L’ ELLISSE
x2  y 2  1
a2 b2
1
ARGOMENTI TRATTATI
1.
L’equazione canonica dell’ellisse
2.
Questioni basilari
3.
Questioni relative alle rette tangenti
4.
Curve deducibili dall’ellisse
5.
Discussione di sistemi di 2° grado con parametro
6.
Proprietà ottica dell’ellisse
2
L’EQUAZIONE CANONICA DELL’ELLISSE
Definizione
Si dice elisse E il luogo geometrico dei punti P del piano tali che sia costante la somma
delle distanze di P da due punti distinti F1 ed F2, detti fuochi.
Da questa definizione, ponendoci in un opportuno riferimento cartesiano, possiamo ricavare l’equazione
canonica dell’ellisse.
Siano F1(- c ; 0 ) e F2(c ; 0 ), con c reale positivo, i fuochi e P(x;y) un generico punto P della E .
Tali punti devono soddisfare la condizione dettata dalla definizione, cioè:
con a  R 0
PF1  PF2  2a
(*) .
Considerat o il triangol o PF1F2 , si ha
PF1  PF2  F1F2 , cioè 2a  2c , a  c .
Riscriviam o analiticam ente la relazione (*) :
x  c 2  y 2

x  c 2  y 2
x  c 2  y 2
 2a 
 2a , ossia :
x  c 2  y 2
.
Elevando al quadrato si ha :
x 2  c 2  2cx  y 2  4a 2  x 2  c 2  2cx  y 2  4a
cx  a 2   a
x  c2  y 2
x  c2  y 2
;
4cx  4a 2   4a

x  c2  y 2
;

; elevando ancora otteniamo : c 2 x 2  a 4  2a 2 cx  a 2 x 2  c 2  2cx  y 2 ;
c 2 x 2  a 4  2a 2 cx  a 2 x 2  a 2 c 2  2a 2 cx  a 2 y 2 ;
a 2 x 2  c2 x 2  a 2 y 2  a 4  a 2c 2 ;
a
2



 c2 x 2  a 2 y2  a 2 a 2  c2 .
3
Poichè a  c , è sicurament e a 2  c 2  0 , quindi possiamo porre b 2  a 2  c 2 con b  R 0 e scivere :
b 2 x 2  a 2 y 2  a 2 b 2 , infine , poichè a  0 e b  0 , possiamo dividere per a 2 b 2 :
x 2 y2

1 ,
a 2 b2
equazione canonica dell' ellisse.
Rappresent azione grafica dell' ellisse
Ricordiamo che a  R 0 , b  R 0
e ba.
 x 2 y2
1
 
Intersezione asse x :  a 2 b 2
 x 2  a 2 ; x  a .
y  0

 x 2 y2
1
 
Intersezione asse y :  a 2 b 2
 y 2  b 2 ; y  b .
x  0

I punti
A1  a ; 0  ; A 2 a ; 0  ; B1 0 ;  b  ; B 2 0 ; b 
si chiamano vertici dell' ellisse.
Cerchiamo gli insiemi d' appartenen za di x e y :
y2
x2
x2
b 2
 1  2 ; y  b 1 - 2 ; y  
a  x2
2
a
b
a
a

a 2  x 2  0 , cioè - a  x  a .
x2
y2
y2
a

1

;
x


a
1
; x 
b2  y2
2
2
2
b
a
b
b

b 2  y 2  0 , cioè - b  y  b .
4
Osservazioni e altre definizioni
(fuochi sull’asse x)
a.
Gli insiemi d’appartenenza di x e y e le coordinate dei vertici suggeriscono che l’ellisse è inscritta nel
rettangolo di figura, avente i lati lunghi 2a e 2b e i vertici di coordinate (-a;-b); (a;-b); (a;b); (-a;b) .
b.
I segmenti A1A2 e B1B2 si chiamano rispettivamente asse maggiore, di misura 2a, e asse minore, di
misura 2b ( ricordiamo che b < a ); il segmento F1F2 si chiama distanza focale e misura 2c .
c.
Simmetrie nell’ellisse con equazione canonica:
F(-x;-y) = F(x;y), quindi l’ellisse è una curva a simmetria centrale, con centro O(0;0);
F(-x;y) = F(x;y), quindi l’ellisse è una curva a simmetria assiale, con asse di simm. l’asse delle y ;
F(x;-y) = F(x;y), quindi l’ellisse è una curva a simmetria assiale, con asse di simm. l’asse delle x .
d.
Considerazione sul grafico per ricordare la relazione a2 – c2 = b2 oppure c2 = a2 – b2 :
se consideriamo il punto P, che descrive la curva, nel vertice B 2, si forma il triangolo rettangolo OF2B2
di ipotenusa a e cateti b e c, quindi …
e.
f.
2
2
Coordinate dei fuochi di un’ellisse di equazione nota: se sono noti a e b, allora c  a  b
e i fuochi hanno coordinate F1(-c ; 0), F2(c ; 0).
Eccentricità ‘e’ . Il rapporto fra la distanza focale e la lunghezza dell’asse maggiore di un’ellisse è
detto eccentricità:
e
dis tan za focale
.
lunghezza dell'asse maggiore
5
Se i fuochi si trovano sull' asse delle ascisse :
2c
c
e

,
con 0  e  1 .
2a
a
e  0 se c  a 2  b 2  0 , cioè per a  b :
i fuochi coincidono con l' origine del riferimento
cart. e l' ellisse ha i semiassi a e b uguali ,
quindi diventa la circonferenza di raggio a ,
centro O(0;0) e di equazione x 2  y 2  a 2 .
e  1 se c  a , cioè per b  0 :
i fuochi coincidono con i verici e l' ellisse
degenera nel segmento A1A 2 .
6
L’ellisse con i fuochi appartenenti all’asse y
Dalla definizione di ellisse come luogo geometrico (pag.3), procedendo come nel caso dell’ellisse
con i fuochi sull’asse delle x, si ottiene la stessa equazione canonica.
Siano F1(0 ; - c) e F2(0 ; c), con c reale positivo, i fuochi e P(x;y) un generico punto P della E .
Tali punti devono soddisfare la condizione dettata dalla definizione, cioè:
PF1  PF2  2b con b  R 0
(*) .
Considerat o il triangol o PF1F2 , si ha
PF1  PF2  F1F2 , cioè 2b  2c , b  c .
Riscriviam o analiticam ente la relazione (*) :
x 2  y  c 2  x 2  y  c 2  2b , ...
... posto b 2  c 2  a 2
con a  R 0 e a  b ,
si ottiene ancora l' equazione canonica
x2
a2

y2
b2
 1.
7
Osservazioni e altre definizioni
(fuochi sull’ asse y)
a.
Gli insiemi d’appartenenza di x e y … invariati
b.
I segmenti A1A2 e B1B2 si chiamano rispettivamente asse minore, di misura 2a, e asse maggiore, di
misura 2b ( ricordiamo che b > a ); il segmento F1F2 si chiama distanza focale e misura 2c .
c.
Simmetrie … invariate
d.
Considerazione sul grafico per ricordare la relazione b2 – c2 = a2 oppure c2 = b2 – a2 :
se consideriamo il punto P, che descrive la curva, nel vertice A2, si forma il triangolo rettangolo OF2A2
di ipotenusa b e cateti a e c, quindi …
e.
Coordinate dei fuochi di un’ellisse di equazione nota: se sono noti a e b, allora
e i fuochi hanno coordinate F1(0 ; -c), F2(0 ; c).
f.
Eccentricità ‘e’ . Il rapporto fra la distanza focale e la lunghezza dell’asse maggiore di un’ellisse è
detto eccentricità:
e
dis tan za focale
,
lunghezza dell'asse maggiore
e
2c
c

2b
b
,
con
c  b2  a 2
0e1 .
e  0 se c  b 2  a 2  0 , cioè per a  b : i fuochi coincidono con l' origine del riferimento cart.
e l' ellisse ha i semiassi a e b uguali , quindi diventa la circonferenza di raggio a , centro O(0;0)
e di equazione x 2  y 2  a 2 .
e  1 se c  b , cioè per a  0 : i fuochi coincidono con i verici e l' ellisse degenera nel segmento B1B 2 .
8
QUESTIONI BASILARI
1.
Date le seguenti equazioni canoniche di ellissi, traccia i grafici corrispondenti, dopo aver determinato
le coordinate dei vertici e dei fuochi, la misura degli assi maggiore e minore, l’eccentricità.
a.
x2
25

y2
16
1 ;
a  5 ; b  4 ; osservo che a  b , quindi i fuochi
si trovano sull' asse x ; c  a 2  b 2  25 - 16  3 .
 vertic i
 fuochi
A1  5;0  ; A 2 5;0  ; B1 0 ;  4  ; B 2 0 ; 4  ;
F1  3;0  ; F2 3;0  ;
 asse maggiore A1A 2  10 ; asse minore B1B 2  8 ;
c 3
 eccentrici tà e    0,6 .
a 5
Per il grafico tracciar e il rettangolo circoscrit to.
b.
x 2 y2

1 ;
9 36
a  3 ; b  6 ; osservo che a  b , quindi i fuochi si
4x 2  y 2  36 ;

tro vano sull' asse y ; c  b 2  a 2  36 - 9  27  5,20 .
 vertic i A1  3;0  ; A 2 3;0  ; B1 0 ;  6  ; B 2 0 ; 6 ;
 fuochi F1 0 ; 27 ; F2 0 ; 27 ;




 asse maggiore B1B 2  12 ; asse minore A1A 2  6 ;
c
27
3
 eccentrici tà e  

 0,866 .
b
6
2
Per il grafico tracciar e il rettangolo circoscrit to.
9
2. Determina per quali valori del parametro reale k l’equazione
rappresenta un’ellisse.
kx2 + (k + 3)y2 = k + 15
L' equazione data, del tipo ax 2  cy 2  f  0 rappresent a un' ellisse (propria o impropria)  b 2  4ac  0 ,
cioè k(k  3)  0 , che significa a e c concordi.
Per avere un' ellisse propria, cioè formata da punti reali deve essere soddisfatt a anche la condizione
di realtà , quindi a, c, f devono essere concordi :
k  0

k  3  0
k  15  0


k  0

k  3  0 
k  15  0

k  -15  k  0 .
a 2 b 2
x  y  1 e , affichè rappresent i
f
f
a
 k
 f  0
 k  15  0
un' ellisse, imporre che i coefficienti siano positivi : 
, cioè 
 k  -15  k  0 .
k

3
b
 0

0
 k  15
 f
In altri termini, posso considerare l' equazione in forma canonica
3. Determina per quali valori del parametro reale k l’equazione
rappresenta un’ellisse con i fuochi sull’asse delle ascisse.
(3 - k)x2 + (k + 2)y2 = - k2 + k + 6
x2
y2
Osservo che - k  k  6  3  k k  2  , quindi scrivo l' equaz. in forma canonica :

1 .
k  2 3 k
a 2  0
k  2  0
 2
1

Per avere un' ellisse con fuochi sull' asse x deve essere b  0 , quindi 3  k  0

k3
2
 2

2
k  2  3  k
a  b
2
10
4. PROBLEMA RICORRENTE:
determinare l’equazione di un’ellisse.
Facendo riferimento all’equazione canonica, determinare l’equazione di un’ellisse significa determinare i
due coefficienti a, b. Pertanto il problema deve fornire due condizioni tra loro indipendenti, da cui ricavare
due equazioni indipendenti.
Alcune di tali condizioni sono, per esempio:
•
•
•
•
•
conosco a e/o b (coordinate dei vertici o lunghezze dei semiassi)
conosco c (coordinate di un fuoco)
passaggio per un dato punto P(xp ; yp)  (xp)2 /a2 + (yp)2 / b2 = 1
conosco l’eccentricità e = c/a o e = c/b
tangenza ad una retta di nota equazione y = mx +q
 vedi Ellisse tangente ad una retta .
 5 
4.a Determina l' equazione dell' ellisse con i fuochi sull' asse delle y che passa per il punto P 2 ;
5
 3 
ed eccentricità e  4 / 5 .
 4 125
 a 2  9b 2  1 (passaggio per P)
1
1

 pongo A  2 e B  2

2
2
a
b
e  c  4 , cioè b  a  4

b 5
b
5
36A  125B  9

9A  25B  0 (moltiplico per - 4 e sommo)
125

4A  9 B  1
 
 1- B  4

A 5
0  225B  9
 2 225
; b5
9
25 9
1
b 
9
B
; A 
; A  , quindi 
225
9 225
9
a 2  9 ; a  3


x 2 y2

 1 equazione canonica .
9 25
11
4.b Determina l' equazione canonica dell' ellisse avente i vertici nei punti d' intersezione della retta
x - 2y  4  0 con gli assi coordinati .
x 2 y2
L' equazione richiesta è del tipo

 1 , quindi devo trovare ' a' e ' b' , che sono rispettivamente
a 2 b2
l' ascissa e l' ordinata dei vertici V2 a;0  e V4 0; b  ( o anche V1 - a ;0  e V3 0 ;-b  ) .
x - 2y  4  0
y  2
 

x  0
x  0
a4 e
b2


V4 0 ; 2 ;
x 2 y2

1
16 4
x - 2y  4  0
x   4
 

y  0
y  0

V1 - 4 ; 0 , quindi
equazione canonica .
12
QUESTIONI RELATIVE ALLE RETTE TANGENTI
Analizziamo questi due problemi:
1.
2.
determinare le equazioni delle rette tangenti all’ellisse, condotte da un punto di note coordinate;
determinare l’equazione dell’ellisse tangente ad una retta di nota equazione.
1.
Rette tangenti all’ellisse, condotte da un punto P
Questi problemi si possono trattare, come indicato nel capitolo 9 delle coniche, con il metodo del
discriminante nullo, o con il metodo delle formule di sdoppiamento.
Di solito conviene applicare il metodo delle formule di sdoppiamento se il punto P appartiene all’ellisse.
Esempi
a. Determina le equazioni delle rette tangenti all’ellisse di equaz. x 2 + 4y2 = 4 , condotte dal punto P(3 ; 0).
Verifico se P appartiene all’ellisse: 9  4  P non appartiene all’ellisse, quindi posso avere due
soluzioni, se P è esterno, nessuna soluzione, se P è interno all’ellisse.
Metodo del “discriminante nullo”
x  4 y  4

 y  m(x  3)
2
m1,2  
2
5
.
5


 ... 1  4m 2 x 2  24m 2 x  36m 2  4  0 ;
Rette tangenti in P : y  



Δ
 144m4  1  4m 2 36m 2  4  0 ;
4
5
3
x
5 .
5
5
13
Metodo delle " formule di sdoppiamen to"
P3 ; 0
applico le formule di sdoppiamen to
x 2  4y 2  4
3x  4 ; retta polare  : x  4 / 3 .
Determino le coordinate dei punti di tangenza T1 e T2 :
x  4/3
4
4 5
5
5
 ; ; T2  ;

;
y


;
T
 2
1
2
3

3 3 
3
3
x

4
y

4





Determino le equazioni delle rette tangenti PT1 e PT2 :
y  m1,2 x - 3 ;
y
m1,2 
 5 /3
5

;
3 - 4/3
5
5
3
x
5 .
5
5
b. Determina le equazioni delle rette tangenti all’ellisse 16x2 + 25y2 = 4 , condotte dal punto P(1/4 ; 31/2/5).
Verifico se P appartiene all’ellisse: 1+ 3 = 4  P appartiene all’ellisse, quindi ho una sola soluzione.

P 1/4 ; 3 / 5

16x 2  25y 2  4
Metodo delle " formule di sdoppiamen to"
1
3
applico le formule di sdoppiamen to : 16x  25y
 4;
4
5
 : 4x  5 3y  4  0 .
La retta polare  è la tangente nel punto P.
14
2. Ellisse tangente ad una retta di nota equazione
Esempio
x 2 y2
Deter min a l' equazione dell' ellisse del tipo 2  2  1,
a
b
che ha un vertic e di coordinate V2 10 ; 0 ed è


tangente alla retta di equazione y  6x - 20 .
a  10
 2
 x
y2
 2  2  1
 0
b
 a
 y  6x - 20

a  10
 2
1
 x
 By 2  1 , con B  2

 10
b

x  y  20

6
2
 y  20  1
2
 
   By  1 ;
 6  10
y 2  40y  400
 By 2  1 ; ... 360B  1y 2  40y  40  0 ;
360

1
 400 - 40360B  1  0 ... B 
 b 2  40 .
4
40
x 2 y2
a  10
Conclusione : 
; equazione dell' ellisse:

1 .
10 40
b  40
15
CURVE DEDUCIBILI DALL’ ELLISSE
Esplicitando l’equazione di secondo grado x2/a2 + y2/b2 = 1 rispetto alla variabile y e rispetto alla
variabile x , si ottengono quattro equazioni, due del tipo (1) e due del tipo (2), scritte sotto.
Tali equazioni sono rappresentate graficamente da semiellissi.
Grafici delle equazioni
y
b 2
a  x 2 , con - a  x  a , e
a
(1)
x
a
b 2  y 2 , con - b  y  b .
b
(2)
16
Esempi.
Rappresenta graficamente le curve descritte dalle equazioni indicate.
1. y  1 - 4x 2 ; questa equazione equivale al sistema


2
 2
4x 2  y 2  1  a  1/2 , b  1
y  1 - 4x 2



 y  0 ; - 1/2  x  1/2
 y  0 ; - 1/2  x  1/2
dove 4x 2  y 2  1 è l' equazione di un' ellisse
di vertici V1 - 1/2 ; 0 , V2 1/2 ; 0  , V3 0 ; - 1 , V4 0 ; 1 ;
y  0 è il semipiano che si trova " sopra" l' asse x ,
compresi i punti di ordionata y  0 .
2. x  
3
1  y 2 ; questa equazione equivale al sistema
4
16 2
2
 x  y 1 
9
x  0 ; - 1  y  1
a  3/ 4 , b  1
16 2
x  y 2  1 è l' equazione di un' ellisse
9
di vertici V1 - 3/4; 0 , V2 3/4 ; 0  , V3 0 ; - 1 , V4 0 ; 1 ;
dove
x  0 è il semipiano che si trova " a sinistra" dell' asse y ,
compresi i punti di ascissa x  0 .
17
3. y  2 4 x  x 2  1 ; questa equazione equivale al sistema
4 x 2  y 2  16x  2 y  1  0

y - 1  0 ; 0  x  4
(*)
 Classifichiamo la conica (*) :
4
0 8
0
1  1  4  0  8  8  64  0 , conica non degenere;
 8 1 1
  0 - 4  4 1  -16  0 , la conica è un' ellisse con gli assi di simm.
non ruotati rispetto al sistema di riferimento , perchè manca il
t ermine rettangolare in ' xy' .
 Ricerca del centro di simmetria C x 0 ; y 0  , mediante traslazi one :
x  x T  x 0
2
2
 4x T  x 0   y T  y 0   16x T  x 0   2y T  y 0   1  0

y  y T  y 0
... 4x T2  y T2  8x 0  2 x T  2y 0  1y T  4 x 02  y 02  16x 0  2 y 0  1  0 .
Per l' ellisse non ruotata e centrata nell' origine del riferimento ,
i termini di primo grado in ' x' e ' y' devono essere nulli , quindi
x 0  2 e y 0  1 , cioè C2;1 .
x  2
x  2
 Ricerca dei vertici :  2


2
y  5 e y  - 3
4 x  y  16x  2 y  1  0
quindi , tenendo anche conto delle C.E. per la ' x' , deduciamo che
i vertici sono : V1 0 ; 1 , V2 4 ; 1 , V3 2 ; - 3 , V1 2 ; 5 .
18
DISCUSSIONE DI SISTEMI DI 2° GRADO CON PARAMETRO
CASO ELLISSE – RETTA
Si possono presentare i seguenti casi :
equazione di un' ellisse

(1) equazione di un fascio di rette
eventuali limitazioni per x e/o y

oppure
equazione di un fascio di ellissi

(2) equazione di una retta
eventuali limitazioni per x e/o y

Il parametro del sistema è il parametro che caratterizza il fascio di rette o di circonferenze.
Discutere un sistema del tipo (1) o (2), significa determinare, compatibilmente alle eventuali
limitazioni, per quali valori del parametro le rette intersecano l’ellisse nel caso (1), o la retta interseca
le ellissi nel caso (2).
In questo contesto ci occuperemo solo del caso (1).
Esempi
1. Discuti il seguente sistema :
25x 2  y 2  25

5x  y  k  0
x  0 ; y  0

sistema del tipo (1)
E' molto comodo effettuare la discussione dal grafico (metodo grafico) :
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y2
 1; a  1; b  5
25
5x  y  k  0  y  -5x - k ; fascio improprio di rette di coeff.ang. m  -5 .
Consideraz ioni dal grafico : l' arco utile è V1TV 3 ;
25x 2  y 2  25  x 2 
passaggio per V1  1 ; 0 : k  5 ;
condizione di tangenza :
passaggio per V3 0 ; - 5 : k  5 ;
25x 2  y 2  25
 50x 2  10kx  k 2  25  0

 y  -5x - k

 25k 2  50k 2  1250  0 ; k  5 2 .
4
Conclusione : il sistema ammette due soluzioni per 5  k  5 2 ,
x  1 x  0
in particolare per k  5 si hanno due soluzioni - limite , 
e 
,
 y  0  y  5

2
x  
2
per k  5 2 il sistema ammette due soluzioni coincidenti 
.
5
2
y  

2
2. Discuti il seguente sistema :
l' equazione
y  9 - 4x 2
 y  9 - 4x 2

 y  kx  k  3
0  x  3 / 2



4 2 y2
2
 2
2
 1  a  3/2 , b  3
 x 
equivale al sistema  y  9 - 4x
 9
9
 y  0 ; - 3/2  x  3/2
 y  0 ; - 3/2  x  3/2

20
L' equazione
y  kx  k  3 rappresent a un fascio proprio di rette .
Centro del fascio F :
x  1
kx  y  k  3  0 ; k x - 1  y  3  0  
; F1;3  .
y  3
Consideraz ioni dal grafico : l' arco utile è V4 TV 2 ;
passaggio per V4 3 ; 0  : k  0 ;
passaggio per V2 3 / 2 ; 0  : k  6 ;
condizione di tangenza :
4 2 y2
1
 x 
9
9
 y  kx  k  3

4  k x

2


2



...
 2 k 2  3k x  k 2  6k  0

 k 4  6k 3  9k 2  4  k 2 k 2  6k  0
4
k  0

k  24/5
Conclusione :
il sistema ammette due soluzioni per  6  k  24/5 e per k  0 ,
una soluzione per k  6  k  0 .
In particolare :
x  3 / 2
per k  6 si ha una sol. ordinaria e una limite , 
;
y  0
per k  0 e per k  24/5 il sistema ammette due soluzioni coincidenti .
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PROPRIETA’ OTTICA DELL’ELLISSE
Un raggio di luce proveniente da uno dei due fuochi viene riflesso dall’ellisse verso l’altro fuoco.
Questa proprietà, che si può facilmente dimostrare per via analitica, vale per tutti i tipi di onde,
anche per quelle acustiche.
Si può ricordare un fenomeno acustico, che è possibile sperimentare in antiche sale con il soffitto a
sezione ellittica, dove due interlocutori, posti nei due fuochi, possono discorrere chiaramente,
sebbene a voce bassa, mentre negli altri punti della sala non si sentono le loro parole.
Questa proprietà è stata sfruttata nella costruzione di alcuni teatri rinascimentali.
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