I VETTORI
Definizione
Componenti e modulo
Somma e differenza
Prodotto scalare
Prodotto vettoriale
Versori
P.Montagna
dic-15
Vettori
Fisica Medica – Lauree triennali nelle Professioni Sanitarie
pag.1
Grandezze scalari e vettoriali
Per una descrizione completa del fenomeno sono
necessari e sufficienti
Grandezze scalari
1 informazione:
•modulo = numero
Grandezze vettoriali
(risultato misura)
Es.
Massa = 10 kg
direzione
modulo
verso
v
4 informazioni:
•modulo = numero (risultato
•direzione
•verso
•punto di applicazione
Spostamento = 10 km
in direzione nord-sud
verso nord
partendo da Pavia
misura)
Es.
punto di
applicazione
P.Montagna
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Vettori
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pag.2
Vettori: componenti e modulo
Un vettore è univocamente descritto
nel piano 2dim dalle sue 2 componenti
nello spazio 3dim dalle sue 3 componenti
... nel solito modo...
(v. Matematica:
Sistemi di riferimento e Funzioni trigonometriche)
vx = |v|•cos(a)
vy = |v|•sen(a)
|v|2 = vx2 + vy2
y
vy
v
a
O
x
vx
modulo
= |v|2•[sen2(a) + cos2(a)] = |v|2•1
P.Montagna
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Vettori
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pag.3
Somma di vettori
y
v3y v1y
v2
v2y
O
v3 = v1 + v2
v3
v1
v1x
x
v2x
Metodo grafico:
v3x
diagonale del parallelogrammo
costruito sui vettori di partenza
Componenti:
somma delle componenti
P.Montagna
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dei vettori di partenza
Vettori
v3x = v1x + v2x
v3y = v1y + v2y
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pag.4
Differenza di vettori
y
v3 = v1 - v2
v1
v1y
v2y
v3y
v3
v3x
v2
O
v1x
v1 = v3 + v2
x
v2x
Metodo grafico:
“altra” diagonale del parallelogrammo
costruito sui vettori di partenza
Componenti:
somma delle componenti
P.Montagna
dic-15
dei vettori di partenza
Vettori
v3x = v1x - v2x
v3y = v1y - v2y
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pag.5
“Moltiplicazioni” di vettori
Oltre alla somma e alla differenza
si possono definire 2 altre operazioni tra vettori,
chiamate prodotti
ma non corrispondenti
alla consueta idea di moltiplicazione.
Prodotto scalare di 2 vettori:
il risultato è uno scalare, non più un vettore
Prodotto vettoriale di 2 vettori:
il risultato è ancora un vettore
P.Montagna
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Vettori
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pag.6
Prodotto scalare

v1
v1 v2 = v1 v2 cos f




f
v2


v1  v2 = v1x v2x + v1y v2y

f = 0°
v1


v2

f = 90°
v1

f = 180°
v1
P.Montagna
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v1  v2 = v1v2 cos f = v1v2
+1




v1  v2 = v1v2 cos f = 0
0
v2


v2

v1  v2 = v1v2 cos f = – v1v2
-1
Vettori
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pag.7
Prodotto vettoriale

v1

v2
v3
f

v2

v1
v3
v1
f = 0°
f = 90°
f
direzione  ai 2 vettori
verso di avanzamento di una vite
sovrapponendo v1 a v2 (e non viceversa!)
(pollice mano destra)



|v

1 v2|= v1v2 sen f = 0

|v1  v2|= v1v2 sen f = v1v2



|v

v
f=0
1
2|= v1v2 sen
0
v2
0

v2
v3
v1

f = 180°
|v1  v 2| = v1 v2 sen f
v1
P.Montagna
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v2
+1
Vettori
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pag.8
Versori
modulo = 1

direzione v
verso v

v
n = 
|v|

Es.
Def. di pressione:
componente di una forza
perpendicolare a una superficie
Fn = F cos = F  n

n
Fn
F

DS
(prodotto scalare)
E’ un metodo comodo per tener conto di una direzione precisa
senza alterare – grazie al modulo unitario del versore –
il valore numerico della grandezza in esame.
P.Montagna
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Vettori
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pag.9