Le macchine termiche
•
•
•
Il primo principio ci offre la possibilità di trasformare
energia interna, calore in lavoro meccanico
Le macchine che realizzano queste trasformazioni di
chiamano “macchine termiche”
esempi di macchine termiche:
– Il motore dell’automobile
– Le vecchie locomotive a vapore
•
Gli stessi principi vengono utilizzate dai
– Frigoriferi, condizionatori, pompe di calore
•
•
•
•
•
•
P
Pi
i
f
Pf

Vi
DU = 0
Vf
V
Q=W
Una espansione isoterma trasforma tutto il calore assorbito dal serbatoio
di calore a temperatura T in lavoro meccanico
Una volta raggiunta la pressione atmosferica l’espansione si arresta
Così anche la produzione di lavoro
Occorre riportare il sistema al punto di partenza e ripetere l’espansione
La macchina termica deve operare su un ciclo
Perché ci sia una reale produzione di lavoro occorre far tornare indietro il
sistema lungo una isoterma a temperatura più bassa
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Rendimento di una macchina termica
•
Se ritorno indietro lungo una isoterma a temperatura
più bassa,
– il lavoro da effettuare, area in rosa, per riportare il
sistema nello stato iniziale è più piccolo di quello
ottenuto nella prima fase
– Nel ciclo si ottiene una produzione netta, positiva, di
lavoro del sistema sull’ambiente esterno
P
Pi
i
h
Pf
DU  Q  W
DUii  0  W  Q
f
• Il lavoro è rappresentato dall’area racchiusa dal ciclo
g
• Se il ciclo viene percorso in verso orario, come è il caso
Vi
Vf
descritto, il lavoro è positivo (il sistema fa lavoro
sull’esterno)
• Se il ciclo viene percorso in verso antiorario, il lavoro è negativo, allora è l’ambiente esterno
ad effettuare un lavoro sul sistema
•
•
•
•

V
Si osservi che sulla isoterma if il sistema assorbe un calore Q pari al lavoro
effettuato (area sotto la trasformazione, grigia)
Nella isoterma gh il calore è negativo, viene ceduto dal sistema all’ambiente
esterno
Lungo le isocore in una il calore viene assorbito (hi) nell’altra viene ceduto (gf).
W
Si definisce rendimento di una macchina termica il rapporto tra

Q ass
il lavoro prodotto nel ciclo e il calore comunque assorbito nel ciclo:
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Macchine termiche che lavorano tra due
serbatoi
DU  Q  W
•
•
•
•
•
Le macchine termiche sono sistemi termodinamici che
descrivono un ciclo
C’è una parte del ciclo in cui il sistema assorbe calore da
uno o più serbatoi presenti nell’ambiente esterno
C’è un’altra parte del ciclo in cui il sistema cede calore ad
uno o più serbatoi presenti nell’ambiente esterno
Nel ciclo il sistema esegue un lavoro netto positivo
W
sull’ambiente esterno

Q ass
DUii  0  W  Q
W
Un caso particolare di macchina termica è quella che lavora
tra due serbatoi
– Schematizzabile come nella figura a lato
– La macchina assorbe calore Q1 dal serbatoio a temperatura
più elevata T1
– Cede il calore Q2 al serbatoio a temperatura inferiore T2
– Produce il lavoro W
•
Il rendimento della macchina è dato da

W
Q1

Q1  Q2
Q
1  2
Q1
Q1
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La macchina e il ciclo di Carnot
•
•
La macchina di Carnot è una macchina reversibile che opera
con due soli serbatoi di calore
Il ciclo è costituito da
– due isoterme (alle temperature T1 e T2)
– e da due adiabatiche (è l’unica trasformazione reversibile che
non richiede ulteriori serbatoi di calore)
– Nella figura è rappresentato il ciclo di Carnot percorso da un
gas perfetto
•
Scegliendo il punto b
dove far finire
l’espansione isoterma, si
può variare il lavoro
fatto dalla macchina in
un ciclo.
•
Tutte le macchine reversibili che operano con due
soli serbatoi di calore sono macchine di Carnot
Il ciclo può essere percorso da una qualsiasi
sostanza: gas perfetto, gas reale, acqua e vapor
d’acqua, freon, etc.
•
W
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Studio del ciclo di Carnot percorso da un
gas perfetto
DU  Q  W
•
Trasformazione ab - Espansione isoterma
– DU=0, Q1=Wab
– La trasformazione è reversibile: possiamo
suddividerla in tratti infinitesimi
– Il lavoro in ciascun tratto infinitesimo sarà:
dW=PdV
– Il lavoro complessivo

b

b
nRT1
Wab  PdV 
dV  nRT1
V
a
a
V
b
 nRT1lnV a  nRT1ln b
Va

b
a
dV

V
Va
Vb
– Dato che Vb è maggiore di Va (espansione) il lavoro è positivo
– Il calore Q1 è uguale al lavoro: è anch’esso positivo (calore assorbito)
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Studio del ciclo di Carnot percorso da un
gas perfetto
DU  Q  W
•
Trasformazione bc - Espansione adiabatica
– Qbc=0, DUbc =-Wbc
– La variazione di DU energia del gas perfetto
DUbc  nC V T2  T1 
– Dato che T2 è più piccolo di T1, DU <0
– Il lavoro W è maggiore di zero (il lavoro viene
fatto dal sistema sull’ambente esterno
Wbc  nC V T2  T1
•
Trasformazione cd - Compressione isoterma
– DU=0, Q2=Wcd
– Operando come sulla trasformazione ab, otteniamo
il lavoro complessivo
Va
Vd Vb
Wcd  nRT2 ln
– Dato che Vd è minore di Vc (compressione), il lavoro è negativo
– Il calore Q2 è uguale al lavoro: è anch’esso negativo (calore ceduto)
Vc
Vd
Vc
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Studio del ciclo di Carnot percorso da un
gas perfetto
DU  Q  W
•
Trasformazione da - Compressione adiabatica
– Qda=0, DUda =-Wda
– La variazione di DU energia del gas perfetto
DUda  nC V T1  T2 
– Dato che T2 è più piccolo di T1, DU >0
– Il lavoro W è minore di zero (il lavoro viene fatto
sul sistema dall’ambente esterno
Wda  nC V T1  T2 
•
•
•
Si osservi che Wda=-Wbc
Il lavoro complessivo svolto nel ciclo sarà:
W=Wab+Wbc+Wcd+Wda
W  nRT1ln
Vc
Vb
V
 nRT 2ln d
Va
Vc
Il calore assorbito nel ciclo è solo Q1=Wab
Q1  nRT1ln
•
Va
Vd Vb
Vb
Va
Il rendimento del ciclo di Carnot

W

Q1
Vb
V
V
 nRT 2ln d
ln d
Va
Vc
T2 Vc

1
V
T1 ln Vb
nRT1ln b
Va
Va
G.M. - Informatica
B-Automazione 2002/03
nRT1ln
Studio del ciclo di Carnot
percorso da un gas perfetto
Vb
V
V
 nRT 2ln d
ln d
W
Va
Vc
T2 Vc



1
V
Q1
T1 ln Vb
nRT1ln b
Va
Va
V
ln d
Vc
• Vogliamo far vedere che:
Vb  1
ln
Va
DU  Q  W
nRT1ln
ab isoterma
bc adiabatica
Pa Va  PbVb
PbVb  Pc Vc
cd isoterma
Pc Vc  PdVd
da adiabatica
PdVd  Pa Va
•
 1
1
Vc 
  
Vd 
Vb Vc

Va Vd
Vc
Moltiplicando tutti i primi membri
e tutti i secondi membri tra loro
PaVaPb Vb PcVcPdVd  PbVb PcVc Pd Vd Pa Va
VaVb VcVd  Vb Vc Vd Va
Vb 
 
Va 
Va
Vd Vb
Vb1Vd 1  Vc 1Va 1
  1
T2
T1
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Il frigorifero
•
•
•
Il ciclo di Carnot è un ciclo reversibile
Quindi può essere percorso all’indietro
Ma quando una trasformazione viene percorso al
contrario
–
–
–
–
•
Si invertono i segni degli scambi energetici
Sicuramente cambia segno DU
Ma anche W e Q
Quelle che erano le quantità assorbite diventano cedute e
viceversa
w
quindi la macchina di Carnot al contrario
– assorbe il lavoro W
– assorbe il calore Q2 dal serbatoio più freddo
– cede la quantità di calore Q1 al serbatoio più caldo
•
•
Abbiamo realizzato un frigorifero
Si definisce coefficiente di prestazione del frigorifero

Q2
Q2

W
Q1  Q2
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Il secondo principio della Termodinamica Enunciato di Kelvin-Plank
•
•
•
•
Le macchine termiche sono sistemi termodinamici che
descrivono un ciclo
C’è una parte del ciclo in cui il sistema assorbe calore da
uno o più serbatoi presenti nell’ambiente esterno
C’è un’altra parte del ciclo in cui il sistema cede calore ad
uno o più serbatoi presenti nell’ambiente esterno
Nel ciclo il sistema esegue un lavoro netto positivo
sull’ambiente esterno
W(=Q1)
• è impossibile realizzare un processo il cui unico risultato sia quello di
assorbire calore da un serbatoio e di convertirlo completamente in
lavoro.

Q1  Q2
Q
1  2 1
Q1
Q1
1
W
Macchina monoterma
Q1
Q1  0
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Il secondo principio della Termodinamica Enunciato di Clausius
• non è possibile realizzare un processo il cui unico risultato
sia quello di far passare del calore da un corpo più freddo ad
uno più caldo.
•
•
Il passaggio di calore da un corpo più freddo ad uno più caldo
deve essere sempre accompagnato da qualche altra modifica da
qualche altra parte nell’universo
Ossia c’è bisogno di un lavoro esterno
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Verifica dell’equivalenza tra le due
formulazioni
•
•
Si può vedere che violando una formulazione è violata anche l’altra
Supponiamo che esiste una macchina termica che riesca a
trasformare tutto il calore estratto da un serbatoio a temperatura T1 in
lavoro meccanico.
Posso usare questa macchina accoppiandola ad una macchina di
Carnot che facciamo lavorare come frigorifero
•
– Il lavoro prodotto dalla prima macchina viene utilizzato per far
funzionare il frigorifero
•
•
L’effetto cumulativo delle due
macchine è un frigorifero ideale che
preleva il calore Q2 dal serbatoio
più freddo e lo trasferisce a quello
più caldo senza richiedere alcun
lavoro dall’esterno
Questa macchina viola la seconda
formulazione del II principio
1
Q1
W
2
1
W Q'1
Q2
2
1
Q1
1
W= Q1
Q2
2
Q'1= Q2+ Q1
Q2
Q2
2
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Irreversibilità e II principio
•
•
Il secondo principio della termodinamica ci fa capire perché alcune
trasformazioni sono irreversibili
Prendiamo il passaggio di calore tra due corpi inizialmente a temperatura
differente:
– Il secondo principio ci impedisce di realizzare la condizione di partenza perché
bisogna trasferire del calore da un corpo più freddo ad uno più caldo è per fare
questo occorre produrre qualche altra modifica da qualche altra parte nell’universo
•
prendiamo un pendolo messo in oscillazione che dopo un po’ si ferma
perdendo la sua energia meccanica in energia interna dell’aria e dei corpi
interessati
– Per rispristinare la situazione iniziale occorrerebbe estrarre dall’aria e dai corpi
questa energia interna e ritrasformala, tutta, in lavoro (energia meccanica)
– Il secondo principio ci impedisce di fare questo: una parte dell’energia non può
essere trasformata in lavoro meccanico e deve essere ceduto ad un serbatoio a
temperatura più bassa.
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Il teorema di Carnot
• Tutte le macchine che lavorano tra due termostati hanno
un rendimento che è minore, o al massimo uguale, a quello
di una macchina di Carnot che lavori tra gli stessi due
termostati.
• tutte le macchine reversibili (tutte le macchine di Carnot)
che lavorano tra gli stessi termostati hanno, tutte, lo stesso
rendimento.
•
•
•
•
La dimostrazione si fa per assurdo:
Supponiamo che esista una macchina X che lavora tra i due
termostati a temperatura T1 e T2 che abbia un rendimento maggiore
della macchina di Carnot operante tra gli stessi termostati
Regolando il ciclo della macchina di Carnot facciamo in modo che
il lavoro fatto dalle due macchine in un ciclo sia uguale
Consideriamo positive tutte le quantità di calore, per distinguere il
calore assorbito da quello ceduto useremo esplicitamente il segno
Q’1
Q’2
w
C
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Il teorema di Carnot
W
X 
Q' 1
C 
X  C
W  Q' 1 Q' 2
W  Q1  Q2

W W

Q' 1 Q1
Q’1
W
Q1
 Q1  Q' 1
 Q' 1 Q' 2  Q1  Q2
Q1  Q' 1  0
Q2  Q' 2  0
Q’2
 Q 2  Q' 2  Q1  Q' 1
w
C
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Il teorema di Carnot
•
•
•
•
•
•
•
•
Se combiniamo le due macchine otteniamo una macchina che trasferisce il
calore Q=Q2-Q’2 (>0) dal serbatoio a temperatura più bassa a quello a
temperatura più alta senza richiedere alcuna altra modificazione
nell’universo.
Contraddice il secondo Principio della Termodinamica
X  C cvd
L’ipotesi da cui siamo partiti è falsa. Quindi
Dimostrazione della 2a parte
Se la macchina X è
reversibile allora il suo ciclo
può essere invertito e si può
scambiare il ruolo della
macchina X con quello della
macchina di Carnot
Ripetendo lo stesso
ragionamento a ruoli invertiti
C  Xrev
otterremo:
Le due relazioni precedenti devono essere vere contemporaneamente.
Xrev  C cvd
Questo accade solo se
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Conseguenze del teorema di Carnot
•
•
Dati due termostati a temperatura diversa, la maniera più efficiente per
trasformare calore in lavoro meccanico è quello di utilizzare una macchina di
Carnot.
il rendimento di una macchina di Carnot è indipendente dalla sostanza
impiegata per percorre il ciclo, gas perfetto, gas reale, acqua e vapore d’acqua,
freon. etc, dipende solo dalle temperature dei termostati tra cui opera:
– Abbiamo già calcolato il rendimento di una macchina di Carnot operante con un gas
perfetto
  1
•
T2
T1
Tutte le macchine di Carnot operanti tra questi due termostati avranno tutti lo
stesso rendimento appena calcolato.
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
La temperatura termodinamica o assoluta
•
•
•
•
•
•
Il teorema di Carnot ci permette di definire una ulteriore scala di temperatura
Infatti se prendiamo una macchina di Carnot che opera tra il corpo di cui si
vuole conoscere la temperatura e il sistema del punto triplo
Dalla definizione di rendimento
Q
def  1  tr
Q
Q
Qtr Ttr
 T  273.16
K
Ttr  Q  T
Q
Ttr
tr
C  1
T
Il calore scambiato da una macchina di Carnot gioca il
ruolo di caratteristica termometrica
Questa nuova definizione della temperatura, è equivalente
alla scala di temperatura del gas perfetto per tutte le
temperature misurabili col gas perfetto
Estende fino allo zero assoluto l’intervallo di temperature
misurabili, perché all’interno della macchina di Carnot ci
possiamo mettere qualunque sostanza.
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
•
Un inventore sostiene di aver inventato cinque motori, ciascuno operante tra i
serbatoi termici a 400 e 300 K. Per ogni ciclo, i dati di ogni motore sono i seguenti:
–
–
–
–
–
–
Qa=200 J, Qc=-175 J, W=40 J
Qa=200 J, Qc=-150 J, W=50 J
Qa=600 J, Qc=-200 J, W=400 J
Qa=100 J, Qc=-90 J, W=10 J
Qa=500 J, Qc=-200 J, W=400 J
Dire quali dei due principi della termodinamica (eventualmente entrambi) vengono
violati da ciascun motore. Nel caso invece entrambi i principi della termodinamica
risultino soddisfatti, stabilire se il ciclo è reversibile
C  1
•
T2
300
 1
 0.25
T1
400
Appli
cazio
ne
  C
No primo
•
Ok primo, ok secondo, reversibile
•
Ok primo, no secondo
•
Ok primo, ok secondo, non reversibile
•
No primo
W
50

 .25
Qass 200
W
400
3 

 .66
Qass 600
W
10
4 

 .10
Q ass 100
2 
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
•
Una macchina termica a combustione interna, il motore dell'automobile a
benzina, può essere approssimata con il ciclo mostrato in figura. Si supponga che
la miscela aria-benzina possa essere considerato un gas perfetto e che venga
utilizzato un rapporto di compressione 4 a 1 (V4 = 4V1). Si supponga inoltre che
p2=3p1.
Appli
cazio
ne
– Determinate la pressione e la temperatura in ognuno dei quattro vertici del diagramma
p-V in funzione di p1 e T1, e del rapporto  dei calori specifici del gas.
– Esprimere il rendimento del ciclo in funzione del rapporto di compressione.
– Confrontare con il rendimento di una macchina di Carnot che lavora tra le temperature
estreme.
3p1
•
•
2
Questo ciclo è denominato “ciclo Otto” ed è il ciclo
Adiabatica
3
secondo cui funziona il motore benzina.
Scoppio
p1
Punto 2
V2  V1
1 Adiabatica
4
P2  3P1
• Punto 3
P2V2
3P1V1
T2 
 P V  3T1
V4
V1
nR
1 1
R
V3  V4  4V1
RT1
V2
V1
P3  P2   3P1    3  4  P1
V3
4 V1
P3V3 3  4  P1  4  V1
1
T3 


3

4
T1
P1V1
nR
R
RT1 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
•
Una macchina termica a combustione interna, il motore dell'automobile a
benzina, può essere approssimata con il ciclo mostrato in figura. Si supponga che
la miscela aria-benzina possa essere considerato un gas perfetto e che venga
utilizzato un rapporto di compressione 4 a 1 (V4 = 4V1). Si supponga inoltre che
p2=3p1.
Appli
cazio
ne
– Determinate la pressione e la temperatura in ognuno dei quattro vertici del diagramma
p-V in funzione di p1 e T1, e del rapporto  dei calori specifici del gas.
– Esprimere il rendimento del ciclo in funzione del rapporto di compressione.
– Confrontare con il rendimento di una macchina di Carnot che lavora tra le temperature
estreme.
•
Punto 4
r
V4  4V1
V1
V1
P4  P1   P1    4  P1
V4
4 V1
P4V4 4  P1  4  V1
1
T4 


4
T1
P1V1
nR
R
RT1
V4
4
V1
3p1
2
Adiabatica
3
Scoppio
p1
1
4
V1

Adiabatica
V4

41   3  41  T1
nC V T4  T3 
W
Qced
41 1  3
1

1 
1 
 1
1
 1   1
Qass
Qass
nC V T2  T1 
3 1T1
3  1
4
T4
41  T1
1
C  1
 1
1 
T2
3T1
3  4 1
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
•
•
In un ciclo di Carnot l'espansione isoterma di un gas ideale avviene a 412 K e la
compressione isoterma a 297 K. Durante l'espansione il gas assorbe 2090 J di
energia termica.
Determinare:
–
–
–
–
•
Il lavoro fatto dal gas durante l'espansione isoterma
Il calore ceduto dal gas durante la compressione isoterma
Il lavoro fatto sul gas durante la compressione isoterma
Il rendimento del ciclo.
Appli
cazio
ne
O
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
•
Una macchina termica ciclica funziona tra due sorgenti costituite rispettivamente
da una massa m di vapore d'acqua a 100°C e da una massa m1=1kg di ghiaccio a
0°C. la macchina preleva calore dalla sorgente calda e viene fatta funzionare finché
tutto il ghiaccio si è fuso o il vapore si è liquefatto.
– la macchina termica sia irreversibile con rendimento *=0,2: quale deve essere il valore
della massa del vapore m se si vuole fondere tutto il ghiaccio?
– Si dica quale tipo di macchina si deve usare per fondere il ghiaccio facendo liquefare
Appli
cazio
ne
• la massa minima di vapore,
• la massa di vapore più grande possibile (mmax).
– Si calcoli la variazione di entropia del sistema costituito dalle sorgenti e dalla macchina
termica nei tre casi considerati. Si usino i seguenti valori approssimati: calore latente di
fusione del ghiaccio lf = 79,7 cal/g, calore di liquefazione del vapore di acqua le = 539
cal/g.
•
O
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
•
Una mole di gas perfetto monoatomico viene utilizzata come sostanza di lavoro di
una macchina termica che compie il ciclo mostrato in figura. Si calcoli:
• Il lavoro fatto dalla macchina in un ciclo.
• Il calore assorbito per ciclo
• Il rendimento di una macchina di carnot operante tra la più alta e la più bassa temperatura
presenti nel ciclo
•
Appli
cazio
ne
Si ponga P1=3P0, V1=2V0, P0=1,01x105 Pa e V0=22,5 litri.
P
•
O
b
a
V0,P0
cV ,P
1 1
d
V
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03