Insiemi di livello
e vettori
A
f
B
b
-1
f (b)
f -1(b) controimmagine di b mediante f
A
h
ALTITUDINE
1000
-1
h (1000) è la curva formata dai punti
con altitudine 1000 m. ( linea di livello )
f
insieme delle soluzioni
A
dell’equazione
B
f(x) = b
b
-1
f (b)
Una funzione è biettiva se e solo se
-1(b) i suoi
insiemi didilivello
ftutti
controimmagine
b mediante f
hanno un( insieme
solo punto
di livello )
IMPORTANTE
PER I CALCOLI:
f è biettiva se e solo se :
 b B , l’equazione :
f (x) = b
ha una e una sola soluzione:
-1
x = f (b)
Esempio :
f:R
R , definita da:
f(x) = 2x + 3
è biettiva.
Infatti, per ogni numero reale b ,
l’equazione:
2x + 3 = b
ha l’unica soluzione:
f
-1
b-3
( bx) 
2
Controesempio :
f:R
R , definita da:
f(x) = x - 1
2
non è biettiva.
Infatti, l’equazione: x - 1 = 3
ha due soluzioni: - 2 e 2
2
Inoltre, l’equazione: x - 1 = -2
non ha soluzioni in R , perché non
esiste alcun numero reale x tale che:
2
x = -1
2
y  x 2 -1
3
-2
f (3)   - 2, 2
-1

2
A
p
PRESSIONE
BAROMETRICA
1032
p(x) = 1032
x
p-1(1032) è la curva formata dai punti
in cui la pressione vale 1032 ( isobara )
Xo+ h
Xo
Xo+ k
2
R
f
R
y
Xo+ h
h2
Xo
h1
x
(2 , 3) spostamento
componenti
D
B
3
3
A
a
C
a
2
2
AB || CD
AB = CD
segmenti orientati equipollenti
(2 , 3)
v
segmenti orientati
vettoreequipollenti
v
A = (x , y )
(2 , 3)
B = (x+2 , y+3 )
B = (x , y ) + ( 2 , 3 )
B=A+v
B
v = AB
A
v=B-A
v
(2 , 3)
C
B
1
3
A
2
4
(2, 3)+(4, 1) = (2+4, 3+1)
v
(2 , 3)
C
B
A
(2, 3)+(4, 1) = (2+4, 3+1)
v
C
B
A
v
B
A
C
v
0
B
A
v
A
v

l R
C
scalare
lv2
B
A
v2
v1
lv1
l(v1,v2) = (lv1 , lv2)
n
R
addizione:
(
v
,
v
,...,
v
)
((uu11, 
u2 v,...,
u
)
,
u

v
,
...
,
1
2u  v
n )
n
1
2
2
n
n
+
moltiplicazione
per uno scalare:
(l
ll(uu1 1,(l,uuu,22u,...,
)
)
,...,luuu
n n
1
2
n
3
R
z
X = A + tv
t R
X
r
B
A
f:R
x
R3
 x  a 1  t v1

 y  a 2  t v2
 z  a  tv
3
3

f( t ) = ( a1+ equazioni
tv1 , a2+ parametriche
tv2 , a3+ tv3 )
y
Risolvere l’esercizio 5.8 a pag. 46
3
R
z
X
B
X = A + lu + mv
va 1Clu1 mv1
x
A
f:
R2
R3

 ya 2 lu 2 mv 2
 za lu mv

3
3
3
f(l, m) = ( a1+lu1+mv1 , aequazioni
parametriche
2+lu2+mv
2 , a3+lu3+mvy
3)
x
Esercizio 5.11 a pag. 49
Un’equazione lineare in n variabili è del tipo:
a 1x1  a 2 x 2    a n x n  b
n=2
2
retta in R
n=3
piano in
R3
sottoinsieme di dimensione
IPERPIANO
n-1
2
R
MODULO di v :
| v |  || v ||

v  v2
2
1
2
B (b1, b2 )
v2
(a1 , a 2 ) A
v1
DISTANZA tra A e B :
d(A,B) := |A- B|
 (a 1 - b1) 2  (a 2 - b 2 ) 2
n
R
distanza tra due punti:
A : ( a 1 , a 2 ,..., a n )
B : (b1 , b 2 ,..., b n )
d(A,B) := |A(a-1 -B|b1)  . . .  (a n - b n)
2
2
X  (x1 ,x 2 ,..., x n )
n
media aritmetica :
x 1  x 2  ... x n
x
n
x
x
i 1
i
n
X  (x ,x ,..., x )
u : X - X
u i : x i - x
|u | 
vettore degli scarti
scarto i-esimo
u(1x1-ux2) ...( x2u-n x ) 2  ...  ( x n - x ) 2
2
22
2
|u | 
s x :
u(1x1-ux2) ...( x2u-n x ) 2  ...  ( x n - x ) 2
2
22
2
( x1 - x )  ( x 2 - x )  ...  ( x n - x )
n
2
Deviazione Standard
2
2
|u |

n
(o scarto quadratico medio)
Varianza:
Var(x) := sx2
( x1 - x ) 2  ( x 2 - x ) 2  ...  ( x n - x ) 2

n
u := (u1, u2, ... , un)
u1 + u2 + ... + un = 0
IPERPIANO
n-1 gradi di libertà
n
ŝ x :
u
n -1

 (x
i1
i
- x)
2
n-1
Deviazione Standard Campionaria
2
ŝ x Varianza Campionaria
Risolvere gli esercizi 6.3 a pag. 57
n
n
R xR
u
v
u : (u1 , u 2 , ... , u n )
v :  (v1 , v2 , ... , vn )
R
u, v
u, vv : u1v1  u 2 v2  ...  u n vn
u
PRODOTTO
DOT PRODUCT
SCALARE
v1  u 2 v 2 
u , v  u1134
Pagina
u cos a v cos   u sin a v sin  
u v (cos a cos   sin a sin )
u v cos(a - ) 
u v cos 
u , v  u v cos 
cos  :
Figura 5.1
u, v
uv
u
u ,vv
 u v cos 
v

u
u
u ,vv
 u v cos 
v

u
versore
|| u ||  1 
|| v || cos   u  v
y2
v e1  v1
v e2  v2
v
v2
e2
e1
v1
y1
Coefficiente di
correlazione lineare
X = (x1, x2, … , xn)
ui  xi - x
u = (u1, u2, … , un)
Y = (y1, y2, … , yn)
vi  yi - y
v = (v1, v2, … , vn)
u, v
cos
r  :
u  v
xy
Coefficiente di correlazione lineare tra x
y  mx  q
e y
yi  mxi  q
y i
mm(m
x)
yyi - v
(xxiu-i x)
v mu

(m
m
yi xxii q)nq
ym
mnxnnq  qn
n

u
,
v

cosrxy
 :
uv
v  mu
v
u
= cos 0  1
m>0
0

u
,
v

= cos p  -1
cosrxy
 :
uv
v  mu

m<0
p

u
,
v

=0
cosrxy
 :
uv
  p/2

u

u
,
v

cosrxy
 :
uv
 (x
- x )( y i - y)
(x i - nx)(y i - y)

rrxy
xy
22
2
2
x ii - xx)) 
((x
 ((yyii -- yy))
n
n
i
Cov( x, y)
rxy  s  s
x
y
COVARIANZA
Risolvere gli esercizi 6.3 a pag. 144