Cognome
Anno imm.
Nome
Matricola
Compito di MS per SAN e VE
18 febbraio 2014
Se il compito deve essere valutato solo per la parte di Matematica o di Statistica, e/o solo per un
certo numero di crediti (a causa di riconoscimenti parziali, trasferimento da altri corsi di studio, ecc),
indicatelo nei righi successivi, dando gli estremi dei rilevanti provvedimenti del Consiglio di Corso di
Studi o della Segreteria Studenti.
Svolgete gli esercizi direttamente sul testo a penna, negli spazi previsti, scrivendo chiaramente in
buon italiano. “Scrivere” significa dare solamente il risultato finale, mentre “calcolare”, “risolvere”,
“determinare” significa fornire anche il procedimento, almeno in forma schematica. Dovete consegnare
solo il foglio del testo: nessun foglio di brutta.
Per ogni domanda è indicato il relativo punteggio. Se la risposta è corretta tale punteggio viene
aggiunto al totale, inizialmente pari a 0; se la risposta è errata viene sottratto un punto. L’assenza di
risposta non influisce sul punteggio totale.
Potete usare una calcolatrice (non il cellulare) e la tavola della funzione degli errori di Gauss; niente
libri, appunti o altro. Tenete il libretto universitario sul banco. La durata della prova è di 3 ore (se deve
essere valutato tutto il compito), o di 90 minuti (se deve essere valutata solo la parte di Matematica o
di Statistica).
Calcolate preliminarmente i parametri a e b da usare negli esercizi: α è la terzultima cifra del numero
di matricola e β l’ultima.
βπ απ = ......,
b = 2 cos
= ......
a = 2 cos
3
3
*********************** MATEMATICA ***********************
√
Esercizio 1. Sia f (x) = a · arctan( ax − ax).
1. Scrivere il dominio di f .
2pt
2. Calcolare l’estremo inferiore e quello superiore di f e dire se essi costituiscono, rispettivamente, il
minimo e il massimo di f (sul retro).
2pt
3. Scrivere l’equazione degli eventuali asintoti orizzontali o verticali di f .
2pt
4. Disegnare il grafico di f .
2pt
Esercizio 2. Scrivere la definizione corretta della frase “Il limite della funzione g(x), per x tendente a
−∞, è 12”.
3pt
Esercizio 3. Sia
4pt
b − exp(−ax)
.
g(x) =
3 − cos(1/x)
Dire se g : R>0 → R è una funzione suriettiva. Dire se il limite di g(x), per x tendente a +∞, esiste e,
eventualmente, calcolarlo (sul retro).
Esercizio 4. (Solo per gli studenti di SAN da 9 crediti) Sia data l’equazione differenziale a variabili
separabili
y 0 = (2ax + b)y.
1. y(x) = exp(ax + b) è una soluzione?
V F
1pt
2. Scrivere una soluzione tale che y(0) = 1.
1pt
3. Scrivere una soluzione tale che y(0) = 0.
1pt
*********************** STATISTICA ***********************
Esercizio 5. Una moneta e un dado non truccati vengono lanciati contemporaneamente. Sia A l’evento
“esce testa” e B l’evento “esce testa e un numero ≤ b + 3”.
1. Scrivere P (A ∩ B).
1pt
2. Scrivere P (A ∪ B).
1pt
3. Scrivere P (B|A).
1pt
4. I giocatori R e S mettono come posta 1 Euro e b + 3 Euro, rispettivamente. Quanto deve valere
P (C) (dove C è un opportuno evento) affinché la scommessa di R sul verificarsi di C sia equa?
2pt
5. Indicare un evento D (il più semplice possibile) tale che P (D) = (10 + a)/12.
2pt
Esercizio 6. Sia X ∈ [0, 2 |b|] il tempo al quale una fissata persona esce da un edificio, con distribuzione
uniforme.
1. Calcolare il valore medio di X.
2pt
2. Calcolare la deviazione standard.
2pt
3. Se X1 , .P
. . , X1000 sono i tempi relativi a 1000 persone, che agiscono indipendentemente, e A =
1000
1000−1 i=1 Xi , scrivere il valore medio e la deviazione standard di A.
2pt
4. Ogni persona, durante la propria permanenza nell’edificio, consuma 1 centesimo di energia elettrica
per unità di tempo. Calcolare la probabilità che la spesa totale sia maggiore o uguale a 1010 |b|
centesimi (tutto l’esercizio sul retro).
2pt