I modelli matematici:
osservazioni ed esempi
Prof. Mario Landucci
Dip. Matematica applicata G.Sansone
[email protected]
Anno Accademico 2004-2005
Compito del matematico
“puro”?
PROVARE TEOREMI
Primo valore della matematica è
FORNIRE uno STRUMENTO
per meglio CONOSCERE il MONDO FISICO
l’importanza della matematica nei confronti della scienza
 i greci furono i primi a sostenere che
l’universo
è disegnato secondo rigide proprietà matematiche
 Galileo Galilei (1564-1642):
la scienza deve cercare di fornire leggi quantitative
dobbiamo osservare i fenomeni della natura
proporre un modello matematico astratto che li descriva
verificarne la validità
dedurre proprietà del modello
MODELLO della CRESCITA di
una POPOLAZIONE
Problema:
Costruire un modello matematico
(cioe’ formulare una legge
matematica) che spieghi come una
popolazione (batteri, pesci, persone)
si modifica nel tempo
N(t)=numero di individui di una certa popolazione al tempo t
Dopo un tempo pari a Dt
N(t + Dt)= numero di individui
incremento: D( N )  N (t  Dt )  N (t )
velocita’ di variazione della popolazione nel tempo Dt :
DN [ N (t  Dt )  N (t )]

Dt
Dt
velocita’ istantanea di variazione della popolazione
Dt piccolo a piacere  lim per Dt0 di DN
Dt
Si ha la derivata di N(t) rispetto a t : dN
dt
Thomas Malthus (1766-1834):
prima ipotesi di modello della dinamica di crescita di una popolazione
velocita’ di crescita proporzionale alla popolazione stessa
dN
 kN (t )
dt
equazione differenziale soluzioni:
N(t)=N(0)ekt
e= numero di Eulero=2,7182818…
Tre grafici di funzioni malthusiane ottenute facendo
variare la costante k
Tabella della dinamica della popolazione USA
anno
Popolazione
effettiva
Dati calcolati
con la legge
malthusiana
(k=0.301)
Errore
% Errore
T=0
1790
3.929.000
3.920.000
0
0
T=1
1800
5.308.000
5.308.000
0
0
T=2
1810
7.240.000
7.173.000
-67.000
-0.9
T=3
1820
9.638.000
9.693.000
55.000
0.5
T=4
1830
12.866.000
13.097.000
231.000
1.8
T=5
1840
17.069.000
17.697.000
628.000
2.0
T=6
1850
23.192.000
23.912.000
720.000
2.3
T=7
1860
31.443.000
32.310.000
867.000
2.8
T=8
1870
38.558.000
43.658.000
5.100.000
13.2
T=9
1880
50.156.000
58.991.000
8.835.000
17.6
T=10
1890
62.948.000
79.709.000
16.761.000
21.0
T=11
1900
75.995.000
107.704.000
31.702.000
41.7
T=12
1910
91.972.000
145.530.000
53.558.000
58.2
T=13
1920
105.711.000
196.642.000
90.931.000
86.0
T=14
1930
122.775.000
265.705.000
142.930.000
116.4
T=15
1940
131.669.000
359.002.000
227.333.000
172.6
T=16
1950
150.697.000
485.114.000
334.417.000
221.9
Dopo il 1860 l’equazione
malthusiana
non fornisce una
previsione accettabile
Tabella della stima della
popolazione mondiale
Anno
Popolazione mondiale prevista
2000
6.675.305.132
2100
49.324.204.000
2200
364.459.310.000
2500
147.033.380.000.000
3000
3.238.625.700.000.000.000
Essendo la superficie totale della terra
510.100.000.000.000 m2 una semplice divisione
mostra che nel 2500 sarebbero costretti a
stare quasi in piedi l’uno accanto all’altro !!
Crescita in laboratorio del piccolo
roditore Microtus Arvallis
(previsione con l’equazione malthusiana k=0.4)
Mesi
0
2
6
10
Numero roditori
2
5
20
109
Numero roditori
previsto
2
4.5
22.0
109.1
La stima malthusiana e’ accettabile
L’ipotesi malthusiana non è, in
generale, accettabile in particolare
perche’ prevede sempre una
crescita indefinita
Verhulst (1837) biologo matematico:
introdusse un fattore correttivo
la velocita’ di crescita diminuisce quando la popolazione aumenta
dN
 [k  hN (t )] N (t )
dt
equazione logistica soluzioni:
kN (0)
N (t ) 
[hN (0)  (k  hN (0))e  kt ]
Grafico della funzione logistica
con
N(0)=10, k=0.3, h=0.006
Notare la presenza dell’asintoto
N(t)=k/h=50
Popolazione degli Usa nel periodo 1790-1950 e dati calcolati con
la legge di crescita logistica
anno
Popolazione
effettiva
Dati calcolati
con la crescita
logistica
errore
Errore
percentuale
1790
3.929.000
3.929.000
0
0
1800
5.308.000
5.336.000
28.000
0.5%
1810
7.240.000
7.228.000
-12.000
-0.2%
1820
9.638.000
9.757.000
119.000
1.2%
1830
12.866.000
13.109.000
243.000
1.9%
1840
17.069.000
17.506.000
437.000
2.6%
1850
23.192.000
23.192.000
0
0%
1860
31.443.000
30.412.000
-1.031.000
-3.3%
1870
38.558.000
39.372.000
814.000
2.1%
1880
50.156.000
50.177.000
21.000
0.0%
1890
62.948.000
62.769.000
-179.000
-0.3%
1900
75.995.000
76.870.000
875.000
1.2%
1910
91.972.000
91.972.000
0
0%
1920
105.711.000
107.559.000
1.848.000
1.7%
1930
122.775.000
123.124.000
349.000
0.3%
1940
131.669.000
136.653.000
4.984.000
3.8%
1950
150.697.000
149.053.000
-1.644.000
-1.1%
Il modello appare ora sufficientemente soddisfacente
Modello matematico per la
datazione col Carbonio 14
(Come anche la matematica puo’ svelare i falsi)
Walter F.Libby (chimico, p.Nobel): ideò alla fine degli anni ’40
uno dei metodi piu’ famosi e semplici di datazione dei reperti
L’azoto che si trova negli strati alti dell’atmosfera, bombardato da
raggi cosmici, dà luogo a 14C, un isotopo radioattivo del C.
Il carbonio che viene normalmente fissato da piante e animali
è caratterizzato da un rapporto costante 14C/12C=10-12.
Quando un organismo cessa di vivere la concentrazione di 14C
diminuisce perché non viene più assorbito mentre continua a decadere
N(t)=quantità di 14C nell’oggetto da datare al tempo t
N(0)=quantità di 14C contenuta al tempo t=0
K=costante di decadimento radiattivo del 14C
N(t) è soluzione dell’equazione: dN  kN (t )
dt
ovvero:
N (t )  N (0)e
 kt
R(t)=velocità con cui avviene il decadimento radioattivo
dN (t )
R(t )  
 kN (t )  kN (0)e  kt
dt
R(t )
 e  kt
R(0)
Castello di Winchester:
E’ quella di Re Artù?
1977: datazione con il
R(t)= 6.08 grammo/min
v. decadimento legno
tavola rotonda.
14C
se R(0)=6.68 grammo/min e k=1.245x10-4 anno-1
(legno vivo)
R(t ) 6.08
 kt

e
R(0) 6.68
t =700 anni
La tavola rotonda è stata
tagliata nel 1275!!
Ma Re Artù è vissuto nel VI secolo!!!