-1
5-2
5-3
5-4
5-6
6-1
6-2
6-3
6-4
6-5
Lanciando un dado, calcola probabilità che esca numero muliplo di 2
oggetti n = 6
evento (2,4,6) = 3
Px = 3/6 = 1/2
Lancio di due dadi : eventi possibili = 36:
1-1
2-2
3-3
4-4
5-5
6-6
1-2
1-3
1-4
1-5
1-6
2-1
2-3
2-4
2-5
2-6
3-1
3-2
3-4
3-5
3-6
4-1
4-2
4-3
4-5
4-6
5-1
5-2
5-3
5-4
5-6
6-1
6-2
6-3
6-4
6-5
Probabilità che la somma di due numeri risulti 4 ?
Evento (2+2, 1+3, 3+1) = 3….Px = 3 /36 = 1/12
Probabilità che la somma sia minore di 5 ?
Evento(1+1,1+2,2+1, 2+2,1+3,3+1) = 6 …Px = 6/36 = 1/6
Probabilità che non esca 1 ?
Evento(n azzurri + 2-2 ) = 25…..Px = 25/36
Probabilità che escano due numeri pari ?
Evento (….) 9 ….Px = 9/36 = 1/4
Colonne A, B valori dei due dadi
colonna D somma valori dei due dadi per ogni lancio
colonna E conta comparsa somme uguali per valori d 2 a 12
Somme uguali con stesso colore, diverso per ogni somma
Vedi esempio soluzione con excel
Somma < 5 =1/6……due numeri pari = 1/4
25 lanci senza comparsa di 1
Px = 25/36
Programma per trovare lanci senza comparsa di 1
Ricerca probabilità due dadi usando programma su excel