Incontro III
Cremona
21 dicembre 2015
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E se il rombo fosse
incernierato alla guida in
modo diverso …
Rimini, 6 Aprile 2011
Produzione di ipotesi prima di
avere manipolato la macchina e
aver visto cosa fa
Cosa potrebbe fare questa macchina?
21 dicembre 2015
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Analogie e differenze nella
struttura con il pantografo per
la simmetria assiale
21 dicembre 2015
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Esplorazione
del pantografo
Come è fatta la macchina
Cosa fa la macchina
Perché lo fa
21 dicembre 2015
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Stiramento
Equazioni:
x'=-kx
y'=y
I triangoli FQG e MPN sono simili:
21 dicembre 2015
QH:PH=QF:PM
QH:PH=(QB+BM):PM
QB=l PM=d
QH:PH=(2l-d):d
K=(2l-d)/d
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Zone di piano messe in corrispondenza
dalla trasformazione geometrica
21 dicembre 2015
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21 dicembre 2015
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Genesi spaziale
Nel modello fisico, le lastre rettangolari p (trasparente) e p’
rappresentano due piani incidenti lungo la retta u. Le figure tracciate su
p’ si possono considerare come ombre solari di quelle giacenti su p. I
raggi del sole (materializzati nel modello con fili tesi e supposti
paralleli) determinano, in generale, una corrispondenza biunivoca
(prospettività con centro improprio) tra p e p’: ad ogni punto P di p
corrisponde in p’ la sua ombra P’.
Genesi spaziale
Il modello permette di ruotare p attorno alla retta u.
Si può osservare che:
- durante la rotazione i raggi (i fili tesi) rimangono paralleli;
- quando p è sovrapposto a p’, i raggi (i fili) che congiungono due punti
corrispondenti qualsiasi sono perpendicolari ad u.
Se p e p’ sono sovrapposti, la corrispondenza esistente fra i loro punti P e
P’ diventa una trasformazione geometrica nota come stiramento
(particolare omologia affine).
Genesi spaziale
Progetto regionale Scienze e tecnologie
Laboratorio delle macchine matematiche
Idee di percorsi didattici
• Indicazioni metodologiche
• Alcune linee guida e materiali di
lavoro
• Idee di percorsi
21 dicembre 2015
Autori: R. Garuti e F. Martignone
Indicazioni metodologiche
1. Strumenti: pantografi, fogli bianchi, riga,
squadrette, compasso.
2. Lavoro a piccoli gruppi.
3. Verbalizzazione scritta (più o meno
strutturata)
4. Discussioni di bilancio con produzione di
testi collettivi condivisi
Quanto tempo?
Almeno 3 ore per introdurre la prima macchina
(esplorazione e successiva discussione) e poi, a
seconda del percorso e del numero di
macchine scelte, si potrà progettare di quanto
allungare la sperimentazione
21 dicembre 2015
Autori: R. Garuti e F. Martignone
Quali sono gli aspetti che mettono in
gioco le attività con i pantografi?
Aspetti legati
• Alla geometria: analisi delle proprietà delle
figure trasformate, dimostrazioni (geometria
euclidea)…
• All’aritmetica: Individuazione dei rapporti tra
segmenti, figure…
21 dicembre 2015
Autori: R. Garuti e F. Martignone
Quali possibili obiettivi?
Fornire un contesto di apprendimento di
significati matematici in cui:
• vengano favoriti processi di argomentazione e
dimostrazione
• siano messe in luce le connessioni della
matematica con la storia, la cultura e la vita
quotidiana
21 dicembre 2015
Autori: R. Garuti e F. Martignone
Per questo, durante le attività
laboratoriali
Si vuole dare spazio a:
• Attività di esplorazione
• Manipolazioni ed osservazioni di oggetti
fisici
• Verbalizzazione (orale e scritta)
• Discussioni collettive
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Qual è la matematica in gioco?
• Le trasformazioni geometriche del piano
• La geometria euclidea
• La geometria analitica
Quali processi?
• Produzione di congetture e sviluppo
argomentazioni e costruzioni di dimostrazioni
• Attività di problem posing e solving
Possibili percorsi di
sperimentazione
1. I pantografi per la simmetria assiale e per
lo stiramento
2. Il pantografo di Scheiner: esploriamo,
ricostruiamo e dimostriamo!
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Autori: R. Garuti e F. Martignone
Percorso 1:
simmetria assiale e stiramento
•
•
•
Analisi dello strumento
(componente artefatto e schemi d’uso)
Individuazione della trasformazione svolta dalla
macchina (cosa fa la macchina)
Riflessione sulle proprietà matematiche
incorporate in questa (perché svolge una
simmetria assiale)
Come è fatta la macchina?
Produzione di testi descrittivi e argomentativi
Cosa fa?
Discussioni matematiche
Perché lo fa?
Indicazioni metodologiche
1. Lavoro a piccoli gruppi (max 5 studenti)
2. Strumenti: pantografi e fogli bianchi
3. Richiesta di verbalizzazione scritta (più o
meno strutturata) dell’attività con la
macchina
4. Discussioni di bilancio con produzione di
testi collettivi condivisi
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Autori: R. Garuti e F. Martignone
Linee guida per le attività degli
studenti
1. Descrizione e disegno della macchina
(come è fatta la macchina?)
2. Individuazione dei punti puntatori/tracciatori e analisi
del meccanismo (come si usa?)
3. Disegni di figure che sono trasformate dalla macchina
(cosa fa la macchina?)
4. Analisi delle caratteristiche della macchina che
permettono lo svolgimento della trasformazione
(le proprietà della trasformazione incorporate nella
macchina)
Cosa succederebbe se…
21 dicembre 2015
Autori: R. Garuti e F. Martignone
E ora un altro pantografo!
Come è fatta la macchina?
Cosa fa?
Perché lo fa?
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Pantografo di Scheiner
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zone di piano messe in corrispondenza:
punti interni al cerchio c1 (per P) e punti interni al cerchio c2 (per Q)
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Omotetia
Occorre dimostrare:
• OBP simile a OAQ
• O, Q e P allineati
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Nel piano cartesiano:
 x '  kx

 y '  ky
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Percorso 2:
Pantografo di Scheiner:
Esploriamo, ricostruiamo e dimostriamo…
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Pantografo di Scheiner
(1631)
Scuola secondaria di primo e secondo grado
scuole professionali
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Attività a piccoli gruppi su consegne
aperte o guidati da schede:
• esplorazione della macchina con
l’obiettivo di ricostruirla e di
modificarla ;
• individuazione ed analisi delle
caratteristiche della trasformazione
svolta dalla macchina.
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Pantografo di Scheiner:
Dimostriamo: perché svolge una omotetia?
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Autori: R. Garuti e F. Martignone
Esempi di dimostrazioni
Partendo da triangoli simili…
Partendo da triangoli congruenti…
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21 dicembre 2015
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Da una sperimentazione in
classe
Alcuni protocolli dei ragazzi
21 dicembre 2015
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Cosa succederebbe se…?
Volessimo un altro rapporto?
21 dicembre 2015
Autori: R. Garuti e F. Martignone
21 dicembre 2015
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E se le aste non formassero
triangoli isosceli, ma scaleni?
21 dicembre 2015
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Un esempio di attività che
utilizza delle simulazioni delle
macchine
R. Garuti
21 dicembre 2015
41
Grazie!
21 dicembre 2015
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