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q
Esperienze per gli studenti delle scuole superiori
La luce: onde o particelle?
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I.Newton (1642-1727)
– Inventa il primo telescopio a riflessione
– Sostiene la natura corpuscolare della luce
(e luce di diverso colore è composta da
particelle di natura diversa)
• Lectiones opticae (1669)
• Basi sperimentali:
– La luce si propaga in linea retta
– Gli ostacoli bloccano la luce
Diffrazione … 2
La luce: onde o particelle?
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C.Huygens (1629-1695)
– Costruisce il più potente telescopio
dell’epoca
– Scopre l’anello di Saturno
– Sostiene la natura ondulatoria della luce
• Basi sperimentali:
– Scarse all’epoca
– Principio di Huygens
• Traité de la lumiére (1690)
• Ogni punto del fronte d’onda può essere
considerato a sua volta sorgente di un’onda
sferica
Diffrazione … 3
La luce: onde o particelle?
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 Diffrazione e Interferenza:
– Per ostacoli opachi estremamente piccoli o
fenditure molto strette (paragonabili a l)
– Crisi del modello corpuscolare
 A.Fresnel (1788-1827)
– Spiega il fenomeno della diffrazione basandosi
sul principio di Huygens (prima della teoria
dell’elettromagnetismo di Maxwell)
 Dunque: la luce è costituita da onde!
 Ma anche da particelle!
 La meccanica quantistica metterà d’accordo
i due aspetti (1900)
Diffrazione … 4
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Cosa è un’onda?
Come la caratterizzo?
Un’onda è una perturbazione che si
propaga
Ha una:
lunghezza
d’onda l
ampiezza
Diffrazione … 5
Effetti di diffrazione
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Qualsiasi tipo di onda
– Onda d’urto in un liquido
– Onda d’urto (acustica) in un gas
– Elettromagnetica
– particelle…?
Subisce effetti di diffrazione
Condizione necessaria:
l ~ d (dimensione ostacolo)
Diffrazione … 6
Diffrazione delle onde
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Vediamo cosa succede quando facciamo
passare un’onda piana attraverso una fenditura
d
l
3
2
1
d>>l
4
5
d~l
d>l
ondoscopio
6
d<l
Diffrazione … 7
Diffrazione delle onde
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d<<l
Quando d<<l la fenditura si comporta come una
sorgente puntiforme di onde (principio di Huygens)
Diffrazione … 8
Grafico dell’intensità
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diminuendo la fenditura d…
d>>l
2
4
d~l
5
3
d>l
6
d<l
Notare:
1) Il picco nella 2 è molto stretto, con piccoli lobi ai lati, ma l’intensità è elevata
2) Il picco si abbassa mano mano che la fenditura si stringe – l’intensità viene
distribuita su un angolo più grande
3) I lobi tendono a scomparire (diffusione da un solo punto)
Diffrazione … 9
Onde elettromagnetiche
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 Il campo elettromagnetico nello spazio
libero può essere rappresentato da un’onda
in movimento con velocità c (c= 3•105 Km/s).
 La lunghezza d’onda è caratteristica del tipo
di radiazione:
l
~ 10 m
~ 1 cm
~ 1 mm
~ 600 nm
~ 200 nm
Radiazione
onde radio
microonde
infrarosso
visibile
UV
Diffrazione … 10
Onde elettromagnetiche
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 Cerchiamo di visualizzare il campo elettromagnetico che si propaga nello spazio.
 E’ un’onda di tipo sinusoidale.
– La propagazione è perpendicolare all’oscillazione
Diffrazione … 11
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La figura di diffrazione
prodotta da una fenditura
 Premesse:
– La luce che arriva sulla fenditura proviene da lontano
(onda piana)
– Lo schermo sul quale visualizziamo l’intensità si trova
lontano dalla fenditura (raggi paralleli)
La luce che
proviene da
– l ~ larghezza fenditura d
Principio di Huygens:
Ogni punto è sorgente di onde
punti diversi
della fenditura
percorre
cammini diversi
per aggiungere
lo schermo,
dove
interferisce :
vedremo
massimi e
minimi sullo
schermo
Diffrazione … 12
Interferenza delle onde:
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Cosa succede quando sommo due onde con una differenza di
fase costante:
Constructive
and Destructive
Interference
Interferenza
costruttiva e
distruttiva
Due onde arrivano nello
stesso punto dello spazio:
Two waves (top
L’onda totale risultante sarà
and middle) arrive
la somma delle due
onde.
at the
same point in
space.
Come possiamo vedere dalla
figura le due onde
possono
The
total wave
sommarsi e originare
unais the
amplitude
of the two
onda di maggior sum
ampiezza
waves.
(interferenza costruttiva)
Differenza = l/2
The waves can add
constructively or
destructively
oppure elidersi a vicenda
(interferenza distruttiva)
Diffrazione … 13
Somme su tutti i raggi
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• Per il principio di Huygens dovremo considerare tutti i punti
interni alla fenditura come origini di onde
• Per ottenere l’intensità sullo schermo dovremo sommare su
tutti i raggi provenienti dai punti interni della fenditura
z
schermo
z
•A grandi distanze (schermo lontano) trascuriamo le differenze
dovute al diverso angolo di incidenza sullo schermo
•Consideriamo solo le differenze nel cammino iniziale
Diffrazione … 14
Differenza di cammino ottico
Guardo la luce sullo schermo per un angolo q :
Ad esempio i raggi che colpiscono lo schermo
provenienti dai due estremi della fenditura hanno una
differenza di cammino ottico pari a
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d sinq
schermo
q
q
d
d sinq
Diffrazione … 15
Differenza di cammino ottico
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Per lo stesso motivo raggi che provengono da due
punti interni alla fenditura, distanti d/2 presentano
una Differenza di cammino ottico parischermo
a
(d/2) sinq
(d/2) sinq
q
d
Osservato ciò possiamo proseguire
Diffrazione … 16
Somme su tutti i raggi
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d
2
d
d
2
Divido la
fenditura in 2
parti uguali :
per l’angolo q
q
q
q
d
sin q
2
d
l
sin  
2
2
Quando
I raggi 1 e 1
Interferiscono distruttivamente.
I raggi 2 2 provengono da due punti distanti d/2 e hanno la
stessa differenza di cammino della coppia 1 1’.
Quando d/2 sin q= l/2 ogni raggio che proviene dalla metà superiore della
fenditura interferisce distruttivamente con l’analogo distante d/2
proveniente dalla metà inferiore
Diffrazione … 17
Cioè
Interferenza distruttiva
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(d/2) sinq
d
q
• Differenza di cammino ottico: (d/2) sinq
schermo
• Interferenza distruttiva
(d/2) sinq =l/2
d sinq =l
sinq =l/d
I RISULTATO
Diffrazione … 18
Proseguo la somma dei raggi…
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q
d
4
d
Divido la
fenditura in 4
parti uguali
d
4
d
senq
4
d
l
sin  
4
2
Quando
I raggi 1 e 1
Interferiscono distruttivamente.
I Raggi 2 e 2’ che partono da due punti distanti d/4 hanno
la stessa differenza di cammino della coppia 1 e 1’.
Quando d/4 sin q= l/2 ogni raggio che si origina nel primo quarto
della fenditura interferisce distruttivamente con il raggio che si
origina simmetricamente nel secondo quarto
Diffrazione … 19
Posizione dei minimi
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(d/4) sinq
d
q
schermo
Quindi il secondo minimo lo vedrò in corrispondenza di
(d/4) sinq =l/2
d sinq =2l
sinq =2l/d
II RISULTATO
Diffrazione … 20
Posizione dei minimi
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Generalizzando questa procedura posso immaginare di sommare a
coppie i contributi di tutti i raggi luminosi
Raggi che provengono da due punti interni alla fenditura distanti
d/2n hanno una differenza di cammino ottico pari a
(d/2n) sinq e mi danno un minimo se
d
l
senq 
2n
2
L’intensità avrà minimi per
sinq = n l /d cioè
d sinq =l, oppure 2l, oppure 3l, oppure 4l.......
Diffrazione … 21
Calcolo analitico dell’intensità
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Applichiamo il principio di Huygens
• Campo nel punto P: somma dei contributi
provenienti da tutti i punti della fenditura
• Contributo di un segmento dy della fenditura:
A

dE  cos(t  r )dy
r
c
P
r
ro
dy
d
q
y
Diffrazione … 22
Calcolo analitico dell’intensità
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Uso la geometria
• Ma r ≈ ro – y sinq dove ro è la distanza dal punto medio della
fenditura
• Nel denominatore poniamo r ≈ ro
A


dE  cos(t  r  y sin q )dy
r
c
c
o
o
P
r
ro
dy
d
q
y
Diffrazione … 23
Calcolo analitico dell’intensità
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• Calcoliamo il campo elettrico derivato da
tutti i raggi, spostandoci lungo la fenditura:
A


E   dEi   cos(t  ro  y sin q i )dy
ro
c
c
• Se infittiamo i punti delle somme possiamo
definire l’integrale:
a
E
2

a
2
A


cos(t  ro  y sin q)dy
ro
c
c
Diffrazione … 24
Calcolo analitico dell’intensità
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• Il risultato dell’integrale definito è:
E
A
1

a

a


sin(

t

r

sin
q
)

sin(

t

r

sin
q
)
o
o

ro ( / c ) sin q 
c
2c
c
2c

• Sfruttando l’identità trigonometrica:


sin   sin   2 cos
sin
2
2
• otteniamo:
E
2A

a


cos(

t

r
)
sin(
sin
q
)
o

ro ( / c ) sin q 
c
2c

Diffrazione … 25
Calcolo analitico dell’intensità
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• L’intensità della luce è pari al valor
medio E2 su un periodo:


2A

E 2  
 ro ( / c ) sin q 
2

a


cos(

t

r
)
sin(
sin
q
)
o


c
2c


2
• L’integrale sul periodo trasforma il
fattore cos(t-c/r) in una costante.
Diffrazione … 26
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Calcolo analitico dell’intensità
Risultato
• Intensità = E2:
1 sin 2 ( d / l sin q)
I 2
ro
sin 2 q
• Ovvero
2
sin x
I  Io
2
x
• con
x  d / l senq 
Diffrazione … 27
INFM
Grafico dell’intensità sullo
schermo
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Sin x 2
x 2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
x Pi
-3
-2
-1
1
2
3
2
sin x
f ( x) 
2
x
Diffrazione … 28
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Fattori che determinano la
posizione dei minimi
La funzione
2
sin x
f ( x) 
x2
Ha minimi per x= ±, ± 2, ± 3...
Ovvero essendo
x  d / l senq 
per
d sin  l ,2l ,3l .....
Diffrazione … 29
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 Quindi il calcolo analitico ci fornisce una relazione
per trovare la posizione dei minimi sullo schermo
uguale a quella che abbiamo determinato in base al
ragionamento sulle differenze di cammino ottico
 Il calcolo analitico però non ci fornisce solo la
posizione dei minimi ma anche l’andamento
dell’intensità luminosa sullo schermo (la figura di
diffrazione)
Diffrazione … 30
Fattori che determinano la
posizione dei minimi
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1.
d
Sin x d 2
0.5
0.380435
x d 2
d
d= 0.38
0.3
d= 1
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
-5
0.0913043
5
d
Sin x d 2
0.5
10
x
-10
-5
5
0.05
x d 2
d= 0.091
x
x d 2
d= 0.05
0.2
0.1
0.1
-5
Sin x d 2
0.5
0.3
0.3
-10
d
10
0.4
0.4
0.2
x d 2
0.4
0.4
-10
Sin x d 2
0.5
5
10
x
-10
-5
5
10
x
d sin  l ,2l ,3l .....
Diffrazione … 31
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figura di diffrazione
Diffrazione … 32
E per una fenditura circolare…
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(1)
(2)
(3)
(4)
Diffrazione … 33
Diffrazione nei cristalli
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Anche nei cristalli, si ha un fenomeno
simile
– Atomi: centri diffusori
-8
– Distanze d ~ 1 Å (10 cm)
– l - Raggi X
Diffrazione … 34
Diffrazione di elettroni
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 Anche gli elettroni si comportano come
onde!
 La lunghezza d’onda è data dalla relazione
di De Broglie:
h
h
l 
p
2mE
 si possono ottenere effetti di diffrazione
anche con le particelle materiali!
– Energie di qualche eV : l > alcuni Å
 Meccanica quantistica
– Atomi: centri diffusori
Diffrazione … 35
Diffrazione di elettroni
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“Recinto quantistico” ovvero trappola per elettroni
realizzata all’IBM di Almaden (CA)
da 48 atomi di Fe disposti in cerchio tramite la punta STM.
La punta e’ stata poi utilizzata per ottenere l’immagine
Diffrazione … 36
In Pratica…
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I ESPERIENZA: STUDIARE LA FIGURA DI DIFFRAZIONE E
MISURARE LA LUNGHEZZA D’ONDA DELLA LUCE

1.
2.
3.
Materiale in dotazione:
Banco ottico con tre cavalieri.
Laser a semiconduttore
Fenditure rettangolari e circolari di diversa ampiezza
(0.2 - 0.4 mm)
4.
5.
6.
7.
Rivelatore a stato solido montato su guida xy
Voltmetro digitale.
Metro.
Resistenza R > 1 M.
Laser
Fenditura
Rivelatore
Diffrazione … 37
In Pratica…
x
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INFM
y
Laser
Fenditura
Rivelatore
L
 Allineare il laser e la fenditura rettangolare: controllare che la
figura di diffrazione sia presente. Posizionare il centro del
rivelatore sul massimo centrale della figura di diffrazione
 Muovendo il rivelatore verticalmente e orizzontalmente,
cercare il punto in cui il voltmetro restituisce il valore più alto:
a questo punto l’allineamento è soddisfacente e si può
procedere alla misura vera e propria.
 Misurare le distanza L tra la fenditura e il rivelatore.
Diffrazione … 38
In Pratica…
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INFM
x
y
Laser
Fenditura
Rivelatore
L
 Spostando orizzontalmente il rivelatore, riportare in una
tabella il valore dell’intensità in funzione dello spostamento
(l’intensità della luce è proporzionale al segnale di tensione
erogato dal rivelatore e misurato con il voltmetro).
 Individuare i primi massimi e minimi di intensità e annotarne i
relativi spostamenti.
Diffrazione … 39
In Pratica…
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INFM
 Dalla misura dell’intensità della figura di diffrazione
in funzione della posizione y del rivelatore, si ottiene
una tabella
Intensità (in V) –Y (in mm)
Intensità
0.25
0.2
n=1
0.15
0.1
n=2
0.05
-0.01
-0.005
0.005
0.01
y L
 Dalla tabella ottenuta si ricaverà il grafico della funzione di
diffrazione
Diffrazione … 40
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INFM
Noto L, distanza fra schermo e fenditura, possiamo calcolare
l’angolo a cui corrispondono i diversi valori di Y per i quali
osserviamo un minimo:
schermo
Y
d
q
L
Y
sin  tanq 
L
Quindi mi creo una tabella Y/L in funzione dell’ordine del
minimo n (primo minimo n=1, secondo minimo n= 2 etc)
Diffrazione … 41
In Pratica…
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INFM
 Grafico dei minimi in funzione di n (numero del minimo a
partire dal massimo centrale):
minimi in funzione di n
0,3
0,2
y/L= (l/d)*n
coeff. angolare della retta = l/d
sin   
0,1
y/L
l
d
,2
l
l
,3 .....
d
d
0,0
Minimi
-0,1
-0,2
-0,3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
n
 Da questo grafico si può ottenere il coefficiente angolare della
retta, pari a l/d, e quindi ricavare l.
Diffrazione … 42
In Pratica…
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 II esperienza: fenditura circolare
 Montare l’esperimento seguendo le indicazioni della I
esperienza, utilizzando però una fenditura circolare di
diametro incognito
Riportare in un grafico la figura di diffrazione (è sufficiente
individuare il primo massimo secondario)
Dalla relazione per la fenditura circolare
l
sin   1.22
d
Calcolare il diametro della fenditura, utilizzando per il valore della
lunghezza d’onda misurato precedentemente
Diffrazione … 43
Per chi vuol saperne di più
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Applet sulla diffrazione
WEBLAB: http://ww2.unime.it/dipart/i_fismed/wbt/
ZITO: http://www.ba.infn.it/www/didattica.html
Olympus: http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/diffraction/index.html
Testi di riferimento:
Feynman-Leighton- Sands La fisica di Feynman Addison Wesley cap 28-29
C.Mencuccini – V.Silvestrini Fisica II Liguori editore. Pag. 560. par. X.10.1
D.Halliday-R.Resnik-J.Walker Fondamenti di Fisica. II cap 36. III par 39.5.
Diffrazione … 44