A Walter Cosimo Risolo Mmatematica Copyright © MMXI ARACNE editrice S.r.l. www.aracneeditrice.it [email protected] via Raffaele Garofalo, /A–B Roma () ISBN –––– I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell’Editore. I edizione: settembre A mia moglie Anna Maria Alle nostre figlie Benedetta e Margherita A mio padre Umberto Un ringraziamento particolare alla piccola Matilde per un contributo alla grafica di copertina Indice Note per i lettori Introduzione Livello . Insiemi . Rappresentazione di Venn, – . Operazioni con gli insiemi, – .. Intersezione, – .. Unione, – .. Complementare, – . Sottoinsiemi, – . Relazioni, applicazioni, mappe, – . Applicazioni, – . Relazioni, iniettive, surjettive, biettive, – . Corrispondenze biunivoche, – ... d’equivalenza, – .... equipotenza, – .... il numero, – ... Classe di equivalenza, – ... d’ordine, – ... proprietà delle relazioni, – .... transitiva, – .... simmetrica, – .... riflessiva, – . Prodotto cartesiano, – . Assi e coordinate, – . Vettori, – . Quoziente, – . Composizione, – . Strutture, – ... Monòide, – ... Gruppo, – . Spazi vettoriali, – ... Operatori matrici, – ... Basi, . . I Numeri . I Naturali, – . I Relativi, – . I Razionali, – . Radici e logaritmi, – . I numeri reali, – . I numeri complessi, . . Sistemi di numerazione . Numerazioni binarie, esadecimali, – . Conversioni di base, – . Aritmetica binaria, . Mmatematica . Monòmi . Operazioni, – . Mcd e mcm, – . Monomi a una sola variabile, – . Potenze, triangolo di Tartaglia, – . Prodotti notevoli, . . Più variabili Scomposizione . Divisioni tra polinomi, – . Procedure ed algoritmi, – . Diagrammi di flusso, – . Divisione con Ruffini, . . Permutazioni . Il fattoriale, – . Le probabilità, . . Disposizioni . Informazioni e bit, . . Combinazioni . Il binomio di Newton, . Livello . Identità ed equazioni . Equazioni con una incognita, – . Trasformazioni equivalenti, – . Equazioni primo grado, . . Equazione della retta . Pendenza, intercetta, rette parallele, – . Retta per due punti, – . Rette perpendicolari, – . Fascio proprio e improprio, – . Equazione segmentaria, – . Discussione, – - Metodo grafico di risoluzione, – . Sistemi di due equazioni, – . Metodi di soluzione, – . Determinanti, . . Radicali . Operazioni +, −, ×, :, mci, razionalizzazione, – . Radicali doppi, . Indice . Equazioni di º grado . Regola di Cartesio, Radici, – . Formula completa, – . Biquadratiche, – . Reciproche, – . Irrazionali, . . Progressioni geometriche e aritmetiche . Potenze ad esponente reale, grafici, equazione esponenziale . Logaritmi, – ... Decibel, . Livello . Disequazioni . Disuguaglianze, – . Disequazioni intere, razionali, fratte, – . Disequazioni di º e º grado, – . Sistemi di disequazioni, . . Coniche . Distanze, – . Luoghi geometrici, – . Punto medio, – . Intorni circolari, – . Circonferenza, – . Distanza pitagorica, – . Sfera, – . Trasformazione di coordinate: le traslazioni, – . Ellisse, – . Parabola, – . Iperbole, . . equazioni con parametri, discussione Livello . Trigonometrìa . Angoli, – . Definizioni seno, coseno e derivati, – . Formule addizione, – . Funzioni pari e dispari, simmetrie, – . Sottrazione duplicazione bisezione prostaferesi Werner, – . Angoli particolari, teorema dei seni e Carnot, – . Funzioni trigonometriche inverse, – . Trasformazioni di coordinate: le rotazioni, – . Numeri grandi e piccoli, ordini di grandezza, . . Funzioni . Campo di esistenza, – . Limiti, forme indeterminate, – . Infiniti e infinitesimi e loro ordine, – . Numeri graduati, – . Mmatematica Limiti notevoli: seno ed esponenziale, – . Funzioni monotòne, – . Funzioni continue e discontinue, – . Successioni, – . Funzioni composte, – . Funzione inversa, – . Funzioni polinomiali, – . Massimi e minimi, . . Derivate . Rapporto incrementale, – . Derivata come operatore lineare, – . Derivata grafica, – . Teoremi, – . Derivate di funzioni elementari, – . Regole: somma, potenza, prodotto, rapporto, composizione, inversa, – . Differenziale di una funzione, – . Teorema di l’Hospital, – . Approssimazione delle funzioni, – . Derivate successive, . Livello . Sviluppi in serie di Mc Laurin di seno, coseno, esponenziale . Le funzioni iperboliche, – . Le formule di Eulero, . . Operazioni con i numeri complessi . Visualizzazione vettoriale sul piano di Gauss, – . Modulo e fase: forma polare, – . Coniugato, potenze e radici, . . Derivate: esistenza . Derivata prima: massimi e minimi, – . Derivata seconda e curvatura, cerchio osculatore, – . Flessi, – . Teoremi di Rolle, Lagrange, – . Asintoti, – . Esempi di studio di funzioni, . . Il calcolo delle aree . Integrali come equazioni differenziali, – . Integrale come operatore inverso, – . Funzioni primitive, – . Integrali definiti, indefiniti, – . Integrazione per sostituzione, per parti, . Livello Indice . Decomposizione in fratti semplici . Metodo del sistema e dei residui, – . Valor medio, area, volume di rotazione, – . Distanza tra funzioni, – . Funzioni periodiche, – . Funzioni ortogonali, prodotto scalare, . . Sviluppo in serie di Fourier . Trasformata di Fourier, – . La Delta di Dirac e le distribuzioni, . . La frequenza generalizzata e la trasformata di Laplace . Regole di trasformazione, – . Integrazione e derivazione con Laplace, – . Funzioni tipo e loro trasformate, – . Prodotto alla Cauchy, prodotto integrale — Faltung — Convoluzione, – . Antitrasformate di Laplace, – . Esempi, . . Le equazioni differenziali . Esempi fisici, – . Evoluzioni libere e forzate, . Note per i lettori Punto ) Noterete subito che ci sono un po’ di accenti sulle parole, sia quelle usuàli che su quelle inusuàli. A volte non sappiamo come pronunciare parole nuove, e se nessuno ce lo dice continuiamo a pronunciarle nel modo sbagliato, come è successo anche a me. Punto ) Ho cercato di spiegare i concetti con un tempo (cioè numero di pagine) proporzionale alla loro difficoltà. Quelli più bravi non me ne vògliano (vale anche per il punto ) se trovano qualche riga supèrflua o qualche spiegazione ovvia e “inutile”: per loro è facile saltare o leggere velocemente quelle righe, mi importa invece che i lettori “meno smaliziati” riescano a trovare tutte le indicazioni giuste per raggiungere anche loro la soluzione. Punto ) Io ho letto il mio libro, e non ho trovato nessun errore (!!). Chissà invece quanti errori non ho visto, sia grammaticali, logici, concettuali, matematici: aspetto (con anzia!) le vostre e-mail per sapere questa. . . verità! Punto ) Il simbolo “·” è quello della moltiplicazione, che normalmente non è usato (es.: 3x non si scrive 3 · x), ma in alcuni casi aumenta la chiarezza di lettura. Punto ) Il simbolo ?? è stato messo al posto di un numero che non si conosce. Un’incognita dunque. Mmatematica Punto ) In questo libro ho cercato di introdurre il concetto di “enumerabilità del sapere” ovvero di dare ad ogni pezzetto del mosaico dello scibile umano (in questo caso la matematica) un’identificazione univoca come una “targa”, un numero telefonico. Il codice che ho scelto è “MATE” e gli argomenti sono numerati. I sotto argomenti sono numerati con un punto e così via. Ad esempio l’argomento “MATE..” identifica il º argomento della “branca” matematica e il º sotto argomento (approfondimento). Si potrebbero secondo me numerare tutti gli argomenti scientifici e non solo, permettendone una facile collocazione, evitando ripetizioni e sovrapposizioni, insomma ad ognuno il proprio cassetto. Il codice “MATE.” invece è l’argomento generale (padre e figli in un collegamento “ad albero”). Mi sono accorto però nella stesura di questo libro che gli argomenti hanno un ambito e la cronologia ne ha un altro. Mi spiego: argomenti di un certo filone, ad esempio la geometria analitica, non possono essere spiegati senza aver spiegato altri argomenti ad essi propedeutici, quindi la parte discorsiva e cronologica va a colmare argomenti “in ordine sparso” a seconda di quello che serve per seguire un filo logico. Per farla breve ho usato per ogni argomento un doppio indice: la pagina (ordine cronologico) e il codice “MATE” (ordine logico) per la classificazione “sistematica”. Email Sarò particolarmente felice di chiacchierare per email walter.risolo@ gmail.com con tutti i miei lettori su qualsiasi argomento. . . mmatematico. Oddio! Mi tocca leggere anche l’ Introduzione Ciao, mi chiamo Walter, e tu?, sei solo un “curiosatóre” di libreria o hai proprio intenzione di leggere questo libro? Be’, allora probabilmente sei un ragazzo o una ragazza che ha appena finito la terza media e pensi di essere un genio e di stupire i tuoi compagni, oppure fai le superiori o il primo anno di università, o addirittura sei un ragazzo grande con famiglia e figli, che ha un debito con la matematica, che ha sempre sospettato che dietro le brute formule e interrogazioni dei tempi del liceo vi fosse un’anima, una bellezza interna della matematica, non facilmente comunicabile, ma forse non impossibile! Vedete, io la matematica non l’ho mai studiata veramente, dico “veramente”, ovvero facendosi il classico “sedere quadrato”, ma l’ho sempre ragionata. Ecco perché mi piace e mi sembra molto semplice. Più che altro “serve”! I libri di matematica a volte sono loro stessi tediosi e i prof. a volte. . . lasciamo perdere, sono anch’io un prof. e non voglio tirar giù la categoria come Sansone e tutti i filistei! Insomma ho notato una cosa: quando un matematico, per esempio Pitagora, o Levi Civita, per essere più contemporanei, trovava una legge pratica allora ci ragionava su, pensava pensava e alla fine tirava giù una bellissima teoria matematica. Quando poi scriveva il suo bello ed elegante trattato di matematica, partiva generalmente dall’astratta teoria, bella come la forma senza la materia, insomma terribilmente complicata e per aria!! Diceva Einstein: “ve lo immaginate lo spazio vuoto ?” “non provate forse un senso di disagio a immaginare qualcosa di immateriale come il vuoto?” e poi giù a inventare la teoria della relatività. E allora perché il matematico, quando pensa (e quindi si diverte), lui parte da osservazioni e spunti pratici, da esempi, per formulare poi una teoria tanto bella quanto immateriale nella quale quei casi pratici Mmatematica ovviamente ci calzano bene, ma quanto ha reso difficile la vita agli altri! La matematica dovrebbero saperla tutti, ma tutta fino in fondo, fino ai massimi argomenti! E questo vale specialmente per quelli che, fisici, ingegneri, ecc, devono poi applicarla. Conoscere la matematica è come scalare una vetta: tanta fatica, ma poi che splendore! E si vorrebbe che tutti gli altri vedessero le stesse cose dall’alto, perché loro, quelli che hanno rinunciato alla scalata, non sanno cosa si perdono! Non ditemi che siete arrivati fin qui, quasi alla fine di questa introduzione, ma come, non era la vostra pecora nera la matematica? Ah, ho capito: finora non ho ancora parlato di una formula e quindi finora vi sembra quasi di leggere uno di quei riposanti romanzetti da ombrellone. . . però forse avete capito una cosa, cioè perché mi son deciso a scrivere questo libro. Giuro di non prendervi mai in giro (be’. . . a quelli che vogliono continuare a leggerlo) cioè non vi imbroglierò facendovi vedere le cose più semplici di quello che sono, perché non sarebbe onesto, ma vi prometto (e spero di riuscirci) di non complicarvi mai le cose più del necessario, proprio perché penso che gli argomenti siano: semplici, naturali, progressivi, e soprattutto non rigirerò mai la frittata per sentirmi più importante: prima l’esempietto facile banale pratico numerico, insomma 1 + 1 = 2, e poi vi insegnerò una strada, quella per complicare le cose, a questo punto i matematici sarete voi, quelli che hanno gusto e vogliono complicarsi la vita da soli, intravedendo la bellezza del seguito. Penso che la matematica sia come una bella moglie: più la si contempla e più si vorrebbe nasconderla alla vista degli altri: matematico geloso! Come è fatto questo libro?: ci sono tutti gli argomenti dal primo superiore all’ultimo anno diciamo di liceo o di istituto tecnico. Insomma tutti ma proprio tutti gli argomenti, senza buchi, in poche pagine. Non ci sono esercizi, ma se capite bene l’argomento ne trovate a iosa, magari sui vostri vecchi libri di liceo, o se volete sul mio sito web. Questo libretto parte da un’idea esemplificativa della matematica: esemplificativa e non semplificativa, ovvero basata sull’esempio. Cosa vuol dire? Avete imparato a nuotare? Siete forse ottimi nuotatori, potete andare in alto mare o sott’acqua o godervi la costa da lontano? Bene! Un giorno lontano voi imparavate a stare in acqua, ogni tanto . Introduzione tiravate su i piedi e galleggiavate, ma vicino a voi c’era sempre un fondale “appiedabile” oppure un salvagente, una barca, un amico. . . insomma: un esempio. Più siete diventati bravi più vi allontanavate dal vostro esempio, ma lui era sempre il vostro riferimento per vincere la paura. Il mare della matematica ha bisogno di queste àncore di salvezza (forse era meglio dire “boe”?) che tràcciano la strada e con sicurezza vi portano lontano. Pensate ancora di proseguire la lettura e girare pagina? Per oggi basta libri o basta per sempre?? (momento di suspence per l’autore. . . ) Mmatematica Avete girato pagina? Allora le intenzioni sembrano serie, almeno per ora. Be’ allora non devo deludervi, entriamo subito nel primo capitolo.
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