Laboratorio
delle
Macchine Matematiche
secondo incontro
CREMONA 2011
Discussione sul
“compito per casa”
Costruire rette parallele
Cremona 2011
Un esempi di costruzione
Q
P
A
B
Questa è una possibile costruzione:
• vi riconoscete degli elementi delle vostre costruzioni ?
•avete ottenuto un prodotto analogo? Differente? In cosa?
•Perché?
Cremona 2011
Due triangoli isosceli congruenti … Diagonali che si secano…
Perpendicolare alla
perpendicolare ….
Rombo o
parallelogramma…
Angoli alterni interni o
corrispondenti congruenti…
Triangoli e Talete…
E poi variazioni di queste come:
costruzioni di trapezi isosceli,
di rettangoli…
19 dicembre 2015
Esempi di costruzioni ricostruite da Simone
Banchelli con un software di DG
4
Ultima scheda
Analizzare il primo passo e l’ultimo di
una costruzione
Adattare la costruzione ad un compito
analogo
Cremona 2011
Nelle sperimentazioni in classe
Elementi di cui tener conto
Cremona 2011
Elementi di cui tener conto…
1. Qual è la funzione dello strumento?
Il compasso può essere utilizzato:
• per il trasporto di misura (raggio della crf)
• per disegnare circonferenze
• …
Cremona 2011
Elementi di cui tener conto…
2. Quali proprietà matematiche “orientano”
la costruzione
B
•
A
O
Esempio: Nella costruzione di un triangolo
isoscele la proprietà che mi orienta potrebbe
essere la congruenza di due lati o degli angoli…
C
A
B
Cremona 2011
Elementi di cui tener conto…
B
3. Quali altre proprietà geometriche
osservo alla fine della costruzione?
A
O
Esempio: nel triangolo isoscele posso vedere l’asse
di simmetria…
C
C
A
B
A
Cremona 2011
B
Steps del percorso
1. Problema di costruzione
Obiettivi:
• Analisi dello strumento
• Riflessione sulle proprietà matematiche utilizzate
• Produzione di testi “giustificativi” della
costruzione
Cremona 2011
Steps del percorso
2. Confronto di costruzioni
Obiettivi:
• Comprendere una costruzione diversa dalla propria
• Esplicitare tutti i passaggi e giustificarli
• Cogliere analogie e differenze tra la propria
costruzione e quella data (dal punto di vista sia
dell’uso dello strumento, sia delle proprietà
matematiche in gioco)
• Produzione di testi interpretativi
Cremona 2011
Steps del percorso
dopo le costruzioni dei triangoli
3. Ri-costruzione di una costruzione
Esempio:
P
B
O
A
O
A
B
•Qual è il legame tra la prima e la seconda figura?
•Perché le due rette costruite nella Fig.2 sono parallele?
Cremona 2011
Come possiamo schematizzare
le diverse fasi delle attività
Quadro della mediazione semiotica
(Bartolini Bussi & Mariotti)
Cremona 2011
Studente/i
Attività semiotica
“testi” (segni)
situati
consegna
sapere matematico
(da insegnare)
cultura
Cremona 2011
“testi” (segni)
matematici
Ruolo dell’insegnante
Pianificare l’attività
Aiutare gli studenti nelle situazioni di blocco
facendogli esplicitare le difficoltà
incontrate
Orchestrare la fase di discussione collettiva
Cremona 2011
Da alcune sperimentazioni
Scuola secondaria di primo grado e di
secondo grado
Cremona 2011
Due esempi di sperimentazioni
Scuola sec. I°- I (maggio-Giugno 2010)
Ins. Fulvio Buonomo, Stefania Ferretti, Franca
Postal
Obiettivi:
• Saper esplorare e descrivere
gli strumenti;
• saper riconoscere le
proprietà matematiche che
orientano la costruzione
geometrica;
• saper descrivere e giustificare
la costruzione eseguita;
• saper cogliere analogie e
differenze tra costruzioni
diverse.
I liceo scientifico (Marzo- Maggio 2010)
Ins. Simone Banchelli
Obiettivi:
• Esplorazione e rivisitazione di
alcune costruzioni note e non
note apprese come insieme di
procedure
• Analisi delle proprietà
matematiche incorporate
all'interno degli oggetti fisici
(riga e e compasso) utilizzate
per queste costruzioni
• Dalla procedura alla
dimostrazione: perché la
costruzione funziona?
Scuola sec. I°- I
Fig 1.1
Scuola sec. I°- I
I liceo Scientifico
Dagli assiomi di congruenza (trasporto di
segmenti e angoli) ….
I liceo Scientifico
“Costruisco” gli assiomi del trasporto
I liceo Scientifico
… alla divisione di un segmento in
n parti
I liceo Scientifico
La divisione di un segmento in n parti (un
tentativo !)
…e ora o pantografi per le
trasformazioni geometriche del
piano!
Cremona 2011
Pantografo
Meccanismo che stabilisce
una
corrispondenza
locale tra i punti di due
regioni
piane
limitate
collegandole fisicamente, e
che incorpora le proprietà
che
caratterizzano
la
trasformazione geometrica
del piano.
19 dicembre 2015
25
Esplorazione
del pantografo
Come è fatta la macchina
Cosa fa la macchina
Perché lo fa
19 dicembre 2015
30
Attività con pantografi
Al lavoro!
19 dicembre 2015
31
Questioni chiave
1. Come è fatta la macchina?
•
•
•
Caratteristiche fisiche della macchina
Movimenti possibili
Come si usa
Questioni chiave
2. Cosa fa la macchina?
•
•
Si può usare per disegnare figure secondo una
trasformazione…
Le figure disegnate sono…
Questioni chiave
3. Perché lo fa?
Proprietà geometriche
In un rombo
le diagonali
si intersecano
nel loro
puntoaste
medio, come in tutti i
della
figura
formata
dalle
parallelogrammi, inoltre le diagonali sono tra loro perpendicolari
e modo in cui è incernierata al piano: vedremo che
la forma non basta!!
Simmetria assiale
cabri
Equazioni:
x'=x
y'=-y
Nei pantografi
il movimento e la traccia
permettono di mettere in luce la
relazione (covarianza e dipendenza)
tra i due punti “trasformati”, ma
anche la relazione tra le figure
prodotte dalla macchina
Rimini, 6 Aprile 2011
Qual è la matematica in gioco?
• Le trasformazioni geometriche del piano
• La geometria euclidea
• La geometria analitica
Quali processi?
• Produzione di congetture, argomentazioni e
costruzioni di dimostrazioni
• Attività di problem solving
• Cosa accadrebbe se …..
Cosa succederebbe se… cambiassimo la
lunghezza delle aste?
Variazioni del pantografo:
quadrilateri
con i lati congruenti a due a due
Cosa succederebbe se… cambiassimo la
lunghezza delle aste?
Variazioni del pantografo:
quadrilateri con due lati congruenti
PERCHE’ fa/non fa una
Che
cosa fa?
Perché?
simmetria
assiale?
A
C
B
Associazione delle Macchine Matematiche
www.macchinematematiche.org
E se il rombo fosse
incernierato alla guida in
modo diverso …
Rimini, 6 Aprile 2011