Il laboratorio
delle
Macchine Matematiche
Incontro 22 settembre 2011
Cremona
Progetto
Mate-Laboratorio
Corso nato dalla collaborazione tra
e
Associazione delle macchine Matematiche
Cremona 2011
Nicoletta Nolli
[email protected]
Cinzia Galli
[email protected]
[email protected]
Francesca Martignone
[email protected]
Rossella Garuti
[email protected]
Associazione delle Macchine Matematiche
[email protected]
Cremona 2011
Cosa è stato fatto
2010/2011
• Macchine matematiche in dotazione
al Museo disponibili per il prestito
• Apertura al prestito (Cinzia Galli)
• Inizio corso di formazione
Programma del corso
1° parte anno scolastico 2010-2011
DATA
Primo
incontro
30 marzo
2011
15-18
Sala Puerari
e
Aula Didattica
Secondo
incontro
14 aprile
2011
Elementi di contenuto
e strumenti
TITOLO
Presentazione del progetto: intervengono M.L.Beltrami (UST ) e
Laura Parazzi (Dirigente Liceo Scientifico Aselli)
Il Laboratorio di Matematica nelle Indicazioni per il Curricolo e nel
nuovo Obbligo Formativo
L’idea generale di Laboratorio di Matematica
Il laboratorio di matematica e macchine matematiche: quadro
teorico.
Un esempio di continuità verticale. Analisi di un caso: costruzioni
con riga e compasso.
STRUMENTI: riga e compasso
Costruzioni con riga e compasso
STRUMENTI: riga e compasso
Il laboratorio di matematica:
macchine geometriche
(macchine per le trasformazioni)
Trasformazioni geometriche: simmetria assiale e
dilatazione
Il laboratorio di matematica:
macchine geometriche
(macchine per le trasformazioni)
Trasformazioni geometriche: dilatazione e omotetia
STRUMENTI: Pantografi e Biellismi
15-18
Aula Didattica
Terzo
incontro
28 aprile
2011
STRUMENTI: Pantografi e Biellismi
15-18
Aula Didattica
Cremona 2011
Le macchine analizzate fin ora
• IL COMPASSO
• I
PANTOGRAFI
TRASFORMAZIONI
DEL PIANO
PER
LE
GEOMETRICHE
I materiali del corso
•
•
•
•
•
Presentazioni ppt
Schede di lavoro
Animazioni virtuali delle macchine
Materiali da sperimentazioni
Griglie di progettazione
http://www.liceoaselli.it/matelaboratorio.htm
Cosa faremo oggi
• Ripresa del lavoro
• Alcuni estratti da sperimentazioni già
svolte
• Discussione proposte di
sperimentazioni
Quadro teorico
del progetto
• Idea di laboratorio di matematica
• Ricerche storico-epistemologiche e didattiche
Ricerche
sulle macchine matematiche
nazionali ed
• Mediazione semiotica
internazionali
• Ricerche su aspetti cognitivi legati
all’esplorazione delle macchine matematiche
La documentazione pubblica
del Progetto MMLab-ER
www.mmlab.unimore.it
 Progetto regionale Emilia-Romagna
 Risultati del progetto
• Report delle sperimentazioni (insegnanti)
• Foto e video (insegnanti e centri di doc.)
• Libro Progetto regionale (Martignone (ed.), 2010)
• Tesi di dottorato (Garuti, 2011)
• Diari di bordo delle sperimentazioni (insegnanti)
• Pubblic. su riviste e comunic. agli atti di
congressi naz. e internaz. (insegnanti e ricercatori
MMLab)
UMI 2011
Metodologia
Laboratorio di
matematica
(curriculi UMI)
Laboratorio con gli insegnanti
durante il corso di formazione
Laboratorio con gli studenti
nelle sperimentazioni nelle classi
Metodologia
laboratoriale
Lavori di gruppo e discussioni
Quali artefatti?
Le Macchine
Matematiche
Quali focus?
Processi e
aspetti culturali
coinvolti
Focus
Aspetti culturali:
• Le macchine come oggetti usati nella storia
della matematica e non solo
• Il ruolo della definizione e dimostrazione
nella cultura matematica
Processi:
• Produzione congetture, sviluppo di
argomentazioni e costruzione di
dimostrazioni
Gli ingredienti
Metodologia
laboratoriale
Attività in piccoli gruppi
Discussioni collettive
Macchine
Matematiche:
Macchine
aritmetiche e
geometriche
Attenzione ai
Processi e agli
aspetti culturali
coinvolti
Opportune
consegne
La prima macchina analizzata:
il compasso
Cremona 2011
Costruzioni di triangoli isosceli
(tenendo presente la disuguaglianza triangolare)
Data la base costruire
i lati congruenti…
Partendo dalla
proprietà della crf …
Partendo dall’asse di simmetria…
Partendo dagli angoli conguenti
16
Due triangoli isosceli congruenti … Diagonali che si secano…
Perpendicolare alla
perpendicolare ….
Rombo o
parallelogramma…
Angoli alterni interni o
corrispondenti congruenti…
Triangoli e Talete…
E poi variazionidi queste come:
costruzioni di trapezi isosceli,
di rettangoli…
21 dicembre 2015
Esempi di costruzioni di rette paralllele
ricostruite da Simone Banchelli con un
software di DG
17
Nelle diverse costruzioni
• Da dove siete partiti? Dalla definizione, da
quali proprietà del triangolo? PERCHE’?
• Quale procedura avete seguito?
PERCHE’?
• Che ruolo hanno avuto gli strumenti in
queste scelte? E le conoscenze (pratiche
e teoriche)?
• Cosa abbiamo notato dal confronto tra le
diverse costruzioni?
Cremona 2011
Pantografi
Meccanismi che stabiliscono
una corrispondenza locale tra i punti
di due regioni piane limitate collegandole fisicamente
attraverso sistemi articolati e che incorporano le
proprietà che caratterizzano la trasformazione
geometrica del piano
Le quattro domande chiave
che hanno strutturato tutte le
attività con le macchine
(nelle attività con gli insegnanti e con gli studenti)
1. Come è fatta?
ESPLORAZIONI
2. Cosa fa?
ARGOMENTAZIONI
3. Perché lo fa?
DIMOSTRAZIONI
4. Cosa succederebbe se …?
CONDIZIONALITA’
PROBLEM POSING E PROBLEM SOLVING
Il pantografo per la simmetria assiale
x'=x
y'=-y
Due vertici di un rombo articolato
sono vincolati a muoversi su
una guida rettilinea (r) e quindi gli
altri due vertici (P e Q)
si corrispondono in una simmetria
assiale di asse r
UMI 2011
Come è fatto?
Cosa fa?
Perché?
Cosa succederebbe
se…?
Cosa succederebbe se… cambiassimo la
lunghezza delle aste?
Variazioni del pantografo:
quadrilateri con due lati congruenti
PERCHE’ fa/non fa una
Che
cosa fa?
Perché?
simmetria
assiale?
A
C
B
Associazione delle Macchine Matematiche
www.macchinematematiche.org
Stiramento
Equazioni:
x'=-kx
y'=y
I triangoli FQG e MPN sono simili:
QH:PH=QF:PM
QH:PH=(QB+BM):PM
QB=l
PM=d
QH:PH=(2l-d):d
21 dicembre 2015
K=(2l-d)/d
23
Progetto regionale Scienze e tecnologie
Laboratorio delle macchine matematiche
Idee di percorsi didattici
• Indicazioni metodologiche
• Alcune linee guida e materiali di
lavoro
• Idee di percorsi
21 dicembre 2015
Autori: R. Garuti e F. Martignone
Indicazioni metodologiche
1. Strumenti: pantografi, fogli bianchi, riga,
squadrette, compasso.
2. Lavoro a piccoli gruppi.
3. Verbalizzazione scritta (più o meno
strutturata)
4. Discussioni di bilancio con produzione di
testi collettivi condivisi
Quanto tempo?
Almeno 3 ore (2+1) per introdurre la prima
macchina:
esplorazione
e
successiva
discussione con focus sui processi e sugli
aspetti culturali coinvolti
A seconda del percorso e del numero di
macchine scelte, si potrà progettare di quanto
allungare la sperimentazione
21 dicembre 2015
Autori: R. Garuti e F. Martignone
Quali sono gli aspetti che mettono in
gioco le attività con i pantografi?
Aspetti legati
• Alla geometria: analisi delle proprietà delle
figure trasformate, dimostrazioni (geometria
euclidea)…
• All’aritmetica: Individuazione dei rapporti tra
segmenti, figure…
21 dicembre 2015
Autori: R. Garuti e F. Martignone
Quali possibili obiettivi?
Fornire un contesto di apprendimento di
significati matematici in cui:
• vengano favoriti processi di argomentazione e
dimostrazione
• siano messe in luce le connessioni della
matematica con la storia, la cultura e la vita
quotidiana
21 dicembre 2015
Autori: R. Garuti e F. Martignone
Per questo, durante le attività
laboratoriali
Si vuole dare spazio a:
• Attività di esplorazione
• Manipolazioni ed osservazioni di oggetti
fisici
• Verbalizzazione (orale e scritta)
• Discussioni collettive
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Cosa è stato fatto
2010/2011
• Macchine matematiche in dotazione
al Museo disponibili per il prestito
• Apertura al prestito (Cinzia Galli)
• Inizio corso di formazione
• Progettazione sperimentazioni
Griglia per la progettazione
21 dicembre 2015
I vostri progetti
Discussione
Possibili percorsi di
sperimentazione
1. I pantografi per la simmetria assiale e per
lo stiramento
2. Il pantografo di Scheiner: esploriamo,
ricostruiamo e dimostriamo!
21 dicembre 2015
Autori: R. Garuti e F. Martignone
Percorso 1:
simmetria assiale e stiramento
•
•
•
Analisi dello strumento
(componente artefatto e schemi d’uso)
Individuazione della trasformazione svolta dalla
macchina (cosa fa la macchina)
Riflessione sulle proprietà matematiche
incorporate in questa (perché svolge una
simmetria assiale)
Come è fatta la macchina?
Produzione di testi descrittivi e
argomentativi
Cosa fa?
Discussioni matematiche
Perché lo fa?
Indicazioni metodologiche
1. Lavoro a piccoli gruppi (max 5 studenti)
2. Strumenti: pantografi e fogli bianchi
3. Richiesta di verbalizzazione scritta (più o
meno strutturata) dell’attività con la
macchina
4. Discussioni di bilancio con produzione di
testi collettivi condivisi
21 dicembre 2015
Autori: R. Garuti e F. Martignone
Linee guida per le attività degli
studenti
1. Descrizione e disegno della macchina
(come è fatta la macchina?)
2. Individuazione dei punti puntatori/tracciatori e analisi
del meccanismo (come si usa?)
3. Disegni di figure che sono trasformate dalla macchina
(cosa fa la macchina?)
4. Analisi delle caratteristiche della macchina che
permettono lo svolgimento della trasformazione
(le proprietà della trasformazione incorporate nella
macchina)
Cosa succederebbe se…
21 dicembre 2015
Autori: R. Garuti e F. Martignone
L’ultimo pantografo
analizzato
pantografo di Scheiner
Come è fatto?
Cosa fa?
Perché lo fa?
Ricominciamo da qui…
Come è fatto?
Cosa fa?
Perché lo fa?
Per dimostrare…
Nel piano cartesiano:
Per dimostrare l’allineamento di O, Q
e P e il rapporto costante tra le
distanze dei tracciatori (Q e P) dal
punto
fisso
O,
si
possono
considerare il triangoli simili OQA e
OPB oppure i triangoli OQA, QPC e il
parallelogramma AQCB…
21 dicembre 2015
 x '  kx

 y '  ky
Confronto di
dimostrazioni
21 dicembre 2015
42
Cosa succederebbe se …?
Omotetia di rapporto
1:3
Omotetia di rapporto
negativo (simm centr.)
•Animazioni costruite con Geogebra o Cabri
•Costruzione di nuove macchine con materiali poveri:
aste di plastica, bastoncini di legno…
Materiali ora presenti sul sito
•
•
•
•
•
Presentazione PPT degli incontri
Schede di lavoro per gli insegnanti
Materiali analizzati
Linee guida per percorsi didattici
Griglie per la progettazione di
sperimentazioni
http://www.liceoaselli.it/matelaboratorio.htm
Materiali presto sul sito
• Presentazioni PPT e schede di lavoro
dei prox incontri
• Schema di diario di bordo
• Modulo prenotazione macchine
• Pdf di articoli e libri in cui sono raccolte
esperienze svolte da insegnanti
dell’Emilia Romagna
http://www.liceoaselli.it/matelaboratorio.htm
Da alcune sperimentazioni
svolte in classe
Progetto MMLab-ER
Sperimentazioni
In tutte le sperimentazioni svolte dagli
insegnanti coinvolti nel progetto MMLabER si ritrovano le linee guida del corso di
formazione:
•La metodologia laboratoriale
•L’elaborazione di percorsi e di consegne
cruciali
•L’attenzione ai processi
•Il focus sugli aspetti culturali
Come è
fatta?
Cosa fa?
Perché?
Nuove consegne…
lo Scheiner sbagliato
• Perché non funziona?
Descrivere il compasso …
Costruire con riga e
compasso …
Scrivere la procedura
Giustificare la risposta
Provare che…
La voce degli insegnanti
alcune riflessioni dai report finali
• “È stato interessante osservare i ragazzi all’opera non
solo per la qualità degli elaborati finali prodotti, ma
anche per l’opportunità di poterli ascoltare nel
momento in cui le loro idee venivano alla luce, esposte
e concretizzate”. [Banchelli- Liceo scientifico]
• “E’ importante anche sottolineare, che la lezione di
geometria in laboratorio non richiede più tempo
rispetto all’insegnamento classico, anzi, lo riduce,
poiché suggerimenti, osservazioni e congetture fanno
parte di una scoperta e di una crescita culturale di
ognuno, nel rispetto dei propri modi e tempi di
apprendimento” [Silvegni- IPSIA]
UMI 2011
Altre macchine
ricostruzioni virtuali con software
di DG
www.macchinematematiche.org
Pantografo di Kempe
Questo pantografo si ottiene assemblando
due sistemi articolati BCP e ADQ
(ove BC=AD e CP=DQ)
mediante tre aste uguali di lunghezza
P
B
C
Q
assegnata AB, CD e PQ. AB è fissata al piano.
A
ABCD
e
CPQD
sono
quindi
parallelogrammi articolati. Il punto
(tracciatore) ha due gradi di libertà.
21 dicembre 2015
due
P
D
53
Pantografo di Kempe
Si può osservare che:
● Quando il puntatore percorre un segmento, il
tracciatore descrive un segmento parallelo e uguale:
in ogni posizione di R sul segmento a, PQRS è un
parallelogramma (lati PQ ed RS paralleli e uguali)
●
Viene conservato il verso di percorrenza delle figure
Non esistono punti uniti , esiste un fascio improprio
di rette unite.
●
21 dicembre 2015
55
Pantografo di Kempe
Questo pantografo si ottiene assemblando
due sistemi articolati BCP e ADQ
(ove BC=AD e CP=DQ)
mediante tre aste uguali di lunghezza
assegnata AB, CD e PQ. AB è fissata al piano.
ABCD
e
CPQD
sono
quindi
parallelogrammi articolati. Il punto
(tracciatore) ha due gradi di libertà.
21 dicembre 2015
due
P
56
Pantografo di Kempe
Equazioni della
trasformazione
Sia h la lunghezza di AB.
x'=x
y'=y-h
21 dicembre 2015
57
Rotazione
21 dicembre 2015
58
Rotazione
Costruzione:
AP=AB=OC
OA=CB=CQ
triangoli PAB e BCQ simili
Dimostrazione:
1)
ˆ A  QC
ˆ O quindi PO  QO
PO
ˆC
APˆ O  QO
ˆ P  OQ
ˆC
AO
2) relazione fra angoli:
ˆ Q  CQ
ˆ O  OC
ˆ Q  180
CO
ˆ Q  CQ
ˆ O  OC
ˆ B  BC
ˆ Q  180
CO
ˆ Q  AO
ˆ P  BA
ˆ Q  180
ˆ O  PO
CO
ˆ Q  BC
ˆQ
PO
Nei prossimi incontri
• Esplorazione di altre macchine
matematiche: ancora un pantografo e
poi curvigrafi e macchine aritmetiche
• Discussione
progetti
di
sperimentazione
• Testimonianze dalle classi
Programma del corso
2° parte anno scolastico 2011-2012
Data
Quarto incontro
22 settembre
2011
15 – 18
TITOLO
Analisi delle prime sperimentazioni in classe
Discussione dei progetti
Il laboratorio di matematica:
macchine geometriche
(macchine per le trasformazioni geometriche del piano)
Trasformazioni geometriche
Quinto incontro
13 ottobre
2011
15 – 18
Elementi di contenuto
e strumenti
STRUMENTI: Pantografi e Biellismi
Trasformazioni geometriche
Macchine geometriche: pantografi
Macchine aritmetiche: costruzione e analisi
Notazione posizionale, algoritmi, regolarità
numeriche
STRUMENTI: pantografi e pascalina,
Sesto incontro
27 ottobre
2011
15 – 18
Settimo incontro
Il laboratorio di matematica:
macchine geometriche (curvigrafi)
Coniche e costruzioni di animazioni virtuali
STRUMENTI: curvigrafi
I progetti di sperimentazione nelle classi
10 novembre
2011
15 – 18
Cremona 2011
Discussione dei progetti di sperimentazione
con particolare attenzione alla metodologia
laboratoriale
Per la prox volta
• Compilare la griglia per la
progettazione delle sperimentazioni
• Spedire la griglia ai formatori via email
– Nicoletta Nolli [email protected]
– Francesca Martignone
[email protected]
• Per facilitare il prestito, comunicare il
periodo in cui si pensa di svolgere la
sperimentazione
Il diario di Bordo
21 dicembre 2015
VIDEO
DI ESEPRIENZE SVOLTE IN CLASSE
MODENA
DAL MIN
10.53-21.48
http://www.mmlab.unimore.it/online/Home/ProgettoRegionaleEmiliaRomagna/RisultatidelProgetto/Fotoevideo.html
Grazie!
www.mmlab.unimore.it