Urto in una dimensione -Urto centrale
• L’urto centrale avviene quando il parametro d’urto
b è nullo.
– Le forze sono dirette lungo la congiungente delle
due particelle
– Che coincide con la retta di azione della velocità
iniziale
• Non essendoci forze perpendicolari alla direzione
della velocità, non ci saranno accelerazioni
perpendicolari alla velocità iniziale
– Siccome la velocità iniziale ha solo componenti
lungo la retta congiungente i due punti materiali
– Non ci sarà moto perpendicolarmente alla
congiungente le due particelle
• L’uro centrale è un urto unidimensionale.
v1
m1
m2
b
Urto centrale
v1
P1i  P2 i  P1f mP22 f
m1
x
m1v1x  m1v' 1x m2 v' 2x
Una sola equazione non basta per determinare le due velocità dello stato finale.
Se l’urto è elastico si può aggiungere:
Nel caso di urto elastico
abbiamo due equazioni
1
1
1
m1v21x  m1v' 21x  m 2 v' 22x
indipendenti in due incognite:
2
2
2
Il sistema
ammetteB-Automazione
soluzione 2002/03
G.M. - Informatica
Urto centrale elastico-bersaglio fermo
• Per risolvere il sistema conviene metterlo in questa
forma:
m 1v1x  m 1v' 1x m 2 v' 2 x
1
1
1
m1v21x  m1v' 21x  m 2 v' 22x
2
2
2
Urto centrale
v1
m 1v1x  v' 1x   m 2 v' 2 x
2
m 1 v1x
 v' 21x  m 2 v' 22 x

P1i  P2 i  P1f mP22 f
m1

x
• Dividendo membro a membro la seconda per la prima:
m 1v1x  v' 1x   m 2 v' 2 x
v1x  v' 1x  v' 2 x


v1x  v' 1x  v' 2 x
m 1  m 2 
m 1  m 2 

m  m 2 
v1x  v1x  1
  v' 2 x

m1  m 2 
v' 1x  v1x

m 1v1x  v' 1x   m 2 v1x  v' 1x

v' 1x  v1x
m 1  m 2 
m 1  m 2 
v' 2 x  v1x
2m 1
m1  m 2 
v1x m1  m 2   v' 1x m1  m 2 
v1x  v' 1x  v' 2 x
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Urto centrale elastico: casi particolari
m 1  m 2 
v' 1x  v1x
m 1  m 2 
Urto centrale
2m 1
v' 2 x  v1x
m1  m 2 
•
v1
La particella bersaglio, dopo l’urto si muoverà sempre
nello stesso verso della particella incidente
La particella proiettile invece
•
procede nello stesso verso che aveva prima dell'
procede in verso opposto a quello che aveva prima dell'
x
urto se m1  m 2
urto se m1  m 2
si ferma
•
P1i  P2 i  P1f mP22 f
m1
se m1  m 2
In caso di forti asimmetrie:
m 1  m 2

v' 1x  v1x
m1  m2
m
 v1x 1  v1x
m1  m2
m1
m 1  m 2

v' 1x  v1x
m1  m2
m 2
 v1x
 v1x
m1  m2
m2
v' 2 x  v1x
2m1
2m1
 v1x
 2v1x
m1  m 2
m1
v' 2x  v1x
2m 1
2m1
 v1x
0
m1  m 2
m2
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
•
•
•
Due automobili A e B di massa rispettivamente 1100 kg e 1400 kg, nel
tentativo di fermarsi ad un semaforo, slittano su una strada ghiacciata. Il
coefficiente di attrito dinamico tra le ruote bloccate delle auto e il terreno è
0.13. A riesce a fermarsi, ma Be che segue, va a tamponare il primo veicolo.
Come indicato in figura, dopo l’urto A si ferma a 8.2 m dal punto di impatto e
B a 6.1 m. Le ruote dei due veicoli sono rimaste bloccate durante tutta la
slittata.
Determinare le velocità delle due vetture subito dopo l’impatto.
E la velocità della vettura B prima dell’urto.
Applic
azione
K  WP  WN  WFa  WFa
0
WFa  Fax  mg x
1
K f  Ki  0  mv 2  mgx
2
N
v  2gx
v A  2  0.13  9.81  8.2  4.6 m s
v B  2  0.13  9.81  6.1  3.9 m s
m B vo  m B vB  m A v A
 vo 
P
Fa
m B vB  m A vA 1400  4.6  1100  3.9

 7.6 m S
mB
1400
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Urto centrale elastico-bersaglio mobile
•
•
In questo caso sia la velocità della particella 1 che quella
della particella 2 sono dirette lungo la congiungente le due
particelle.
Considerando le componenti delle velocità lungo l’asse x:
m1v1x  m2 v2x  m1v' 1x m2 v' 2x
1
1
1
1
m1v21x  m 2 v22 x  m1v' 21x  m 2 v' 22x
2
2
2
2
•
Urto centrale
v1
v2
x
P1i  P2 i  P1f mP22 f
m1
m 1v1x  v' 1x   m 2 v' 2x v 2x 



2
m 1 v1x
 v' 21x  m 2 v' 22x v 22x

Operando come nel caso precedente, dividendo membro a membro la
seconda per la prima si perviene al seguente risultato:
v' 1x  v1x
m1  m 2
2m 2
 v2 x
m1  m 2
m1  m2
v' 2 x  v1x
2m1
m  m1
 v2 x 2
m1  m2
m1  m 2
•
Se le particelle hanno la stessa
massa, nell’urto si scambiano le
velocità
m1  m2
v' 1x  v2 x

v' 2 x  v1x
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
•
Un blocco di massa m1=2.0 kg scivola su di un pinao privo di attrito alla
velocità di 10 m/s. Davanti a questo blocco, sulla stessa linea e nello stesso
verso, si muove a 3.0 m/s un secondo blocco, di massa m2=5.0kg. Una molla
priva di massa , con costante elastica k=1120 N/m, è attacata sul retro di m2.
Qual è la massima compressione della molla quando i due blocchi si urtano?
Quali sono le velocità finale dei due corpi dopo l’urto.
•
•
•
–
–
–
–
Applic
azione
Quando la molla è alla sua
massima compressione i due
blocchi sono fermi uno rispetto
all’altro
Prima della massima compresione si sono avvicinati
Successivamente si allontanano
La velocità comune dei due blocchi sarà uguale a quella del centro di massa
Poiché la quantità di moto si conserva, anche la velocità del centro di massa sarà
uguale a quella iniziale:
m v  m 2 v2 2.0  10  5.0  3 35.0
v' 1  v' 2  vCM  1 1


 5ms
m1  m2
7.0
7.0
– La differenza tra l’energia cinetica iniziale e quella finale è
immagazzinata come compressione della molla
m1v12  m2 v 22  m1  m2 v 2CM
1
1
1
1
x 
m1v21  m 2v 22  m1  m 2 v2CM  k x 2
k
2
2
2
2
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
•
•
•
Un blocco di massa m1=2.0 kg scivola su di un pinao privo di attrito alla
velocità di 10 m/s. Davanti a questo blocco, sulla stessa linea e nello stesso
verso, si muove a 3.0 m/s un secondo blocco, di massa m2=5.0kg. Una molla
priva di massa , con costante elastica k=1120 N/m, è attacata sul retro di m2.
Qual è la massima compressione della molla quando i due blocchi si urtano?
Quali sono le velocità finale dei due corpi dopo l’urto.
Applic
azione
– Da cui
x 
m1v12  m2 v 22  m1  m2 v 2CM
k
x 
2  100  5  9  7  25
70
1
1


  .25m
1120
1120
16 4
– Utilizzando le espressioni per l’uro centrale elastico:
v' 1x  v1x
v' 2 x  v1x
m1  m 2
2m 2
3
10
 v 2x
 10
 3.0
 0 ms
m1  m 2
m1  m 2
7
7
2m 1
m  m1
4
3 49
 v 2x 2
 10  3.0 
 7ms
m1  m 2
m1  m 2
7
7
7
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03