Cognome
Anno imm.
Nome
Matricola
Compito di MS per SAN
19 giugno 2015
Se il compito deve essere valutato solo per la parte di Matematica o di Statistica, e/o solo per un
certo numero di crediti (a causa di riconoscimenti parziali, trasferimento da altri corsi di studio, ecc),
indicatelo nei righi successivi, dando gli estremi dei rilevanti provvedimenti del Consiglio di Corso di
Studi o della Segreteria Studenti.
Svolgete gli esercizi direttamente sul testo a penna, negli spazi previsti, scrivendo chiaramente in
buon italiano. “Scrivere” significa dare solamente il risultato finale, mentre “calcolare”, “risolvere”,
“determinare” significa fornire anche il procedimento, almeno in forma schematica. Dovete consegnare
solo il foglio del testo: nessun foglio di brutta.
Per ogni domanda è indicato il relativo punteggio. Se la risposta è corretta tale punteggio viene
aggiunto al totale, inizialmente pari a 0; se la risposta è errata viene sottratto un punto. L’assenza di
risposta non influisce sul punteggio totale.
Potete usare una calcolatrice (non il cellulare) e la tavola della funzione degli errori di Gauss; niente
libri, appunti o altro. Tenete il libretto universitario sul banco. La durata della prova è di 3 ore (se deve
essere valutato tutto il compito), o di 90 minuti (se deve essere valutata solo la parte di Matematica o
di Statistica).
Calcolate preliminarmente i parametri a e b da usare negli esercizi: α è la penultima cifra del numero
di matricola e β l’ultima.
a = 2 cos
απ 3
= ......,
βπ b = 5 + 2 cos
= ......
3
*********************** MATEMATICA ***********************
Esercizio 1. Sia f la funzione definita da
(
− arctan(2x)/(a + 1/2), se x < 0;
f (x) =
0,
se x ≥ 0.
1. Scrivere il dominio e disegnare il grafico di f .
2. Dire se f è continua e se è differenziabile su tutto il dominio.
mente/inferiormente e se ha massimo/minimo.
2pt
Dire se è limitata superior-
3. Calcolare l’equazione della tangente al grafico di f nel punto di ascissa −2.
3pt
2pt
Esercizio 2.
1. Negare la frase
2pt
∃x∀y(y > x → |f (y) − a| ≤ |b|),
portando il segno di negazione più all’interno possibile (a, b sono i numeri calcolati in precedenza).
2. Sia f una funzione per cui la frase precedente è vera. L’affermazione
2pt
lim f (x) = a
x→∞
è allora vera?
Esercizio 3. Calcolare una primitiva della funzione (sin(x))2 cos(x).
2pt
Esercizio 4. Calcolare (sul retro)
3pt
Z
1
2
1
dx.
1 − exp(−x)
*********************** STATISTICA ***********************
Esercizio 5. Siano A, B, C tre eventi. Scrivere una formula insiemistica (cioè della forma (A ∩ B c ) ∪ C,
o analoga), per l’evento D = “Si verificano almeno due fra A, B, C”. Assumendo che A, B, C siano
indipendenti e che P (A) = P (B) = P (C) = 0.2, calcolare P (D) (sul retro).
4pt
Esercizio 6. Vengono lanciati due dadi regolari, uno blu e uno rosso. Mostrare che i due eventi
A = “la somma dei due punteggi è 7” e B = “sul dado blu è uscito 4” sono indipendenti (sul retro).
3pt
Esercizio 7. Tizio gioca al lotto il numero 1 sulla ruota di Milano.
5pt
1. Qual è la probabilità che Tizio vinca alla prossima estrazione?
2. Qual è la probabilità che vinca esattamente alla terza estrazione, e non prima?
3. Qual è la probabilità che vinca esattamente due volte nell’arco delle prossime dieci estrazioni?
Esercizio 8. Ad un centralino arrivano mediamente 18 telefonate all’ora. Calcolare la probabilità che
in tre minuti non arrivino telefonate, e che in dieci minuti ne arrivino almeno tre.
3pt